0. 1.2.1 Первая матрица инциденций «узлы-ветви» и ее применение для записи 1-го закона Кирхгофа

Для составления первой матрицы инциденций M_nxm заготавливается таблица, состоящая из n строк (по числу узлов) и m столбцов (по числу ветвей), где m = n + k. Строки ее соответствуют узлам, а столбцы ‑ ветвям схемы замещения.

Номер строки матрицы соответствует номеру рассматриваемого узла i. Номер столбца j соответствует номеру рассматриваемой ветви в объединенном массиве информации о ветвях. Элемент m_i,j матрицы, принадлежащий i-й строке и j-ому столбцу, может принимать одно из трех значений:+1, -1, или 0

m_i,j = 1- если узел i является начальной вершиной ветви j (ветвь j “оттекает” от узла i).

m_i,j = ‑1- если узел i является конечной вершиной ветви j (ветвь j “подтекает” к узлу i).

m_i,j = 0-если узел i не является вершиной ветви j, т.е. не связан с этой ветвью.

Правило знаков о направлениях для подтекающих и оттекающих ветвей можно принять любое, но одно для решаемой задачи. Мы придерживаемся принятого в [1].

Каждая i-я строка матрицы показывает, какие ветви j, гдеj = 1, 2,…,m, связаны с данным узлом i и как они направлены. Если ввести в рассмотрение вектор-столбец токов ветвей , где, то произведение i-й строки матрицына вектор-столбец токов ветвей, полученное по правилам действий с матрицами, даст алгебраическую сумму токов, сходящихся по ветвям в i-том узле, и эта сумма должна быть равна задающему току в узле , т.е. получаем выражение I-го закона Кирхгофа для соответствующего узла i

(1)

Если такое умножение выполнить для всех строк матрицы , то получим запись первого закона Кирхгофа для схемы в целом:

(2)

где – вектор-столбец задающих токов вn независимых узлах (БУ не является независимым узлом).

1-я матрица инциденций , дополненная строкой связности для балансирующего узлаM_n+1,j, где j = 1,…,m, обозначается как . Каждыйj-ый столбец матрицы содержит обязательно +1 и -1 и указывает, какие узлы ограничивают данную j-ую ветвь. Сумма элементов любого j-го столбца матрицы равна нулю.

Знаки для элементов векторов-столбцов токов ветвей и токов узлов, входящих в состав выражения (1), (2), принимаются, как и для элементов матрицы. Следовательно, токи нагрузок стоящие в векторе , оттекают от узлов и имеют знак “+”, токи генераторов подтекают к узлам и имеют знак “-“

При принятой раздельной нумерации ветвей дерева и хорд, матрица формируется как блочная с блокомразмерностью (n x n) ‑ для дерева сети, и блоком размерностью (n x k) – для хорд. Соответственно вектора параметров ветвей и параметров режима ветвей будут содержать составляющие для дерева сети с индексом α (Z_α, I_α, S_α), и для хорд с индексом β (Z_, I_, S_)

(3)

С учетом блочной структуры матриц выражение (2) примет вид:

(4)

Выполнив умножение, получим:

(5)

Для схемы типа дерева – разомкнутой сети, контура и хорды отсутствуют, ,. Тогда выражение (5) примет вид

(6)

Подматрица квадратная, невырожденная, сумма ее строк не обращается в ноль, поскольку для БУ строка отсутствует. Следовательно, уравнение (6) может быть решено относительно токов в ветвях дерева:

(7)

Обратную матрицу можно находить прямым обращением матрицыдля дерева сети, но можно определить путем элементарных преобразований матрицы. К элементарным преобразованиям относятся:

- перестановка строк.

- умножение всех элементов строк на число не равное нулю.

- прибавление к строке другой строки, умноженной на некоторое число.

Схематически процесс нахождения обратной матрицы можно изобразить так:

элементарные преобразования  ,

где – единичная матрица.

Здесь матрица – обратная для матрицы() – представляет собой матрицу коэффициентов токораспределения для дерева сети; согласно (6) ее элемент С_{р ij} показывает, какая доля от тока j-го узла J_j будет протекать по i-ой ветви дерева схемы.

В частном случае разомкнутой сети типа дерева по уравнению (7), с помощью матрицы при известных задающих токах узловможет быть найдено токораспределение в ветвях – матрица:

(8)

В разомкнутом режиме по схемам типа дерева работает целый класс электрических сетей – распределительные сети с номинальными напряжениями 0,4кВ, 6-10кВ, 35кВ, частично 110кВ, которые выполнены (сооружены) как замкнутые сети с резервированием, но работают в разомкнутом режиме. Поэтому быстрые и эффективные способы решения на ЭВМ задачи (7), (8) практически актуальны, и были разработаны и программно реализованы в 70-х годах в работах кафедры «Электрические сети и системы» Киевского политехнического института, Белорусского политехнического института и явились основой программных комплексов анализа оптимизации режимов разомкнутых сетей, например, поиск оптимальных мест размыкания городской кабельной сети по критерию минимума потерь мощности и энергии и пр.