1.4. Соответствия и функции

Соответствием между множествами А и В называется подмножество G^АхВ.

Если (а,в)G, то в соответствует а при соответствииG. Множество проекций пр1Gназывается областью определения соответствия, множество пр2G- областью значений соответствия. Если пр1G=А, то соответствие полностью определенное (в противном случае - частичное). Если пр2G=В, то соответствие сюрьективно.

Множество всех вВ, соответствующих элементу а, в А называется образом а в В при соответствииG. Множество всех а, которым соответствует В, называется прообразом в в А при соответствииG.

Всюду определенное соответствие называют отображением и иногда записывают как Г:ХY, где- знак отображения.

Подмножество FXxYназывается функцией, если для каждого элемента х, хХ найдется не более одного элементаyYв парах вида (х,y)F. При этом, если для каждого элемента х имеется один элементy, то функция полностью определена, в противном случае - частично определенной (недоопределенной). Множество Х - область определения функцииF, множествоY- область значений функции. Часто вместо записи (х,y)Fиспользуют записьy=F(х), при этом элемент х называют аргументом или переменной, аy- значением функцииF. Количество аргументов определяет местность функции.

Сопоставим с декартовым произведением двух множеств прямоугольную решетку, узлы которой взаимно однозначно соответствуют элементам декартова произведения. На рис.1.7а изображено подмножество декартова произведения множеств Х={х₁,х₂,х₃,х₄}иY={y₁,y₂,y₃}, не являющееся функцией, на рис.1.7б - являющееся полностью определенной функцией; на рис.1.7в - являющееся частично определенной функцией.

а) F1XY, не являющееся функцией, т.к. одному значению х может соответствовать два значенияy.

б) F2XY, являющееся полностью определенной функцией.

в) F3XY, являющееся недоопределенной функцией, не определенной на значении аргумента х3.

Рис.1.7. Подмножества декартова произведения XY

Соответствие Gмежду множествами Х иYназывается взаимно однозначным, если каждому элементу хХ соответствует определенный элементyY, и, наоборот, каждый элемент yYоказывается поставленным в соответствие одному элементу хХ.

Множество А называется эквивалентным множеству В, если существует взаимооднозначное соответствие множеств А и В, это обозначается как

А=В или АВ.

Этот факт позволяет определять неизвестную мощность одних множеств по известной мощности других, им эквивалентным. Множества, эквивалентные (равномощные) множеству натуральных чисел, называются счетными. В счетных множествах возможна нумерация элементов. Пример множества, не являющегося счетным - множество всех действительных чисел отрезка [0,1]. Это доказывается теоремой Кантора. Попробуем занумеровать это множество. Расположим все числа, изображенные бесконечными десятичными дробями в порядке нумерации:

0, А11а12а13...

0, А21а22а23...

0, А31а32а33...

. . . . . .,

где первая цифра индекса - номер бесконечной десятичной дроби. Рассмотрим теперь любую бесконечную десятичную дробь 0, в₁в₂в₃... такую, что в₁а₁₁, в₂а₂₂, в₃а₃₃и т.д. Такая дробь не входит в указанную последовательность, так как отличается от первого числа первой цифрой, от второго числа - второй цифрой и т.д. Следовательно, все числа из отрезка[0,1]не могут быть пронумерованы, т.е. это множество несчетно. Его мощность называется континуум и все эквивалентные ему множества называются континуальными. Так, множество всех подмножеств счетного множества континуально.