2.3. Сочетания

В ряде комбинаторных задач требуется определить число k-элементных подмножеств множества изnэлементов. В этом случае порядок следования компонентов несущественен, т.е. производится неупорядоченная выборка.

В результате получают так называемые сочетания без повторения.

Сочетаниями без повторений из nэлементов поkназываются отличающиеся друг от друга хотя бы одним элементом выборки длиныk, составленные изnэлементного множества.

Число сочетаний без повторений из nэлементов поk, обозначаемое какопределяется, исходя из числа размещений без повторений с учетом того, что различных неупорядоченных векторов (подмножеств исходного множества) будет меньше в число раз, соответствующее числу перестановок без повторений изkэлементов

.

Например. Определить число двухэлементных подмножеств множества, состоящего из 3-х элементов. Перечисляем все двухэлементные подмножества множества Х={х₁,х₂,х₃}:

{х₁,х₂},{х₁,х₃},{х₂,х₃}.

Здесь мы имеем дело с сочетаниями из 3-х по 2:

.

Это величина в 2! раза меньше, чем число размещений из , поскольку компоненты двухэлементных векторов можно переставить Р₂=2! способами.

Сколькими способами можно выбрать различные 3 цели из 5 возможных целей?

Число размещений из 5 по 3 без повторений

=543=60.

Один и тот же набор целей можно получить различными способами, например, вектора (а,в,с) и (в,а,с) дают один и тот же набор целей. Поскольку три элемента можно переставить Р₃=3!=6 способами, то число способов выбора различных 3 целей равно

.

В ряде комбинаторных задач требуется подсчитывать число различных составов векторов длины kизnэлементного множества. Такие вектора - составы называютсясочетаниями с повторениямиизnэлементов поk.

Например, требуется составить группировки из 3 комплексов 2 типов и определить количество таких группировок. Порядок следования комплексов в векторе группировки роли не играет, а каждая группировка задается вектором длины 3 из 2 элементов, порядок компонент которого роли не играет.

Получаем сочетания с повторениями из 2 элементов по 3:

(m₁,m₁,m₁),(m₁,m₂,m₂),(m₁,m₁,m₂),(m₂,m₂,m₂),

где mозначает тип комплекса.

Итак, возможно построить группировку из трех комплексов первого типа, трех комплексов второго типа, двух комплексов второго типа и одно - первого и, наконец, двух комплексов первого типа и одного второго, т.е. четырьмя способами.

Определение числа сочетаний с повторениями можно произвести следующим образом.

Каждому сочетанию с повторениями из 2 по 3 ставится в однозначное соответствие вектор длины n+k-1=2+3-1=4, состоящий из 3 нулей иn-1=1 единицы:

число Т₁

(0 0 0 1) (Т₁,Т₁,Т₁)

число Т₁ число Т₂

(0 1 0 0) (Т₁,Т₂,Т₂)

число Т₁ число Т₂

(0 0 1 0) (Т₁,Т₁,Т₂)

число Т₂

(1 0 0 0) (Т₂,Т₂,Т₂),

где символ соответствия.

В первом векторе число типов Т­₂=0, в последнем - число типов Т₁=0.

В таком случае число сочетаний с повторениями, которое обозначается , равно числу перестановок с повторениями данного состава (вектор имеет одну единицу и три нуля), т.е. Р(3,1)==4.

В общем случае, это выражение имеет вид

,

что соответствует выражению

.

Например, требуется составить подразделения из 6 солдат 4 специальностей и определить количество способов формирования таких подразделений.

Получаем сочетания с повторениями из 4 элементов по 6:

.