II Методы решения уравнений установившихся режимов электрических систем

2.1. Математическая характеристика уравнений установившегося режима

Особенности уравнений установившихся режимов электрических систем:

- многомерность систем уравнений;

- слабая обусловленность, в расчетах многих схем, матрицы узловых собственных и взаимных проводимостей и матрицы контурных сопротивлений, т.е. близость к нулю определителей этих матриц detY_y,detZ_к;

- нелинейность уравнений, вызванная нелинейным характером связи параметров режима.

Обусловленность матрицы характеризует величину определителя матрицы. Для слабо обусловленной матрицы A определитель близок к 0, т.е. detA0

Для матрицы Y_, как известно,detY_= 0 , т.е. имеем вырожденную матрицу для полной схемы сети, включая балансирующий узел. Эта матрица перестает быть вырожденной, когда какой-либо узел сети, в соответствии с физическим смыслом задачи расчета режима, принимается за балансирующий и соответствующая строка удаляется из матрицыY_. Тогда получаем, чтоdetY0.

Практическое значение характеристики обусловленности матрицы узловых проводимостей состоит в том, что в плохо обусловленной матрице Y detY0, и малым изменениям в элементах исходной матрицыYсоответствуют большие изменения в элементах обратной матрицыY^-1и, следовательно – малые отклонения заданных режимных параметров вызовут большие изменения искомых характеристик режима (падения напряжения на ветвях и потоки мощности в ветвях), т.е. наблюдаетсятекучесть параметров режима. Покажем это для узловых уравнений:

(85)

(86)

где А_ijy– союзная (или присоединенная) матрица кY, составленная из алгебраических дополнений к элементам исходной матрицыY.

2.2. Характеристика методов решения систем уравнений установившегося режима

Методы решения систем уравнений делятся на точные и итерационные. Точные методы имеют конечные алгорифмы. К точным методам относятся решение систем уравнений путем обращения матриц коэффициентов, различные методы группы исключения неизвестных (схема единственного деления, метод исключения с выбором главного элемента, схема Жордана и др.), в общем случае называемые методом Гаусса. Согласно методу Гаусса, при прямом ходе производится исключение неизвестных и матрица системы приводится к треугольному виду. При обратном ходе последовательно вычисляются неизвестные.

Применение метода Гаусса к решению систем уравнений установившихся режимов со слабо заполненными матрицами имеет тот недостаток, что в процессе исключения неизвестных свойство слабой заполненности матрицы теряется, то есть вновь появляется большое число ненулевых элементов. Это не только требует дополнительного объема памяти, но и снижает быстродействие программы. Проблема отчасти решается за счет выбора оптимальной стратегии исключениянеизвестных, приводящей к минимальному количеству появляющихся ненулевых элементов. Для этого на каждом шаге исключения за ведущий (исключаемый) принимается тот элемент, который имеет минимальное число связей, то есть минимальное число ненулевых элементов в строке.

Эта проблема особенно актуальна для узловых уравнений, имеющих слабо заполненную матрицу большой размерности. Минимальное число элементов в строке матрицы узловых проводимостей равно 2 ‑ одна собственная проводимость y_iiи одна взаимнаяy_ij. При линейных комбинациях со строками в процессе исключения неизвестных в первую очередь исключают узлы, имеющие минимальное число связей – одну связь и два элемента в строке матрицыY– так называемые висячие вершины графа. Далее исключают узлы, имеющие по две связи и т.д. Исключение элементов из системы узловых уравнений с матрицей узловых проводимостей соответствует исключению узлов в схеме по методу преобразования сети. При этом, как известно, нагрузка исключаемого узла разносится в прилежащие узлы, а проводимости (сопротивления) связей преобразуются по формулам метода Гаусса. В общем случаеn-лучевая звезда преобразуется вn-угольник. Такой алгоритм исключения реализован в широко распространенной программе МУСТАНГ, разработанной в 80-90-х годах в ОДУ Северо-запада ЕЭС СССР (г. Рига) совместно с ведущим НИИ в электроэнергетике – Сибирским энергетическим институтом Сибирского отделения АН СССР. Следует заметить также, что программы решения узловых или контурных уравнений по методу исключения неизвестных значительно сложнее, чем по методу итерации.