точке M(x, y) и осью Oх). . Для пространственной кривой справедлива аналогичная теорема:.

Из лекций: Это и есть криволинейный интеграл второго рода.

– то же самое, только по y.

Каждый интеграл второго рода может быть сведён к первому роду.

или

32+нет доказательства!. Формула Грина. Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования.

y

Формула Грина: Если C – замкнутая граница области D и функции P(x,y) и Q(x,y) вместе со своими частными производными

Из лекций (не МВД2015): Пусть заданы функции P(x,y) и Q(x,y), которые непрерывны в области D вместе с частными производными первого порядка. Интеграл по границе (L), целиком лежащий в области D и содержащий все точки в области D: .

Положительное направление контура такое, когда ограниченная часть контура находится слева.

Условие независимости криволинейного интеграла 2-го рода от пути интегрирования. Необходимым и достаточным условием того, что криволинейный интеграл первого рода, соединяющий точки M1 и M2, не зависит от пути интегрирования, а зависит только от начальной и конечной точек, является

равенство: .

P(M) M2

(L)

.

(L')

M1

.

.

33. Поверхностные интегралы первого и второго рода, их основные свойства и вычисление.

z γ

(S)

– задание поверхности.

y

D

x

Спроектируем S на плоскость xy, получим область D. Разобьём область D сеткой линий на части, называемые Di. Из каждой точки каждой линии проведём параллельные z линии, тогда и S разделится на Si. Составим интегральную сумму: . Устремим максимум диаметра Di к

нулю: , получим:

Это поверхностный интеграл первого рода

33

Так считается поверхностный интеграл первого рода.

Определение вкратце. Если существует конечный предел интегральной суммы, не зависящий от способа разбиения S на элементарные участки Si и от выбора точек, то он называется поверхностным интегралом первого рода.

При переходе от переменных x и y к u и v:

Поверхностный интеграл обладает всеми свойствами обычного интеграла. См. в вопросах выше.

Определение поверхностного интеграла второго рода, его основные свойства и вычисление. Связь с интегралом первого рода.

Пусть задана поверхность S, ограниченная линией L (рис. 3.10). Возьмём на поверхности S какой-нибудь контур L, не

имеющий общих точек с границей L. В точке М контура L можно восстановить две нормали и к поверхности S.

Выберем какое-либо одно из этих направлений. Обводим точку M по контуру L с выбранным направлением нормали.

Если в исходное положение точка M вернётся с тем же направлением нормали (а не с противоположным), то поверхность S называют двусторонней. Мы будем рассматривать только двусторонние поверхности. Двусторонней поверхностью

является всякая гладкая поверхность с уравнением .

Пусть S – двусторонняя незамкнутая поверхность, ограниченная линией L, не имеющей точек самопересечения. Выберем определённую сторону поверхности. Будем называть положительным направлением обхода контура L такое направление, при движении по которому по выбранной стороне поверхности сама поверхность остаётся слева. Двусторонняя поверхность с установленным на ней таким образом положительным направлением обхода контуров называется ориентированной поверхностью.

Перейдём к построению поверхностного интеграла второго рода. Возьмём в пространстве двустороннюю поверхность S, состоящую из конечного числа кусков, каждый из которых задан уравнением вида или является цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси Oz.

Пусть R(x,y,z) – функция, опредёленная и непрерывная на поверхности S. Сетью линий разбиваем S произвольным образом на n "элементарных" участков ΔS1, ΔS2, ..., ΔSi, ..., ΔSn, не имеющих общих внутренних точек. На каждом участке ΔSi произвольным образом выберем точку Mi(xi,yi,zi) (i=1,...,n). Пусть (ΔSi)xy – площадь проекции участка ΔSi на координатную плоскость Оху, взятая со знаком "+", если нормаль к поверхности S в точке Mi(xi,yi,zi) (i=1,...,n) образует с осью Oz острый угол, и со знаком "–", если этот угол тупой. Составим интегральную сумму для функции R(x,y,z) по поверхности S по

переменным x,y: . Пусть λ – наибольший из диаметров ΔSi (i = 1, ..., n).

Если существует конечный предел , не зависящий от способа разбиения поверхности S на "элементарные" участки ΔSi и от выбора точек , то он называется поверхностным интегралом по выбранной стороне поверхности S от функции

R(x,y,z) по координатам х, у (или поверхностным интегралом второго рода) и обозначается .

Аналогично можно построить поверхностные интегралы по координатам x, z или у, z по соответствующей стороне поверхности, т. е.

и .

Если существуют все эти интегралы, то можно ввести "общий" интеграл по выбранной стороне поверхности:

.

Поверхностный интеграл второго рода обладает обычными свойствами интеграла. Заметим лишь, что любой поверхностный интеграл второго рода изменяет знак при перемене стороны поверхности.

Связь между поверхностными интегралами первого и второго рода.

34

Пусть поверхность S задана уравнением: z = f(x,y), причем f(x,y), f'x(x,y), f'y(x,y) — непрерывные функции в замкнутой области τ (проекции поверхности S на координатную плоскость Оху), а функция R(x,y,z) непрерывна на поверхности S. Нормаль к поверхности S, имеющая направляющие косинусы cos α,

cos β, cos γ, выбрана к верхней стороне поверхности S. Тогда . Для общего случая имеем:

(x,y).

В общем виде теорема звучит так. Пусть в замкнутой ограниченной области (V) заданы функции P(x,y,z), Q(x,y,z) и R(x,y,z), непрерывные на (V)

Левую часть можно записать так: , , . Следовательно:

, так как

. Мы получили поток вектора через замкнутую поверхность. Правую часть можно

35

записать как дивергенцию (расходимость): . В итоге формула Гаусса-Остроградского в векторном виде:

. Читается так: поток вектора через замкнутую поверхность равен интегралу по объёму от его дивергенции.

.

35. Формула Стокса, ее запись в координатной и векторной (инвариантной) формах.

.

{ф. Грина}=

=

. Аналогично c,

c.

Теорема: Пусть в некоторой окрестности поверхности S функции Р(х, у, z), Q(x, у, z) и R(x, у, z) непрерывны и имеют непрерывные частные, производные первого порядка. Тогда имеет место следующее соотношение:

. (Формула Стокса).

36