Дифференциал m – го порядка равен

25++?-по Тейлору, у меня нет этой лекции. Формула Тейлора для функции многих переменных. Экстремум функции нескольких переменных. Необходимое условие экстремума. Достаточное условие экстремума.

Как известно, функцию F(T) при условии существования ее производных по порядок N+1 можно разложить по формуле Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа. Запишем эту формулу в дифференциальной форме:

В этой форме формулу Тейлора можно распространить на случай функции нескольких переменных.

Рассмотрим функцию двух переменных F(X, Y), имеющую в окрестности точки (Х0 , у0) непрерывные производные по (N + 1)-й порядок включительно. Зададим аргументам Х И У некоторые приращения DХ и DУ и рассмотрим новую независимую переменную T:

Эти формулы задают прямолинейный отрезок, соединяющий точки (x0 ,у0) и (x0+∆x, у0+∆y). Тогда вместо приращения ∆F(x0,y0) можно рассматривать приращение вспомогательной функции

F(t) = F(x0+t ∆x, y0+t∆y),

Равное ∆F(0) = F(1) – F(0). Но F(t) является функцией одной переменной T, следовательно, к ней применима формула, приведенная в начале раздела. Получаем:

Отметим, что при Линейной замене переменных дифференциалы высших порядков обладают свойством инвариантности, то есть

Подставив эти выражения в предыдущую формулу, получим Формулу Тейлора для функции двух переменных:

Замечание. В дифференциальной форме формула Тейлора для случая нескольких переменных выглядит достаточно просто, однако в развернутом виде она весьма громоздка. Например, даже для функции двух переменных первые ее члена выглядят так:

Максимум и минимум функции нескольких переменных

24

Напомним, что под окрестностью точки плоскости понимается внутренность любого прямоугольника, окружающего эту точку, исключая саму точку (проколотая окрестность).

В пространстве это будет произвольный параллелепипед, содержащий эту точку за вычетом самой точки.

Определение. Максимумом (строгим) функции f(x, y) называется такое значение f(x1, y1) этой функции, которое больше всех ее значений f(x, y), принимаемых данной функцией в точках некоторой окрестности точки О(х1, у1). (Окрестность может быть весьма малой по своим линейным размерам).

Определение. Минимумом (строгим) функции f(x, y) называется такое значение f(x2,y2), которое меньше всех ее значений f(x,y), принимаемых данной функцией в точках некоторой окрестности О(х2, у2).

Максимум или минимум функции f(x, y) называется экстремумом этой функции. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума (точка минимума, точка максимума).

Аналогично определяется экстремум функции f (x, y, z) и т.д.

Теорема. (Необходимый признак экстремума функции нескольких переменных). В точке экстремума функции нескольких переменных каждая ее частная производная первого порядка либо равна нулю, либо не существует.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть u = f (x, y) и f (x0, y0) - ее максимум (для минимума рассуждения аналогичны). Зафиксируем одну из переменных, например, у, полагая у = у0, тогда получим функцию одной переменной U1 = f (x, yo), которая, очевидно, будет иметь максимум при х = хо. Отсюда,

С л е д с т в и е. В точке экстремума М0 (х0, у0) дифференцируемой функции f (x, y) выполнены равенства

Для U = f(x, y, z) в точке Мо (хо ,уо, zо) будет выполнено условие .

З а м е ч а н и е. Точку, в которой частные производные первого порядка либо не существуют, либо равны нулю, называют критической. Т.е. экстремумы функции нескольких переменных могут достигаться лишь в критических точках.

Пример. Покажем, что указанные выше условия не являются достаточными. Пусть z = f(x, y) = x y тогда имеем

Абсолютный экстремум

Определение. Наименьшее или наибольшее значение функции в данной области называется абсолютным экстремумом функции. (Соответственно, абсолютный минимум, абсолютный максимум).

Теорема. (Вайерштрасс) Функция, непрерывная в ограниченной и замкнутой области, достигает в этой области своего наименьшего и своего наибольшего значения. (Без доказательства)

Теорема . Абсолютный экстремум функции в данной области достигается либо в критической точке функции, принадлежащей этой области, либо в граничной точке области. (Без доказательства)

Пример. Для функции z = x y найти абсолютный экстремум в треугольной области S с вершинами О(0,0), А(1,0), В(0,2).

Определим

Рис. 15.1.

Критическая точка O(0,0) S. На участке ОА имеем у = 0 (0 х ) и тогда z = 0. Аналогично ОВ: х = 0 (0 у 2) z = 0.

25

этой точке нет. Если она вырождена, то неизвестно, является ли точкой экстремума. Доказательство. По формуле Тейлора приращение функции в точке можно записать в виде

Лекция Михайлова от 16.04.15:

Точка M0(x0,y0) называется точкой максимума, если в некоторой окрестности этой точки f(x0,y0)≥f(x.y). (Если f(x0,y0)>f(x.y), то строгий максимум.)

Точка M0(x0,y0) называется точкой минимума, если в некоторой области этой точки f(x0,y0)≤f(x.y). Строгий минимум при строгом <. Необходимое условие экстремума дифференцируемой функции: ∂f|M=M0=0, т.е. все частные производные в точке экстремума (M0) равны нулю.

Достаточное условие экстремума:

∆f=f(x,y) – f(x0,y0) < 0 – максимум

∆f > 0 – минимум.

Т.е. наличие и характер экстремума в М0 определяется знаком второго дифференциала.

Знак второго дифференциала, а следовательно и приращения функции ∆f определяется знаком квадратного трехчлена:

26+. Двойной интеграл и его свойства. Сведение двойного интеграла к повторному.

частичной области. Диаметр – максимальное расстояние между любой парой точек в области. Устремим λ к нулю. Если существует предел интегральных

сумм , то этот предел и называется двойным интегралом: . Основные свойства двойного интеграла:

Свойство аддитивности: Свойства линейности:

а)

б)

Модуль интеграла меньше или равен интегралу от модуля:

27