4.1. Взаимное расположение двух точек

Положение точки на чертеже определяется координатами. Точка расположена выше другой, если у нее больше координата Z. Точка находится ближе к наблюдателю, если у нее большая координатаY. От профильной плоскости проекции дальше удалена та точка, у которой больше координата Х.

Практический интерес вызывают точки, расположенные на одном перпендикуляре к плоскости проекций (рис. 4.1). Такие точки на чертеже называются конкурирующими.По ним определяется видимость элементов на чертеже. Из двух конкурирующих точек видимой считается та, у которой больше координата на другой плоскости проекций.

В данном случае видимой на фронтальной плоскости проекций будет точка b, так как у нее больше координатаY.

Рис. 4.1 Рис. 4.2

4.2. Взаимное расположение прямой и точки

Точка принадлежит прямой, если ее проекции принадлежат одноименным проекциям прямой (рис. 4.2).

4.3. Взаимное расположение двух прямых

Прямые относительно друг друга могут быть параллельными (рис. 4.3, а), пересекающимися (б), скрещивающимися (в).

а б в

Рис. 4.3

4.4. Взаимное расположение точки и плоскости

Точка принадлежит плоскости, если она принадлежит прямой, лежащей в этой плоскости.

П р и м е р. Плоскость задана следами (h⁰f ⁰). Требуется построить точку А, принадлежащую этой плоскости (рис. 4.4).

Р е ш е н и е. Так как в плоскости можно построить бесчисленное множество точек, принадлежащих этой плоскости, то на одной из плоскостей проекций произвольно ставим одну проекцию точки (например, А₂), но вторую проекцию А₁находим из условия принадлежности точки плоскости. Для этого через А проводим прямую, т. е. через А₂проводимh₂до пересечения сf ⁰, определяем горизонтальную проекцию точки 1 и из 1₁параллельно горизонтальному следу проводимh₁, на которой и отмечаем А₁.

4.5. Взаимное расположение прямой и плоскости

Прямая принадлежит плоскости, если имеет две общие точки или одну общую точку и параллельна какой-либо прямой, лежащей в плоскости. Пусть плоскость на чертеже задана двумя пересекающимися прямыми. В данной плоскости требуется построить две прямыеmиnв соответствии с этими условиями(Г(аb))(рис. 4.5).

Ре ш е н и е. 1. Произвольно проводимm₂, так как прямая принадлежит плоскости, отмечаем проекции точек пересечения ее с прямымиаиbи определяем их горизонтальные проекции, через 1₁и 2₁проводимm_1.

2. Через точку К плоскости проводим n₂║m₂ иn₁║m₁.

Прямая параллельна плоскости, если она параллельна какой-либо прямой, лежащей в плоскости.

Пересечение прямой и плоскости.Возможны три случая расположения прямой и плоскости относительно плоскостей проекций. В зависимости от этого определяется точка пересечения прямой и плоскости.

Первый случай– прямая и плоскость – проецирующего положения. В этом случае точка пересечения на чертеже имеется (обе ее проекции), ее нужно только обозначить.

П р и м е р. На чертеже задана плоскость следами Σ (h⁰f ⁰)– горизонтально проецирующего положения – и прямаяl– фронтально проецирующего положения. Определить точку их пересечения (рис. 4.6).

Точка пересечения на чертеже уже есть – К(К₁К₂).

Второй случай – или прямая, или плоскость – проецирующего положения. В этом случае на одной из плоскостей проекций проекция точки пересечения уже имеется, ее нужно обозначить, а на второй плоскости проекций – найти по принадлежности.

а б

Рис. 4.7

Пр и м е р ы. На рис. 4.7, а изображена плоскость следами фронтально проецирующего положения и прямаяl– общего положения. Проекция точки пересечения К₂на чертеже уже имеется, а проекцию К₁необходимо найти по принадлежности точки К прямойl. На рис. 4.7, б плоскость общего положения, а прямаяm– фронтально проецирующего, тогда К₂уже есть (совпадает сm₂), а К₁нужно найти из условия принадлежности точки К плоскости. Для этого через К проводят прямую (h– горизонталь), лежащую в плоскости.

Третий случай– и прямая, и плоскость – общего положения. В этом случае для определения точки пересечения прямой и плоскости необходимо воспользоваться так называемым посредником – плоскостью проецирующей. Для этого через прямую проводят вспомогательную секущую плоскость. Эта плоскость пересекает заданную плоскость по линии. Если эта линия пересекает заданную прямую, то есть точка пересечения прямой и плоскости.

П р и м е р ы. На рис. 4.8 представлены плоскость треугольником АВС – общего положения – и прямая l– общего положения. Чтобы определить точку пересечения К, необходимо черезlпровести фронтально проецирующую плоскость Σ, построить в треугольнике линию пересечения Δ и Σ (на чертеже это отрезок 1,2), определить К₁и по принадлежности – К₂. Затем определяется видимость прямойlпо отношению к треугольнику по конкурирующим точкам. На П₁конкурирующими точками взяты точки 3 и 4. Видима на П₁проекция точки 4, так как у нее координата Z больше, чем у точки 3, следовательно, проекцияl₁от этой точки до К₁будет невидима.

На П₂конкурирующими точками взяты точка 1, принадлежащая АВ, и точка 5, принадлежащаяl. Видимой будет точка 1, так как у нее координатаYбольше, чем у точки 5, и следовательно, проекция прямойl₂ до К₂невидима.

На рис. 4.9 изображены плоскость общего положения (задана следами) и прямая mтакже общего положения. Чтобы определить точку пересеченияmи плоскости, надо черезm₂провести Σ₂– фронтально проецирующую плоскость, построить линию пересечения двух плоскостей (отрезок 1,2), отметить К₁и по принадлежности этой точки прямойlопределить К₂.