Михайлов формулировал без остаточного члена, и, соответственно, не использовал ε, у него не было остатка и разложение было бесконечным, а не до n . Зато у него было дополнительное условие, его формулировка (26.03.15):

Если в некоторой окрестности точки x0 = a производные всех порядков функции f(x) равномерно ограничены, т.е. |f(k)(x)| ≤ n для всех k, то f(x) представима, и при том единственным образом, степенным рядом:

Доказательство. Представим функцию f(x) в виде некоторого многочлена Pn(x), значение которого в точке х = а равно значению функции f(x), а значения его производных равно значениям соответствующих производных функции в точке х = а.

(1)

Многочлен Pn(x) будет близок к функции f(x). Чем больше значение n, тем ближе значения многочлена к значениям функции, тем точнее он повторяет функцию.

Представим этот многочлен с неопределенными пока коэффициентами:

(2)

Для нахождения неопределенных коэффициентов вычисляем производные многочлена в точке х = а и составляем систему уравнений:

(3)

Решение этой системы при х = а не вызывает затруднений, получаем:

…………………….

Подставляя полученные значения Ci в формулу (2), получаем:

Как было замечено выше, многочлен не точно совпадает с функцией f(x), т.е. отличается от нее на некоторую величину. Обозначим эту величину Rn+1(x). Тогда: f(x) = Pn(x) + Rn+1(x)

Теорема доказана.

для всех

для всех

для всех и всех комплексных α где

21++. Ряд Фурье. Разложение функций: в общий ряд Фурье, в ряд по синусам, в ряд по косинусам.

Ряд Фурье: a0 an cos nx bn sin nx , если этот ряд сходится на некотором промежутке, то назовем эту функцию f(x).

n 1

Обратный вопрос: представима ли рядом Фурье некоторая данная f(x)?

Вначале рассмотрим функцию на отрезке [-π;π]. Предположим, что разложение имеет место:

18

22-. Функции многих переменных. Понятие n-мерного евклидового пространства. Множество точек евклидового пространства. Последовательность точек и ее предел. Определение функции нескольких переменных.

Выше мы говорили о функциях от одной переменной. Но можно говорить также о функциях двух, трех и вообще n переменных. Функция от двух переменных определяется следующим образом. Рассматривается множество E пар чисел (x,y). При этом имеются в виду упорядоченные пары. Это значит, что две пары (x1,y1) и (x2,y2) считаются равными (совпадающими) тогда и только тогда, когда x1=x2 и y1=y2. Если, в силу некоторого закона, каждой паре (x,y)єE приведено в соответствие число Z, то говорят, что этим определена на множестве E функция z=f(x,y) от двух переменных x и y.

Так как каждой паре чисел (x,y) соответствует на плоскости, где введена декартова система координат, точка с абсциссой x и ординатой y, и, наоборот, каждой точке, таким образом, соответствует пара (x,y), то можно говорить, что наша функция f(x,y) задана на множестве E точек плоскости.

Функцию z=f(x,y) от двух переменных изображают в трехмерном пространстве, где задана прямоугольная система координат X,Y,Z в виде геометрического места точек (x, y, f(x,y)), проекции которых (x,y) принадлежат множеству E определения f.

Например, таким геометрическим местом для функции

,

является верхняя половина шаровой поверхности радиуса 1 с центром в нулевой точке.

19

Вэтом же духе можно определить функцию трех переменных. Областью ее определения может теперь служить некоторое множество упорядоченных троек чисел (x,y,z) или, что все равно, соответствующих им точек трехмерного пространства, где введена декартова система координат.

Если каждой тройке чисел (точке трехмерного пространства) (x,y,z)єE , в силу некоторого закона, соответствует число u, то говорят, что этим на E определена функция u=F(x,y,z).

Аналогично можно рассматривать множество E упорядоченных систем (x1, … xn) из n чисел, где n - заданное натуральное число. Опять, если каждой такой системе, принадлежащей E, соответствует в силу некоторого закона число Z, то говорят, что Z есть функция от переменных x1, … xn, определенная на множестве E, и записывается эта функция в виде z=f(x1, … xn).

Вслучае n>3 в нашем распоряжении уже нет реального n - мерного пространства, чтобы использовать его для изображения систем (x1, … xn) в виде принадлежащих ему точек. Но математики выдумали n-мерное пространство, и оно им благополучно служит, и притом не хуже, чем реальное трехмерное пространство. Именно, n-мерным пространством называется множество всевозможных систем n чисел (x1, … xn) .

Если две функции f и φ от n переменных заданы на одном и том же множестве E систем (x1, … xn) - точек n-мерного пространства, - то можно определить сумму f+φ, разность f-φ, произведение f∙φ и частное f/φ, как функции, определенные на E при помощи равенств, аналогичных равенствам (2), где надо только числа x заменить системами (x1, … xn) . Естественным образом определяются также сложные функции, такие, как

, где - тройки чисел, принадлежащих некоторому множеству троек.

N-мерная евклидова геометрия — обобщение евклидовой геометрии на пространство большего числа измерений. Хотя физическое пространство является трёхмерным, и человеческие органы чувств рассчитаны на восприятие трёх измерений, N-мерная геометрия широко применяется в качестве математического инструмента при решении различного рода задач, связанных с манипулированием большим числом параметров (например, задачи оптимизации с большим числом переменных, задачи геометрической вероятности).

Система координат

Поскольку достаточно трудно работать с многомерными объектами, используя интуитивные представления трёхмерного мира, в N-мерной геометрии широко применяются аналитические методы. В качестве системы координат чаще всего используется прямоугольная декартова система с числом осей более трёх. Таким образом, некоторая точка А представляется в N-мерной геометрии как набор из N действительных чисел

Несмотря на то, что интуитивно трудно представить себе четыре взаимно перпендикулярные оси, понятие перпендикулярности естественным образом обобщается из трёхмерного пространства на случай четырёх и более измерений. Так, скалярное произведение взаимно перпендикулярных векторов в случае N измерений также равно нулю.

Евклидово пространство однородно и изотропно, то есть его свойства, в том числе и формула для расстояния, не зависят ни от положения начала координат, ни от направления осей координат. Это даёт возможность свободно вращать и переносить объекты, не изменяя их геометрических свойств.

В N-мерном пространстве существуют подпространства всех размерностей k<N , часто называемые гиперплоскостями или k-плоскостями, где k — размерность подпространства. Термин «гиперплоскость» используется также в узком смысле для обозначения подпространства размерности N–1 (коразмерности 1). Одномерное подпространство по аналогии с обычной геометрией называется прямой, двумерное подпространство — плоскостью. Никакого принципиального различия между k-плоскостью и k-пространством нет. Название «плоскость» подчёркивает тот факт, что объект находится внутри пространства большей размерности, то есть является подпространством. Например, в 4-пространстве обычное трёхмерное пространство является 3-плоскостью.

Можно показать, что в пространстве размерности N имеет место аналогичная ситуация — подпространство размерности k задаётся системой N–k линейных уравнений:

переменными или аргументами функции, а число – зависимой переменной.

23-. Предел функции нескольких переменных. Непрерывность функции. Частные производные.

Определение. Число А называется пределом функции f(M), где М(x1,x2,…xn) – точка n-мерного пространства, при стремлении точки М к точке М0(x10,x20,… xn0) любым образом, если для всякого сколь угодно малого ε>0 существует такое число δ>0, что из условия |MM0|<δ, где |MM0| - расстояние между

точками М и М0, следует <ε.

Обозначается:

А .

Пусть z=f(x,y). Придадим x и y приращения и . Получим приращение функции z=f(x,y). Если

т.е. бесконечно малым аргументам соответствует бесконечно малое приращение функции, то говорят, что функция непрерывна. Распишем x0+y+-f(x0,y0) и положим x0+x=x,y0+ ,то выражение(1) можно записать в виде

20

т.е. непрерывность функции означает, что ее предел равен ее значению от пределов аргументов.

Функция, непрерывная в каждой точке некоторой области, называется непрерывной в области. Если в некоторой точке не выполняется условие (2), то эта точка называется точкой разрыва.

Частные производные.

Пусть z=f(x,y). Зафиксируем какую-либо точку (x,y), а затем, не меняя закрепленного значения аргумента y, придадим аргументу x приращение . Тогда z получит приращение, которое называется частным приращением z по x и обозначается и определяется формулой .

Аналогично, если x сохраняет постоянное значение, а y получает приращение , то z получает частное приращение z по y, .

Определение. Частной производной по x от функции z=f(x,y) называется предел отношения частного приращения по x к приращению при

стремлении к нулю, т.е.

Частная производная обозначается одним из символов. Аналогично определяется частная производная по y:

.

Таким образом, частные производные функции двух переменных вычисляются по тем же правилам, что и производные функции одного переменного.

Пример. Найти частные производные функции z=x2e x-2y. Решение.

Частные производные функции любого числа переменных определяются аналогично. 4. Геометрическая интерпретация частных

производных функции двух переменных

Пусть уравнение z=f(x,y) –это уравнение поверхности. Проведем плоскость x=const. L- линия пересечения поверхности с плоскостью x=const. При данном x на плоскости ХОУ возьмем точку М. На поверхности z=f(x,y) ей соответствует точка Р(x,y,z). Дадим переменному y приращение

24+--. Определение дифференцируемой функции нескольких переменных и ее дифференциала. Производные и дифференциалы высших порядков.

21

Замечания.

1.Частная производная по какой либо переменной есть обычная производная, при условии, что все остальные переменные – константы.

2.Последнее обозначение, в отличие от функций одной переменной, не равно частному от деления двух дифференциалов, а является неразрывным символом.

Вчастном случае двух переменных частная производная равна тангенсу наклона касательной к сечению поверхности плоскостью, перпендикулярной ко второй переменной.

Примеры.

Частные производные высших порядков.

Вычисляя частные производные ФНП, мы снова получаем функцию тех же переменных, от которой можно взять частную производную, в том числе и по другой переменной (если она, конечно, существует): Частные производные по одной и той же переменной называются повторными, а по различным переменным – смешанными. Например:

Примеры.

Теорема 1 (О равенстве смешанных производных). Пусть функция z = f(x,y) имеет вторые частные производные в окрестности т. М0 , непрерывные в самой точке М0.

В этом случае

{Рассмотрим функции

Для аналогично получаем:

Из равенства следует . Устремив h к нулю , в силу непрерывности производных, получаем:

}

Если u = u(x1,…,xn), то все вторые частные производные можно записать с помощью

Определение 1. Функция u = F(x) называется дифференцируемой в т. х , если ее приращение может быть представлено в следующем виде:

22

Теорема 2. (Необходимое условие дифференцируемости) Если F(x) дифференцируема в т. х , то она имеет все частные производные в этой точке, причем

Теорема 3. (Достаточное условие дифференцируемости) Пусть F(x) имеет все частные производные в окрестности т. хо , непрерывные в самой этой точке. Тогда функция дифференцируема в т. хо .

{без доказательства} Замечание. Для дифференцируемости функции одной переменной достаточно существования производной.

Дифференциал функции u называют полным дифференциалом.

Определение 3. Выражение называется дифференциальной формой.

Теорема 4. Дифференциальная форма является полным дифференциалом некоторой функции u(х,у) тогда и только тогда, когда выполнено условие

{1.Необх.: Тогда 2. Дост. – без доказательства} Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения:

Геометрический смысл дифференцируемости. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

Рассмотрим поверхность S: z = f(x,y), дифференцируемую в т. S.

Определение 1. Плоскость, проходящая через т. М0 , называется касательной плоскостью к поверхности S в т.М0 , если угол между ней и секущей

(М0М1) () стремится к нулю при .

Определение 2. Вектор, ортогональный к касательной плоскости в т.М0 , называется нормальным вектором к поверхности в этой точке. Нормалью к поверхности называется прямая, проходящая через т.М0 перпендикулярно касательной плоскости в этой точке.

Обозначим ,. Вектор приращения:

Из условия дифференцируемости функции z следует, что

Рассмотрим плоскость и угол φ между секущей и этой плоскостью:

при Отсюда сразу следует, что плоскость П – касательная

к поверхности в т.М0. В результате имеем:

Функция z = f(x,y), дифференцируемая в некоторой точке (х0,у0) имеет в соответствующей т.М0 касательную плоскость:

и нормальный вектор

Пример.

Дифференциалы высших порядков.

Определение 1. Дифференциал от первого дифференциала функции называется вторым дифференциалом: Аналогично определяются дифференциалы более старших порядков.

Вычислим второй дифференциал функции двух переменных . При этом будем считать, что дифференциалы независимых переменных dx и dy – величины постоянные (т.е. не зависят от т.(х,у) и не меняются при вычислении каждого последующего дифференциала).

. Не трудно видеть, что второй дифференциал представляет собой квадратичную форму от

переменных dx и dy. Матрица этой квадратичной формы есть матрица Гессе, т.е.

d2z = (dx,dy)Г(dx,dy)T (см. раздел «Линейная алгебра», квадратичные формы). Кроме того,

второй дифференциал можно записать в символическом виде:

Можно показать, что в общем случае дифференциал 2 – го порядка функции u = F(x) равен

23