7.4. Пересечение поверхностей с прямой

Универсальным способом определения точек пересечения прямой с поверхностью является способ вспомогательных секущих плоскостей, суть которого заключается в следующем: чтобы определить точки пересечения прямой с поверхностью, необходимо через прямую провести проецирующую плоскость, построить линию пересечения этой плоскости с поверхностью и отметить точки пересечения этой линии с прямой, которые и являются точками пересечения прямой с поверхностью.

П р и м е р 1. Построить точки пересечения поверхности вращения (тора) с прямой l(рис. 7.16).

Р е ш е н и е. Через проекцию прямой l₂проводим фронтально проецирующую плоскость Σ и строим на П₁проекцию линии пересечения этой плоскости с тором. Отмечаем точки пересечения этой линии с прямойl– М₁иN₁. По принадлежности находим фронтальные проекции точек М₂N₂, определяем видимость этих точек и затем – всей прямойl.

Иногда рациональнее определять точки пересечения некоторых поверхностей с прямой с помощью преобразования комплексного чертежа.

П р и м е р 2. Построить пересечение сферы с прямой (рис. 7.17).

Р е ш е н и е. Через l₁проводим горизонтально проецирующую плос- костьt. Плоскость пересекает сферу по окружностиt₁с центром О. Параллельно плоскости окружности проводим ось П₁/П₄, из О₁– линию связи перпендикулярно П₁/П₄, определяем О₄и радиусом окружности проводим ее на П₄. Строим проекцию и отмечаем точки М₄иN₄, которые являются точками пересечения прямой со сферой. По принадлежности, с учетом видимости, определяем проекции точек М₁,N₁и М₂,N₂.

Рис. 7.16 Рис. 7.17

П р и м е р 3. Построить точки пересечения поверхности кругового цилиндра с прямой l(рис. 7.18).

Р е ш е н и е. Поверхность цилиндра можно представить в проецирующем положении, для чего достаточно заменить плоскость проекций П₁на П₅. Построить проекции цилиндра и прямой, отметить точки М₅и N₅, затем по принадлежности, с учетом видимости, – М₂,N₂, и М₁,N₁.

При построении точек пересечения прямой с эллиптическими цилиндрической или конической поверхностями целесообразно проводить вспомогательные плоскости через прямую параллельно образующим цилиндра или через вершину конуса соответственно. В этом случае плоскости пересекают эти поверхности по образующим; там, где эти образующие пересекают прямую, и находятся точки пересечения прямой с поверхностью. Образующие определятся при пересечении следа плоскости с основанием цилиндра (конуса).

П р и м е р 4. Определить точки пересечения прямой lс поверхностью наклонного эллиптического конуса (рис. 7.19).

Р е ш е н и е. Через две произвольные точки прямой 1, 2 и вершину конуса Sпроводим прямые. Определяем горизонтальный след полученной плоскости. Из точек пересечения следа плоскости и основания конуса проводим образующие. Отмечаем точки пересечения образующих и прямой – М₁,N₁и М₂,N₂, которые и являются точками пересечения прямойlи конуса.

П р и м е р 5. Определить точки пересечения прямой lс поверхностью наклонного эллиптического цилиндра (рис.7.20).

Р е ш е н и е. Через две произвольные точки прямой 1, 2 проводим прямые параллельно образующим цилиндра. Определяем горизонтальный след полученной плоскости. Из точек пересечения горизонтального следа и основания цилиндра проводим образующие. Отмечаем точки пересечения образующих и прямой – М₁,N₁,M₂,N₂, которые и являются точками пересечения прямойlи цилиндра.

Рис. 7.20