ВВЕДЕНИЕ

Начертательную геометрию из других разделов геометрии выделяет то, что по плоскому изображению предмета можно изучить его геометрические формы, размеры, расположение в пространстве. Эта возможность появляется благодаря применяемым в начертательной геометрии методам проецирования предметов на плоскость.

“Чертеж – язык техники”, – говорил один из создателей начертательной геометрии французский ученый и инженер Гаспар Монж (1746 – 1818 гг.). Дополняя это высказывание Монжа, профессор В. И. Курдюмов (1853 – 1904 гг.) писал: “Если чертеж является языком техники, то начертательная геометрия служит грамматикой этого языка, так как она учит нас правильно читать и излагать наши собственные мысли, пользуясь в качестве слов одними только линиями и точками как элементами всякого изображения”.

Использование методов начертательной геометрии является единственно рациональным путем при конструировании многих сложных поверхностей технических форм. Начертательная геометрия входит в число фундаментальных дисциплин, составляющих основу инженерного образования.

Настоящий конспект лекций содержит изложение основополагающих разделов начертательной геометрии, но не включает в себя такие важные темы, как прямые и плоскости, касательные к поверхностям, развертка поверхностей, некоторые способы преобразования комплексного чертежа и другие, так как эти темы представлены в отдельных методических разработках кафедры и в другой учебной литературе.

В данном конспекте лекций приняты следующие обозначения.

Точки пространства обозначают буквами латинского алфавита: А, В, С или цифрами: 1, 2, 3…

Прямые и кривые линии пространства обозначают строчными буквами латинского алфавита: а, b, с…

Плоскости и поверхности обозначают прописными буквами греческого алфавита: Γ, Θ, Λ, Σ, Φ, Ψ, Ω.

Плоскость проекций: П.

При образовании комплексного чертежа плоскости проекций обозначают П с добавлением цифр 1, 2, 3, 4…, при этом горизонтальная плоскость проекций обозначается как П₁, фронтальная – П₂, профильная – П₃.

Проекции точек, прямых и плоскостей обозначают, как и их оригиналы, с добавлением соответствующего индекса, например: горизонтальные проекции элементов – А₁, а₁, Г₁; фронтальные – А₂, а₂, Г₂; профильные – А₃, а₃, Г₃.

Для некоторых прямых и плоскостей приняты постоянные обозначения: горизонталь – h,фронталь –f, профильная прямая –p– линии горизонтального, фронтального, профильного уровня.

Углы между элементами обозначают строчными греческими буквами: α,β,γ…

Основные операции обозначают так: ≡ – совпадение; – принадлежность;– пересечение геометрических элементов.

1. Методы и свойства проецирования

1.1. Центральное проецирование

Суть метода заключается в том, что предметы (точки, прямые, плоскости, поверхности), находящиеся в пространстве, проецируются на некоторую плоскость лучами, выходящими из одной точки.

Изображение предметов при помощи центрального проецирования обладает хорошей наглядностью, но по такому изображению трудно определить истинную форму и размеры предмета. Проецирование широко применяется в изобразительном искусстве (при построении перспективы), в кинематографии.

При составлении машиностроительных чертежей пользуются другим методом проецирования – параллельным.

1.2. Параллельное проецирование

Существо метода заключается в том, что проецирующие лучи выходят из точки, которая удалена от плоскости проекции в бесконечность. В этом случае проецирующие лучи можно считать параллельными между собой.

Параллельное проецирование отрезка АВ на плоскость П' представлено на рис. 1.1. Лучи, выходящие из точек А и В, параллельны между собой и параллельны заданному лучу .

1.3. Свойства параллельного проецирования

Параллельное проецирование обладает большими возможностями решения графических задач на основе таких свойств: проекцией точки является точка, прямой – прямая линия, параллельных прямых – параллельные прямые. Если точка делит отрезок прямой в некотором отношении, то и проекции отрезка находятся в таком же отношении.

В зависимости от направления проецирующего луча по отношению к плоскости П' параллельное проецирование может быть косоугольным (φ ≠ 90°) или прямоугольным (φ = 90°) – ортогональным.

Все машиностроительные чертежи выполняются на основе ортогонального проецирования, так как в этом случае легко устанавливается соотношение между длиной отрезка и его проекциями и соблюдается свойство о проецировании прямого угла плоскости. Читается это свойство так: прямой угол проецируется на плоскость в общем случае с искажением, но одна из сторон пря- мого угла параллельна плоскости проекций – в этом случае проекция прямого угла – 90°. Это свойство является важным при решении геометрических задач.

Рассмотренные методы проецирования предмета на одну плоскость проекций позволяют однозначно решать прямую задачу, т. е. по данному оригиналу строить его чертежи. Однако обратная задача – по данному чертежу воспроизвести оригинал – не решается однозначно. В этом случае говорят – “чертеж необратим”. Для получения обратимых чертежей существуют различные методы дополнения однокартинного чертежа.

1.4. Способы дополнения однокартинного чертежа

Способ с числовыми отметками. Суть способа заключается в том, что недостающая в плоскости проекций пространственная координата отмечается на чертеже числом. Этот способ широко применяется в топографии, при пост-роении профиля дорог, в том числе железнодорожного пути.

Способ академика Федорова. Принципиальное отличие от предыдущего способа состоит в том, что числовые отметки заменяются масштабными отрезками. Способ в основном применяется в кристаллографии.

Способ составления аксонометрических проекцииприменяют в строительных и машиностроительных чертежах в основном для наглядного изображения предмета.

Способ составления комплексного чертежа наиболее широко применяется при составлении строительных и машиностроительных чер- тежей.

2. ТОЧКА, ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ НА КОМПЛЕКСНОМ

ЧЕРТЕЖЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ПЛОСКОСТЕЙ ПРОЕКЦИЙ

Прежде чем перейти к изображению геометрических элементов на комп-лексном чертеже, рассмотрим положение некоторой точки А в пространственной системе координат – X,Y,Z(рис. 2.1).

Спроецируем ортогонально точку А на три взаимоперпендикулярные плоскости проекций П₁,П₂,П₃и получим проекции этой точки: А₁– горизонтальная; А₂– фронтальная, А₃– профильная. Координаты А_x,A_y,A_zопределяют положение этой точки в пространстве. Такое наглядное изображение точки, находящейся в пространстве, дает представление о расположении точки относительно плоскостей проекций П₁, П₂, П₃. Однако в этом случае искажаются действительные размеры в системе координат и, самое главное, затрудняется чтение чертежа при изображении сложных предметов. Французский геометр Г. Монж предложил перейти от такого изображения предмета к комплексному чертежу.Комплексный чертеж –это ортогональное изображение предмета на две или более взаимоперпендикулярные плоскости проекций, совмещенные с плоскостью чертежа. Это совмещение происходит следующим образом: плоскости П₁и П₃поворачиваются относительно осейXиZдо положения, когда они составляют одну плоскость с П₂(рис. 2.2).

На таком комплексном чертеже точкабудет изображаться своими проекциями. Чтобы точка на чертеже была задана, достаточно иметь две ее проекции. Размеры представляются на комплексном чертеже в натуральную величину. Предмет можно изучать спереди, сверху, слева, но при этом необходимо иметь навыки пространственного представления на таком чертеже.

Прямая на комплексном чертежеможет быть задана двумя точками или своими проекциями. Минимальное количество проекций прямой на чертеже – две (рис. 2.3).

а б

Рис. 2.3

Плоскость на комплексном чертежеможет быть задана тремя точками, точкой и прямой, двумя пересекающимися прямыми, двумя параллельными прямыми, плоской геометрической фигурой (треугольник, окружность и т. д.) и др. Плоскость на комплексном чертеже определяют две ее проекции (рис. 2.4).