3. Прямые и плоскости общего и частного положения относительно плоскостей проекций

3.1. Прямые общего положения

Прямые общего положения наклонены ко всем плоскостям проекций и пересекают их. Точки пересечения прямой с плоскостями проекций называются следами прямой. Иногда бывает необходимо их определять. Пусть на чертеже дана прямая а, определим ее следы (рис. 3.1).

Чтобы определить точку пересечения прямой с горизонтальной плоскостью проекций – горизонтальный след, надо продолжить фронтальную проекцию прямой а_αдо пересечения с осьюX, провести перпендикуляр к оси X, продолжить горизонтальную проекцию прямой а₁до пересечения с перпендикуляром. Горизонтальный след обозначается буквой Н. Необходимо обратить внимание на то, что сама точка Н присутствует на чертеже, так какZ= 0, т. е. точка принадлежит плоскости П₁.

Чтобы определить фронтальный следF, надо продолжить горизонтальную проекцию прямой до пересечения с осью X, провести перпендикуляр к оси X, продолжить фронтальную проекцию прямой до пересечения с перпендикуляром. ТочкаFтакже присутствует на чертеже и совпадает со своей фронтальной проекцией, так как координатаY= 0.

3.2. Прямые частного положения

Прямые частного положения расположены параллельно плоскостям проекций или перпендикулярно им.

Прямые, параллельные плоскостям проекций П₁, П₂, П₃, называются горизонталью (h), фронталью (f) и профильной прямой (p) (рис. 3.2).

а б в

Рис. 3.2

Прямые, перпендикулярные плоскости проекций П₁, П₂, П₃, называются горизонтально (а), фронтально (б) и профильно (в) проецирующими (рис. 3.3).

а б в

Рис. 3.3

3.3. Плоскости общего положения

Плоскости общего положения наклонены ко всем плоскостям проекций и пересекают их. Линии пересечения плоскости с плоскостями проекции называются следами. Часто плоскость задают следами. Чтобы перейти к заданию плоскости следами, необходимо определить следы двух прямых, лежащих в этой плоскости. Пусть дана плоскость треугольником АВС. Определим следы этой плоскости (рис. 3.4).

Сначала определим фронтальный след плоскости. Для этого построим фронтальные следы двух сторон треугольника – АВ и ВС. Через полученные точки FиF' проводим фронтальный след плоскостиf ⁰до пересечения с осьюXи получаем точку схода следовS, из которой пойдет и горизонтальный след плоскости. Для этого построения достаточно определить горизонтальный след одной какой-либо прямой (например, АС). Тогда черезSиHпроводимh⁰– горизонтальный след плоскости. След плоскости можно строить, проводя его через один след какой-то прямой параллельно направлению линии уровня (горизонтали или фронтали), так как горизонталь и фронталь – это линии, параллельные горизонтальному и фронтальному следам плоскости соответственно.

3.4. Плоскости частного положения

Плоскости частного положения расположены параллельно плоскостям проекции или перпендикулярны им.

Плоскости, параллельные плоскостям проекций П₁, П₂, П₃, называют плоскостями горизонтального (а), фронтального (б) и профильного (в) уровня (рис. 3.5).

а б в

Рис. 3.5

Плоскости, перпендикулярные плоскости проекций П₁, П₂, П₃, называются горизонтально (а), фронтально (б) и профильно (в) проецирующими соответственно (рис. 3.6).

а б в

Рис. 3.6

4. ОСНОВНЫЕ ПОЗИЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ

В начертательной геометрии часто возникает необходимость решать практические задачи, связанные с определением взаимного расположения геометрических элементов относительно друг друга, например, нужно определить принадлежность элементов, параллельность, пересечение и т. д. Такие задачи называются позиционными, а решение их основано на свойствах ортогонального проецирования. Рассмотрим решение названных задач в последовательности от простых элементов к сложным, т. е. от точек – к прямым и плоскостям.