45. Вынужденные электрические колебания

Установившиеся колебания. Вернемся к уравнениям колебательного контура:

или с учетом

.

Рассмотрим случай, когда в контур включена внешняя переменная ЭДС  зависящая от времени по гармоническому закону

.

Колебания, возникающие под действием внешней периодически изменяющейся ЭДС, называются вынужденными электромагнитными колебаниями.

В данном случае уравнение колебательного контура записывается как

или ,

где введены обозначения:

; ,

где - собственная частота контура; - коэффициент затухания.

Решение этого уравнения, как известно из математики, представляет собой сумму общего решения однородного уравнения (без правой части) и частного решения неоднородного уравнения.

Нас будут интересовать только установившиеся колебания, т.е. частное решение этого уравнения (общее решение однородного уравнения экспоненциально затухает, и по прошествии некоторого времени оно практически исчезает, обращается в нуль).

Это решение имеет вид

,

где - амплитуда заряда на конденсаторе; - разность фаз между колебаниями заряда и внешней ЭДС .

и  определяются только свойствами самого контура и вынуждающей ЭДС , причем оказывается, что , поэтомуq всегда отстает по фазе от .

Чтобы определить постоянные и, надо подставить в исходное уравнение

и преобразовать полученное выражение. В целях достижения большей простоты сначала найдем ток I и затем его выражение подставим в исходное уравнение

.

Попутно будет решен и вопрос с постоянными и.

Продифференцируем выражение поt и найдем:

.

Запишем это выражение так:

,

где - амплитуда тока; - сдвиг по фазе между током и внешней ЭДС :

; .

Для того, чтобы найти и представим исходное уравнение в виде:

,

где слева записана сумма напряжений на индуктивности L, сопротивления R и емкости С.

Таким образом, мы видим, что сумма этих напряжений равна в каждый момент времени внешней ЭДС . Учитывая соотношения

и

запишем:

;

;

.

Векторная диаграмма. Из последних трех формул видно, что находится в фазе с током I, отстает по фазе от тока на , аопережает на . Все это можно наглядно представить с помощью векторной диаграммы, изобразив амплитуды напряжений

; ;

и их векторную сумму, равную, согласно

,

вектору величины (рис. 16.4)

Рис. 16.4

Из прямоугольного треугольника этой диаграммы легко получить следующие выражения для и в уравнении :

; .

46. Электрический резонанс. Резонансные кривые

Электрическим резонансом называется явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающей силы (частоты вынуждающего переменного напряжения или внешней переменной ЭДС ) к частоте, равной или близкой собственной частоте колебательной системы. Графики зависимостей амплитуд тока I, заряда Q на конденсаторе и напряжений ,,от частоты внешней ЭДС  называются резонансными кривыми. Резонансные кривые для силы тока показаны на рис. 16.5.

Как видно из выражения , амплитуда силы тока имеет максимальное значение при.

Следовательно, резонансная частота для силы тока совпадает с собственной частотой контура:

.

Максимум при резонансе оказывается тем выше и острее, чем меньше коэффициент затухания .

Рис. 16.5

Резонансные кривые для заряда на конденсаторе показаны на рис. 16.6 (резонансные кривые для напряженияна конденсаторе имеют такой же вид). Максимум амплитуды заряда достигается при резонансной частоте

,

которая по мере уменьшения  все больше приближается к . Для получения этого выражения надо представить, согласно, как, где, тогда.

Максимум этой функции, или, что то же самое, минимум подкоренного выражения, найдем, приравняв производную по  от подкоренного выражения к нулю

.

Это равенство выполняется при ,, у которых только положительное значение имеет физический смысл. Следовательно, резонансная частота

.

Рис. 16.6

На рис. 16.7 изображено перераспределение амплитуд напряжений ,,в зависимости от частоты внешней ЭДС.

Рис. 16.7

Резонансные частоты для ,,определяются следующими формулами:

; ;.

Чем меньше , тем ближе резонансные частоты всех величин к значению .

Резонансные кривые и добротность. Форма резонансных кривых определенным образом связана с добротностью Q контура. Особенно простой эта связь оказывается для случая слабого затухания, т.е. при .

В этом случае

,

где Q – добротность.

Действительно, при , величинаи

или ,

а это и есть добротность Q контура.

Таким образом, добротность контура (при ) показывает во сколько раз максимальное значение амплитуды напряжения на конденсаторе (и на индуктивности) превышает амплитуду внешней ЭДС.

Добротность контура связана с другой важной характеристикой резонансной кривой – ее шириной. При

,

где - резонансная частота;- ширина резонансной кривой на «высоте», равной 0,7 от максимальной, т.е. в резонансе.

Резонанс. Таким образом, явление резонанса в случае электромагнитных колебаний – это возбуждение сильных колебаний при частоте внешней ЭДС или напряжения, равной или близкой к собственной частоте колебательного контура. Резонанс используют для выделения из сложного напряжения нужной составляющей. На этом основана вся техника радиоприема. Для того, чтобы радиоприемник принимал интересующую нас радиостанцию, его необходимо настроить, т.е. изменением емкости С и индуктивности L колебательного контура добиться совпадения его собственной частоты с частотой электромагнитных волн, излучаемых радиостанцией.