- •1*. Определенный интеграл. Интегральная сумма. Верхняя и нижняя интегральные суммы. Их свойства.
- •2**. Ограниченность интегрируемой функции.
- •3**(-). Критерий интегрируемости ограниченной на отрезке функции.
- •4≠. Теорема об интегрируемости монотонной на отрезке, а также непрерывной на отрезке функций.
- •5*. Основные свойства определенного интеграла.
- •6*. Формула среднего значения для определенного интеграла.
- •7. Интеграл с переменным верхним пределом. Его непрерывность и дифференцируемость.
- •8. Формула Ньютона-Лейбница для определенного интеграла.
- •9. Вычисление определенного интеграла по частям и заменой переменной.
- •10. Применение определенного интеграла (площадь плоской фигуры, длина дуги кривой, объем тела вращения).
- •11++. Понятие числового ряда и его суммы. Критерий Коши сходимости ряда. Необходимое условие сходимости.
- •12+. Признаки Даламбера и Коши сходимости рядов с неотрицательными членами.
- •13. Интегральный признак Коши сходимости числового ряда.
- •14++. Знакопеременные числовые ряды. Абсолютная и условная сходимость. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.
- •15++. Функциональный ряд. Сумма ряда. Определение равномерной сходимости ряда. Критерий Коши равномерной сходимости функционального ряда.
- •16+. Признак Вейерштрасса равномерной сходимости.
- •17++. Свойства равномерно сходящихся функциональных рядов. Теорема о непрерывности суммы равномерно сходящегося ряда из непрерывных функций. Теорема о почленном интегрировании и дифференцировании ряда (без доказательства).
- •18+-(нет доказательства теоремы). Степенной ряд. Теорема Абеля.
- •19++. Радиус сходимости степенного ряда. Формула Коши-Адамара для радиуса сходимости степенного ряда.
- •20+. Вопрос для консультации – надо ли доказывать? На лекциях Михайлов не доказывал!
- •Кроме того – лучше его переспросить еще раз и саму теорему, так как в его интерпретации она отличается от общепринятой формулировки, в которой требуется только лишь существование всех производных, а вовсе не их ограниченность ≤ n!!!
- •Ряд Тейлора. Теорема Тейлора о разложимости функции в ряд Тейлора. Разложение основных элементарных функций в ряд Тейлора-Маклорена: ex, sinx, cosx, (1+x)a, ln(1+x).
- •21++. Ряд Фурье. Разложение функций: в общий ряд Фурье, в ряд по синусам, в ряд по косинусам.
- •22-. Функции многих переменных. Понятие n-мерного евклидового пространства. Множество точек евклидового пространства. Последовательность точек и ее предел. Определение функции нескольких переменных.
- •23-. Предел функции нескольких переменных. Непрерывность функции. Частные производные.
- •24+--. Определение дифференцируемой функции нескольких переменных и ее дифференциала. Производные и дифференциалы высших порядков.
- •25++?-по Тейлору, у меня нет этой лекции. Формула Тейлора для функции многих переменных. Экстремум функции нескольких переменных. Необходимое условие экстремума. Достаточное условие экстремума.
- •26+. Двойной интеграл и его свойства. Сведение двойного интеграла к повторному.
- •27+. Тройной интеграл, сведение его к повторному.
- •28. Замена переменных в двойном интеграле. Пример: случай полярных координат.
- •29. Замена переменных в тройном интеграле. Цилиндрические и сферические координаты.
- •30. Вычисление площади гладкой поверхности, заданной параметрически и в явном виде.
- •32+нет доказательства!. Формула Грина. Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования.
- •33. Поверхностные интегралы первого и второго рода, их основные свойства и вычисление.
- •35. Формула Стокса, ее запись в координатной и векторной (инвариантной) формах.
- •36. Скалярное и векторное поля. Градиент, дивергенция, ротор. Потенциальное и соленоидальное поля.
- •37. Оператор Гамильтона. (набла) его применение (примеры).
- •38. Основные понятия, относящиеся к обыкновенным дифференциальным уравнениям (ОДУ) первого порядка: общее и частное решения, общий интеграл, интегральная кривая. Задача Коши, ее геометрический смысл.
- •39++. Интегрирование ОДУ первого порядка с разделяющимися переменными и однородных.
- •40++. Интегрирование линейных ОДУ первого порядка и уравнения Бернулли.
- •41++. Интегрирование ОДУ первого порядка в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель.
- •42++. Дифференциальные уравнения первого порядка, неразрешенные относительно производной. Метод введения параметра.
- •43. Уравнение n-го порядка с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Фундаментальная система решений (ФСР) однородного уравнения, общее решение неоднородного уравнения.
- •44. Система линейных дифференциальных уравнений первого порядка. ФСР однородной системы. Общее решение однородной системы.
Принцип решения:
Если обозначить |
за Z(x), то |
. Отсюда |
. Подставим это выражение выше и получим: |
Получили дифференциальное линейное уравнение, принцип решения которого рассмотрен выше. Пример: , ,
41++. Интегрирование ОДУ первого порядка в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель.
Дано уравнение вида
Если левая часть есть дифференциал некоторой функции u(x,y): – общий интеграл уравнения; если
, а , то критерий полного дифференциала .
Предположим, что критерий выполняется. Найдём эту функцию u. Пусть , тогда . Так как
, то . Отсюда находится φ'(y).
Пример: +
Интегрирующий множитель. – неполный дифференциал.
Существует ли функция (интегрирующий множитель) по умножению на которую (*) станет полным дифференциалом?
41
Если найдены два интегрирующих множителя и , то – решение.
Если зависит только от x
Пример:
;
Интегрирующие комбинации:
42++. Дифференциальные уравнения первого порядка, неразрешенные относительно производной. Метод введения параметра.
Уравнения, не разрешённые относительно производной, выглядят так: . Уравнения первого порядка n-ой степени решаются так:
Если из уравнения y можно выразить, то есть , то это решается методом введения параметра, а именно: Обозначим
, получим: Продифференцируем по x:
42
Получили уравнение, разрешённое относительно производной. p(x,C) подставляем в (*), получим: |
|
. Это и будет решение. |
|
Рассмотрим теперь случай, когда из уравнения |
можно явно выразить x, то есть |
. Вводим параметр |
, получаем |
. Дифференцируем по y обе части: |
|
|
|
Мы получили уравнение, разрешённое относительно производной . В итоге получаем: .
Уравнение Лагранжа – это уравнение, линейное относительно x и y, оно имеет вид: . Уравнения Лагранжа ВСЕГДА интегрируется в квадратурах.
Принцип решения: Вводим параметр , получаем:
Пусть |
, поделим всё выражение на A(p): |
Продифференцируем по x:
, т.к. :
Получили линейное уравнение первого порядка. Отсюда находим . В итоге решение в параметрическом виде:
Отдельно рассмотрим случай, когда : Если это тождество, то есть , то:
43
Если это не тождество, а уравнение с корнями: например, p0 – корень, то есть , тогда – решение. Частный случай уравнения Лагранжа – это уравнение Клеро. Это когда уравнение Лагранжа имеет следующий вид: . Принцип решения: Вводим параметр , получаем . Дифференцируем по x, получаем:
Общее решение уравнения Клеро:
Здесь – семейство всевозможных кривых; – огибающая этого семейства, тоже является решением и называется особое решение.
43. Уравнение n-го порядка с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Фундаментальная система решений (ФСР) однородного уравнения, общее решение неоднородного уравнения.
Простейшие ОДУ высших порядков, интегрируемые в квадратурах и допускающие понижение порядка.
Обыкновенным дифференциальным уравнением n –го порядка называется уравнение вида F (x, y(x), y '(x), y ''(x), … , y(n)(x)) = 0, где F — известная функция (n + 2)-х переменных, x — независимая переменная из интервала (a,b), y(x) — неизвестная функция. Число n называется порядком уравнения. Функция y(x) называется решением (или интегралом) дифференциального уравнения на промежутке (a, b), если она n раз дифференцируема на (a, b) и при подстановке в уравнение обращает его в тождество. Обыкновенные дифференциальные уравнения, разрешенные относительно старшей производной, называют уравнениями в нормальной форме: y(n) = f(x, y, y ', y '', … , y(n − 1)).
Дифференциальное уравнение обычно имеет бесконечно много решений. Чтобы выделить нужное решение, используют дополнительные условия. Чтобы выделить единственное решение уравнения n–го порядка обычно задают n начальных условий y(x0) = y0, y '(x0) = y1, y ''(x0) = y2, … , y(n − 1)(x0) = yn − 1.
Общим решением дифференциального уравнения F(x, y(x), y '(x), y ''(x), … , y(n )(x)) = 0 называется функция y = Ф(x, С1, С2, … , Сn), содержащая некоторые постоянные (параметры) С1, С2, … , Сn, и обладающая следующими свойствами:
Ф(x, С1, С2, … , Сn) является решением уравнения при любых допустимых значениях С1, С2, … , Сm;
для любых начальных данных y(x0) = y0, y '(x0) = y1, y ''(x0) = y2, … , y(n − 1)(x0) = yn − 1, для которых задача Коши имеет единственное решение, существуют значения постоянных С1 = A1, С2 = A2, … , Сn = An, такие что решение y = Ф(x, A1, A2, …, An) удовлетворяет заданным начальным условиям.
Иногда частное или общее решение уравнения удается найти только в неявной форме: f(x, y) = 0 или G(x, y, С1, С2, ..., Сn) = 0. Такие неявно заданные решения называются частным интегралом или общим интегралом уравнения.
Если задачу об отыскании всех решений дифференциального уравнения удается свести к алгебраическим операциям и к вычислению конечного числа интегралов и производных от известных функций, то уравнение называется интегрируемым в квадратурах. Класс таких уравнений относительно узок. Если в результате каких–либо преобразований порядок n уравнения F(x, y, y ',..., y(n) ) = 0 может быть понижен, то говорят, что уравнение допускает понижение порядка.
К уравнениям, допускающим понижение порядка, относятся в частности, уравнения, не содержащие искомой функции и ее производных до некоторого
порядка, , т.е. уравнения вида |
Заменой z(x) = y(k)(x) такое уравнение сводится к уравнению (n−k)–го порядка: |
формуле |
Если z = z(x,C1,...,Cn-k) решение этого уравнения, то общее решение уравнения n–го порядка может быть вычислено по |
|
Простейшее уравнение, допускающее понижение порядка — уравнение вида y(n) = f (x), его общее решение имеет вид
Куравнениям, допускающим понижение порядка, относятся уравнения, не содержащие независимой переменной — уравнения вида F(y, y', ..., y(n)) = 0. Порядок уравнения можно понизить заменив y ' = p(y). После подстановки получим дифференциальное уравнение относительно функции p = p(y) , в котором порядок старшей производной от p(y) будет на единицу меньше, чем порядок старшей производной от y(x) в исходном уравнении.
Куравнениям, допускающим понижение порядка, относятся уравнения, не содержащие искомой функции — уравнения вида F(x, y', ..., y(n)) = 0. Порядок уравнения можно понизить заменив y ' = p(x). После подстановки получим дифференциальное уравнение относительно функции p = p(x) на единицу меньшего порядка, чем исходное уравнение: F(x, p, p', ..., p(n - 1)) = 0. Если правая часть уравнения F(x, y, y ',..., y(n) ) = 0, удовлетворяет условию однородностиF(x, ty, ty ',..., ty(n) ) = tk F(x, y, y ',..., y(n) ) то говорят, что это уравнение, однородное относительно неизвестной функции и всех ее производных. Если в результате каких–либо преобразований порядок n уравнения F(x, y, y ',..., y(n) ) = 0 может быть понижен, то говорят, что уравнение допускает понижение порядка.
Куравнениям, допускающим понижение порядка, относятся уравнения, однородные относительно неизвестной функции и всех ее производных. Порядок такого уравнения можно понизить заменой
Выражение для первой производной от y(x) не содержит производной от z(x):
44
.
Поэтому, заменив в исходном уравнении y, y ',..., y(n) их выражениями через z(x), получим относительно z(x) дифференциальное уравнение на единицу меньшего порядка.
Основные понятия, относящиеся к системам ОДУ: порядок системы, нормальная форма системы, общее и частное решения, общий и первый интегралы. Задача Коши для нормальной системы, её геометрический смысл.
Совокупность соотношений вида:
Где y1, y2, …, yn искомые функции от независимой переменной x, называется системой обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Будем предполагать функции F2, F2, …, Fn такими, что система разрешима относительно производных от искомых функций:
Такие системы называются нормальными системами дифференциальных уравнений.
Число уравнений, входящих в систему, называется порядком этой системы. Значит, наша система имеет n-ый порядок.
Такая система, когда в левой части уравнений стоят производные первого порядка, а правые части не содержат производных, называется нормальной. Семейство решений системы (2), зависящее от n произвольных постоянных C1, C2, …, Cn
называют обычно общим решением этой системы.
Дадим определение общего решения системы (2) в области D изменения переменных x, y1, y2, …, yn.
В качестве области D будем рассматривать область в пространстве (x, y1, y2, …, yn), в каждой точке которой имеет место существование и единственность решения задачи Коши для системы (2).
Совокупность n функций (6), определённых в некоторой области изменения переменных x, C1, C2, …, Cn, имеющих непрерывные частные производные по x, будем называть общим решением системы (2) в области D, если система (6) разрешима относительно произвольных постоянных C1, C2, …, Cn в области D, так что при любых значениях x, y1, y2, …, yn, принадлежащих области D, системой (6) определяются значения C1, C2, …, Cn:
и если совокупность n функций (6) является решением системы (2) при всех значениях произвольных постоянных C1, C2, …, Cn, доставляемых формулами (7), когда точка (x, y1, y2, …, yn) пробегает область D.
Решение, получающееся из формулы общего решения при частных числовых значениях произвольных постоянных C1, C2, …, Cn,, включая бесконечности, будет частным решением.
Решая задачу Коши при помощи формулы общего решения всегда получаем частное решение.
1-ое определение интеграла системы. Функция φ(x, y1, y2, …, yn), не приводящаяся к постоянной, называется интегралом системы (2), если при замене y1, …, yn любым частным решением этой системы она обращается в постоянную.
2-ое определение интеграла системы. Функция φ(x, y1, y2, …, yn), имеющая непрерывные частные производные по x, y2, …, yn, и такая, что в рассматриваемой области не обращаются одновременно в нуль, называется интегралом системы (2), если полный дифференциал этой
функции обращается тождественно в нуль в силу системы (2), то есть имеет место тождество:
.
Равенство , где – интеграл системы (2) в смысле первого или второго определения, а C – произвольная
постоянная, называется первым интегралом системы (2). Например, каждое из равенств (7) является первым интегралом системы (2).
Совокупность n первых интегралов (7) обладает тем свойством, что она разрешима относительно искомых функций y1, y2, …, yn, причём в результате этого мы получаем общее решение (6) системы (2) в области D. Всякую совокупность n первых интегралов, обладающую таким свойством, будем называть общим интегралом системы (2) в области D.
Фундаментальные системы решений нормальной системы однородных линейных ОДУ. Теорема существования фундаментальных систем. Теорема об общем решении (о структуре общего решения) нормальной системы однородных линейных ОДУ.
Система обыкновенных дифференциальных уравнений вида:
45
называется линейной системой. При система
становится однородной. В векторно-матричной форме: , где
,
Будем искать решение . Ищем решение системы в таком виде:
Фундаментальной системой решений системы уравнений (*) называется системы из n линейно независимых вектор-функций.
Теорема о структуре общего решения линейного однородного дифференциального уравнения. Общее решение y(x) линейного однородного дифференциального уравнения есть линейная комбинация функций из фундаментальной системы решений этого уравнения:
.
Теорема об общем решении (о структуре общего решения) нормальной системы неоднородных линейных ОДУ.
Рассмотрим неоднородную линейную систему обыкновенных дифференциальных уравнений n-го порядка
Здесь |
A |
Справедлива следующая теорема о структуре общего решения этой неоднородной линейной системы ОДУ.
Если матрица A(x) и вектор-функция b(x) непрерывны на [a, b], и пусть Φ(x) — фундаментальная матрица решений однородной линейной системы , то общее решение неоднородной системы Y' = A(x)Y + b(x) имеет вид:
где C — произвольный постоянный вектор-столбец, x0 — произвольная фиксированная точка из отрезка [a, b].
Из приведенной формулы легко получить формулу решения задачи Коши для линейной неоднородной системы ОДУ — формулу Коши. Решением задачи Коши , Y(x0) = Y0 является вектор-функция
Метод вариации произвольных постоянных для отыскания частных решений нормальной системы неоднородных линейных ОДУ.
Определение системы неоднородных линейных ОДУ. Система ОДУ вида:
называется линейной неоднородной. Пусть
46