3. Практическое занятие № 3

Тема: Решение задач на графах.

3.1.КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ:

1. Доложить, что называется графом.

2. Каковы основные виды графов?

3. Доложить способы задания графов.

4. Изобразить в виде графа рефлексивные бинарные отношения, симметричные бинарные отношения; транзитивные бинарные отношения.

5. Что такое подграф?

6. Что такое частичный граф?

7. Что такое путь?

8. Что такое простой путь?

9. Что такое элементарный путь?

10. Что такое контур?

11. Какой контур называется элементарным?

12. Как называется контур единичной длины?

13. Доложить понятия, соответствующие понятиям пути и контура для неориентированного графа.

14. Что называется степенью вершины графа?

15. Чему равна сумма степеней вершин графа?

16. Что такое связный граф?

17. Что такое дерево?

18. Что такое цикломатическое число графа?

19. Как вычисляется цикломатическое число связного графа?

20. Что такое плоский граф?

21. Что означает хроматическое число графа?

22. Что значит “бихроматический граф”

23. Что такое изоморфный граф?

24. Что такое “Эйлеров” граф?

25. Что такое "Эйлеров" цикл?

Для справки: Гамильтонов цикл проходит через каждую вершину один раз (рис.3.1):

Эйлеров цикл имеется

Гамильтонов цикл имеется

Рис.3.1. Гамильтоновы и Эйлеровы циклы

3.2.РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

3.2.1.Задача 1. Задан граф соединений четырех боевых позиций (рис.3.2).

Это неориентированный граф.

Это полныйграф!

Каждая вершина соединена

с другими вершинами.

Рис.3.2. Граф соединения боевых позиций

а) Определить степени вершин.

б) Определить цикломатическое число.

в) Чему равно хроматическое число?

Построить матрицу смежности графа.

Далее: построить матрицу инцидентности соответствующего ориентированного графа (рис.3.3):

Рис.3.3. Ориентированный граф

3.2.2.Задача 2. Задан ориентированный граф (орграф) (рис.3.4).

Рис.3.4. Оргграф

Построить матрицу инциденций.

3.2.3.Задача 3. Задан граф (рис.3.5).

Рис.3.5. Некоторый граф

Построить матрицу инцидентности.

3.2.4. Задача 3. Заданы стоимости перемещения по ребрам графа из задачи 1 (рис.3.6).

Рис.3.6. Задача коммивояжера

Выбрать маршрут обхода боевых позиций, имеющий минимальную стоимость. Это широко известная “задача коммивояжёра”, это пример задачи оптимизации. Будем решать эту задачу самым простым методом так называемого полного перебора маршрутов. Исходный пункт - а. Необходимо построить так называемое дерево маршрутов.

3.2.5. Задача 4. Решить задачу о Ханойской башне для n=3 Это граф с ребрами единичной длины.

Такой граф строится из 3-х графов для n=2 (смотри соответствующую лекцию).

Оптимальный переход всегда из нижней левой точки треугольника!

Степени всех вершин, кроме крайних равны 3.

Есть три пути, как у витязя на распутье. Кратчайший путь для данных графов можно найти полным перебором возможных путей. Рассмотрим систематический метод определения того пути. Общее правило нахождения кратчайшего пути в графе с ребрами единичной длины состоит в том, чтобы каждой вершине х_iприписать индексi, равной длине кратчайшего пути из данной вершины в конечную:

1) конечной вершине приписывается индекс о;

2) всем вершинам, из которых идет ребро в конечную вершину, приписывается индекс 1;

3) всем вершинам, ещё не имеющим индексов, из которых идет ребро в вершину с индексом i приписывается индексi+1.

Это продолжается до тех пор, пока не будет помечена начальная вершина. По окончании разметки индекс из начальной вершины будет равен длине кратчайшего пути.

Сам кратчайший путь найдем, двигаясь из начальной вершины в направлении убывания индексов.

Такой способ определения кратчайшего пути является частным случаем нахождения оптимального решения по методу динамического программирования.

Задание на самоподготовку:

Решить задачу о Ханойской башне для n=4.

3.3.САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА ПО ИНДИВИДУАЛЬНЫМ ЗАДАНИЯМ

3.4.ЛЕТУЧКА

Построить дерево обхода вершин графа (рис.3.7), начиная с вершины а.

Рис.3.7. Некоторый граф

3.5.ЗАДАЧА ДЛЯ РЕШЕНИЯ НА САМОПОДГОТОВКЕ