1.3 Метод уравнений узловых напряжений

1.3.1 Вывод узловых уравнений

Эти уравнения выводятся из выражения уравнений баланса токов в узлах по первому закона Кирхгофа (2). Для электрической сети в матричной форме записи

, (24) где – вектор‑столбец задающих токов узлов n-го порядка;

–вектор‑столбец искомых токов ветвей порядка m.

В общем случае из этого уравнения нельзя найти токораспределение , так как число уравнений равно числу узловn, а число неизвестных равно числу ветвей m. Выразим токи ветвей через падения напряжения на ветвях , принимая Е_в = 0 (что достаточно типично)

. (25)

Падения напряжения на ветвях, с использованиемI‑ой матрицы соединений , можно выразить через напряжения узлов электрической сети или , т.е. через вектор-столбец меньшей размерности, чем число ветвей:

(26) или

Здесь – транспонированнаяI-я матрица инциденций,

–вектор-столбец падений напряжений в узлах сети относительно базисного узла,

–вектор-столбец напряжений узлов электрической сети n-ого порядка,

(27)

‑составной вектор (n+1)-го порядка, содержащий n-ого порядка и напряжение в балансирующем узле .

Подставив в уравнение (24) токи ветвей из (25) и падения напряжения на ветвях сети из (26), получим:

(28)

Обозначим произведение трех матриц через :

(29)

–квадратная неособенная матрица n-го порядка. Её называют матрицей собственных и взаимных проводимостей узлов электрической сети – важнейшая матрица параметров в анализе электрических сетей.

С учетом подстановки формула (29) примет следующий вид

(30)

Выражение (30) представляет систему узловых уравнений установившегося режима электрической сети при задании нагрузок в токах.

Если выразить по (26) черезабсолютные значения напряжений узлов U =U^’+jU” U_у и подставить в (24), то получим

(31)

Произведение представляет собой матрицу , дополненную столбцом проводимостей между i-м и балансирующим узлами

, (32)где - столбец проводимостей ветвей, связывающих БУ со схемой.

С учетом (32) левая часть системы узловых уравнений (30) получит вид

(33)

Перенеся известное произведение в правую часть (31), получим систему узловых уравнений, составленную для напряжений узлов электрической сети

(34)

Замечаем, что обе системы узловых уравнений (30) и (34) имеют матрицы коэффициентов – матрицы узловых собственных и взаимных проводимостей.

Поскольку матрица узловых проводимостей для совокупности независимых узлов схемы невырожденная, то системы уравнений (30) и (34) могут быть решены (путем обращения этой матрицы или другим способом) относительно векторов зависимых переменных или

(35)

(36)

Нагрузки в узлах сети часто представляют через узловые задающие мощности.

(37)

Тогда

(38)

или

(39)

Из уравнений (38), (39) вытекает важное заключение: задача расчета установившегося режима электрической сети по природе своей нелинейная, поскольку в правой части в знаменателе также присутствуют неизвестные или.

Системы нелинейных уравнений (38) – (40) могут разрешаться относительно искомых напряжений узлов аналогично (35) с организацией внешнего итерационного процесса коррекции задающих токов J_у по узловым мощностям S_у и рассчитанным напряжениям (37).

Если напряжения узлов рассчитаны с желаемой точностью (по выражениям (35), (36) или какими-либо другими методами), то остальные параметры режима – токи ветвей I_в, потоки и потери мощности S_ij, Sij – определятся однозначно и точно.