7.3. Пересечение поверхностей плоскостью

Линия пересечения поверхности с плоскостью представляет собой плос-кую замкнутую линию, которая может быть плоской замкнутой ломаной прямой в случае пересечения многогранников. Линия определяется минимальным, но достаточным количеством точек, принадлежащих этой линии. Поверхность конуса вращения изображена на рис. 7.12. При различном наклоне секущей плоскости по отношению к оси конуса и образующим линия сечения представляет собой окружность, эллипс, гиперболу, параболу, пару прямых. При построении проекций эллипса достаточно иметь проекции точек, определяющие большую и малую оси. При построении параболы, гиперболы достаточно иметь проекции пяти точек, включая точки их вершин. При построении окружности необходимо знать ее центр и радиус. При построении линии пересечения многогранников необходимо определять точки пересечения ребер одного с гранями другого.

При определении линии пересечения поверхности плоскостью желательно иметь плоскость в проецирующем положении. С этой целью, при необходимости, выполняют преобразования комплексного чертежа. Тогда на одной из плоскостей проекции линия пересечения уже имеется, а на другой ее нужно определить из условия принадлежности точки поверхности. Это условие формулируется так: точка принадлежит поверхности, если принадлежит линии, лежащей в этой поверхности.

П р и м е р 1. Построить проекции сечения конуса вращения плоскостью Σ₂(рис. 7.13).

Ре ш е н и е. Так как плоскость Σ является фронтально проецирующей и пересекает все образующие конуса, то в сечении получается эллипс.

На фронтальной плоскости проекций эллипс совпадает с Σ₂. Крайние точки А и В являются большой осью эллипса. На средине отрезка АВ находится малая ось эллипса СD. Решение задачи сводится к определению горизонтальных проекций точек А, В, С,D. Проекции А₁и В₁определены из условия, что эти точки принадлежат очерковым образующим конуса, их горизонтальные проекции совпадают с горизонтальной штрихпунктирной линией.

Чтобы определить проекции точек С₁,D₁, через проекции точекC₂,D₂проводим параллель, т. е. окружность, на которой лежат точки С,D. По большой и малой осям эллипса строится овал с помощью циркуля или лекала [5].

П р и м е р 2. Построить проекции линии сечения сферы проецирующей плоскостью Σ (рис. 7.14).

Р е ш е н и е. Так как плоскость фронтально проецирующая, то на П₂линия сечения уже есть, она совпадает с Σ₂. Линия сечения представляет собой окружность, не параллельную П₂, поэтому проекция этой окружности на П₁будет представлять собой эллипс. Чтобы построить этот эллипс, необходимы проекции точек большой и малой осей. Отрезок А₂В₂является диаметром окружности в натуральную величину, т. е. фронталью, тогда А₁В₁является малой осью эллипса. Проекции точек С₂D₂, лежащие на середине [А₂В₂], являются сопряженным диаметром фронтально проецирующего положения. Следовательно, С₁D₁= [СD] = d_опрявляется большой осью эллипса. По большой и малой осям можно построить эллипс, но полезно предварительно построить точки смены видимости Е иF, которые лежат на экваторе. Линия эллипса слева от Е₁иF₁невидима, так как она находится под сферой.

П р и м е р 3. Построить проекции линии сечения поверхности конуса плоскостью общего положения (аh) (рис. 7.15).

Р е ш е н и е. Преобразуем плоскость общего положения в проецирующую способом замены плоскостей проекций. Для этого перпендикулярно горизонтали h₁проводим координатную ось П₁/П₄и на П₄строим проекции плоскости и конуса, отмечаем большую ось А₄В₄и малую С₄≡D₄. По принадлежности определяем проекции точек А₁, В₁, С₁,D₁, затем с условием видимости – А₂, В₂, С₂,D₂.

Рис. 7.15