27+. Тройной интеграл, сведение его к повторному.

интегральной суммой функции f(x), соответствующей данному разбиению T(ξi;xi) сегмента [a;b] и данному выбору промежуточных точек ξi на частичных сегментах [xi-1;xi], –хар-тика разбиения:

28. Замена переменных в двойном интеграле. Пример: случай полярных координат.

Область (D) сеткой кривых разделяется на частичные области Di, внутри каждой частичной области берём произвольные точки (xi, yi). Составляем интегральную сумму: , где Di – площадь i-ой частичной области. Устремим максимальный диаметр к нулю: . По

определению, . Совершим замену переменных (*). При замене (*) площадь

.

Если , то и , следовательно,

28

– якобиан преобразования (*).

y

Пример с полярными координатами.

Замена:

Преобразование (*) будем считать взаимно-однозначным, то есть всё можно выразить друг через друга, а именно:

ζ

(Λ)

(Δ)

η

ξ

Пусть поверхность (Λ) задаётся параметрически, то есть: Получаем параметрическое задание поверхности (S) (см. рис. ниже).

v

(Σ)

u

29

Два последних двойных интеграла равны, так как: Применим к последнему выражению формулу Гаусса-Остроградского, то есть эту формулу:

. Пусть , , , тогда:

Выражение в скобках равно нулю. Оставшееся выражение запишем так:

Это якобиан преобразования. Окончательно получаем:

А для общего случая:

φρ

30. Вычисление площади гладкой поверхности, заданной параметрически и в явном виде.

30

осью Z. Поэтому вычисление площади поверхности сводится к вычислению двойного интеграла по проекции поверхности на

плоскость. Если поверхность задана уравнением , , а нормаль представляет собой градиент функции, то есть:

, здесь G – проекция поверхности S на плоскость xy.

Если поверхность однозначно проектируется на другие координатные плоскости, то соответственно изменится формула вычисления площади поверхности.

Если кривая задана параметрическими уравнениями и , то площадь криволинейной трапеции, ограниченной этой кривой,

прямыми и и отрезком [a,b] оси Ox, выражается формулой где определяются из уравнений

Площадь криволинейного сектора, ограниченного кривой, заданной в полярных координатах уравнением и двумя полярными радиусами

A

xОпределение криволинейного интеграла первого рода, его основные свойства и вычисление.

Полученный интеграл называется криволинейным интегралом первого рода.

31

На словах можно сказать так. Если существует предел интегральной суммы (см. выше) при стремлении к нулю наибольшей из длин Δlk (то есть ), то этот предел называется криволинейным интегралом первого рода от функции f(x,y) по кривой L и обозначается символом или .

Если кривая задана не параметрически, а, к примеру, так: , тогда . Основные свойства:

Линейность:

Аддитивность (если дуга AB составлена из двух дуг AC и CB): Монотонность: если f<=g на L, то: Изменение направления обхода кривой интегрирования не влияет на знак:

Оценка модуля интеграла:

Вычисление. Пусть L – кривая, как на рисунке, заданная параметрически. Пусть функция f(x,y) определена и интегрируема вдоль кривой l как

криволинейный интеграл первого рода. Тогда: .

Таким образом, для вычисления по длине дуги АВ надо, используя параметрическое уравнение кривой, выразить подынтегральную функцию через параметр t, заменить dl дифференциалом дуги в зависимости от параметра t и проинтегрировать полученное выражение по t.

Определение криволинейного интеграла второго рода, его основные свойства и вычисление. Связь с интегралом первого рода.

Пусть кривая L на координатной плоскости Оху задана параметрически уравнениями . L называется простой (плоской) незамкнутой кривой, если функции, непрерывны на и различным значениям параметра t из сегмента соответствуют

различные точки ,. Если точка совпадает с точкой ,

а остальные точки не являются кратными, то L называется простой замкнутой кривой. Простая кривая L называется спрямляемой, если существует предел (длинa кривой L) длин ломаных, вписанных в кривую,

при Δt → 0.

Пусть на кривой AB заданы две функции, P(x, y) и Q(x, y). Разобьем сегмент на n частей точками . Кривая АВ разобьется на n частей точками в направлении от A к B. Пусть – координаты точки , ,, – длина дуги . На каждой дуге возьмем некоторую точку (координаты ) и составим две интегральные суммы: , . Если существует предел интегральной суммы при стремлении к нулю наибольшей из длин , то этот предел называется криволинейным интегралом второго рода

. Сумма называется общим криволинейным интегралом второго рода. Из определения криволинейного интеграла второго рода следует, что при изменении направления обхода кривой AB изменяется и знак интеграла

. Аналогично вводится для пространственной

кривой, заданной параметрически Криволинейные интегралы обладают теми же свойствами, что и обычные определенные: Линейность

. Аддитивность: . Монотонность: если f≤g, то

.

Кривая L кусочно-гладкая, если она непрерывна и распадается на конечное число не имеющих общих внутренних точек кусков, каждый из которых представляет собой гладкую кривую.

Вычисление криволинейного интеграла второго рода с помощью определенного интеграла.

Если AB – кусочно-гладкая кривая, а функции Р=Р(x,y) и Q=Q(x,y) кусочно непрерывны вдоль кривой AB, то справедливо равенство:

=.

Если кривая AB задана уравнением y = у(x), a≤x≤b, и имеет кусочно-непрерывную производную, а функции P(x,y) и Q(x,y) кусочно непрерывны вдоль кривой AB, то имеет место равенство:=.

Связь между криволинейными интегралами первого и второго рода.

Пусть AB− кусочно гладкая кривая, функции Р=P(x,y) и Q=Q(x,y) кусочно непрерывны вдоль кривой AB и − единичный касательный вектор к кривой AB в точке M(x,y), причем направление соответствует направлению движения от А к В (α − угол между вектором в

32