1.2.3 Определение блоков II-ой матрицы инциденций «ветви – контуры» на основе блоков 1-ой матрицы «узлы – ветви»

После того, как для схемы (вручную или на ЭВМ с помощью машинного алгоритма) составлена блочная I–ая матрица инциденций , в которой отделены дерево и хорды схемы, процесс получения блочнойII-ой матрицы соединений можно формализовать и алгоритмизировать. Покажем это.

В выражении (9) ‑ падение напряжения на ветвях, можно записать как:

или ₍₁₂₎

, (13)

где – вектор-столбец напряжений в узлах сетиn-го порядка;

–единичный вектор-столбец n-го порядка.

Подставляя (12) в (9), получим из 2-го закона Кирхгофа:

(14)

Если произведение трех величин равно нулю, то равен нулю один из сомножителей или произведение двух других.

Поскольку , следовательно

(15)

Формула (15) выражает общее топологическое свойство связанного направленного графа. Для дальнейшего рассмотрения и возможности каких-либо преобразований она может быть убедительно истолкована [1].

Подставим матрицы N и М в виде их блоков выражение (15)

(16)

Заметим, что М_α и N_β – квадратные и обратимые матрицы.

Перемножив, получим

(17)

При формировании базисной системы независимых контуров подматрица N_ есть единичная матрица, т.е. , и при умножении Е опускается. Получаем:

(18)

Теперь выразим подматрицу из (18), умножая оба слагаемых насправа:

, (19) а

.

То есть при выделении базисной системы независимых контуров, когда , подматрицу можно получить выполнением стандартных операций над блоками первой матрицы инциденций,.

На использовании второй матрицы инциденций основан полный метод расчета и анализа электрического режима – метод контурных уравнений, который будет рассмотрен ниже.

Вопросы для самопроверки

1. Какова структура и размерность второй матрицы соединений?

2. При каких условиях ‑ единичная матрица?

3. Как формулируется основное свойство связанного направленного графа?

4. Дайте характеристику и область применения второй матрицы инциденций .

5. Почему для нахождения напряжений узлов сети относительно базисного из выраженийдостаточно обратить матрицу?

6. Какая связь существует между подматрицами первой и второй матриц инциденций и как она формулируется?

7. Обоснуйте достаточность информации, содержащейся в подматрицах ,для формирования подматрицы.

1.2.3 Запись уравнений состояния сети по законам Кирхгофа

Уравнения состояния электрической сети по законам Кирхгофа (2) и (11) связаны общим вектором искомых неизвестных ‑ токов ветвей Iи образуют систему изmуравнений сnнеизвестными

или, введя составные (блочные) матрицы, получаем

(20)

Матрицы соединений ,и диагональную матрицу сопротивлений ветвей можно представить в виде блоков для дерева и хорд схемы как в (3), (16):

(21) или, приняв обозначения

,;

запишем (21) как

(22)

Здесь – квадратная составная матрица коэффициентов системы уравнений порядкаm, содержит информацию об узловой и контурной моделях конфигурации сети в виде матриц ии о параметрах сетиZ_α , Z_; F – вектор-столбец правых частей системы уравнений – содержит ‑ задающие токи узлов и‑ ЭДС ветвей ‑ независимые заданные характеристики режима; – вектор-столбец неизвестных системы уравнений ‑ токи ветвей схемы ‑ искомые характеристики режима.

Уравнения (21), (22) решается относительно токов ветвей .

(23)

По найденному токораспределению и известному напряжению в балансирующем узлемогут быть найдены падения напряжения на ветвях и напряжения остальных узлов сети , . Таким образом, задача расчета режима в линейной постановке удовлетворительно решается по уравнениям Кирхгофа, однако для промышленных программ этот подход не применяется, так как порядок системы уравнений (22) и обращаемой матрицыA велик – равен числу ветвей схемы m. Для разработки промышленных программ расчета режимов применяются методы, приводящие к системам уравнений состояния с матрицами меньшей размерности – узловые методы или контурные методы расчета установившихся режимов электрических систем.