7.5. Взаимное пересечение поверхностей

7.5.1. Пересечение многогранников

Линия пересечения в общем случае является замкнутой пространственной ломаной прямой. Определяется точками пересечения ребер одного многогранника с гранями другого. Точки пересечения ребер с гранями объединяются в звенья. Звено считается видимым, если принадлежит видимым граням. В случае, когда один многогранник – призма, целесообразно на чертеже ее представить в проецирующем положении. Пример построения линии пересечения пирамиды и призмы приведен на рис. 7.21. Так как призма горизонтально проецирующего положения, то на плоскости П₁проекция линии пересечения уже есть, она обозначена точками пересечения ребер пирамиды с гранями призмы – 1₁, 2₁, 3₁и 4₁, 5₁, 6₁, 7₁, 8₁. Линия пересечения в приведенном примере представляет собой два замкнутых контура. Один из них – плоская фигура (треугольник с вершинами, обозначенными точками 1 – 3), второй – прост-ранственный пятиугольник (точки 4 – 8).

Фронтальные проекции линии пересечения определяются по принадлежности точек 1, 2, 3, 4, 5, 7 ребрам пирамиды, а точек 6 и 8 – граням пирамиды АВ и ВС соответственно, для чего через точки 6₁и 8₁в этих гранях проводятся прямые l и l'.

7.5.2. Пересечение многогранника с криволинейной поверхностью

Линия пересечения в общем случае представляет собой замкнутую пространственную ломаную кривую, которая определяется пересечением граней многогранника с криволинейной поверхностью. Если одна из поверхностей является призмой или цилиндром, то для решения на чертеже их удобно представить в проецирующем положении.

П р и м е р. Дан конус, имеющий призматическое отверстие, образованное четырьмя фронтально проецирующими гранями. Требуется определить линию пересечения (рис. 7.22).

Р е ш е н и е. Так как грани отверстия фронтально проецирующие, то проекция линии пересечения на П₂уже имеется (совпадает с самими проекциями этих граней). Чтобы определить горизонтальную проекцию линии пересечения, достаточно построить проекции линий от этих четырех граней отверстия. Начнем с верхней грани. Эта грань параллельна основанию кругового конуса, поэтому она его пересекает по части окружности, ограниченной слева точками 1 и 2. Радиус этой дуги по величине соответствует отрезку от осевой конуса до точки на очерковой образующей конуса (R). Вторая грань представляет собой плоскость, пересекающую конус по параболе. Для ее построения достаточно продолжить грань до пересечения с очерковой образующей конуса – получить вершину параболы (точка 3) и определить точки 4 и 5 из условия принадлежности точки поверхности. Пересечение третьей грани с конусом дает часть гиперболы, ограниченную точками 4, 5 и 6, 7. Горизонтальная проекция этой гиперболы будет представлять собой отрезки [4₁, 5₁] и [6₁, 7₁].

Четвертая грань параллельна основанию, поэтому горизонтальная проекция линии пересечения проецируется в натуральную величину (частью окружности радиуса R').

Пример построения линии пересечения цилинд-ра и пирамиды приведен в работе [1, с. 54].