Расчет режима электрической сети по обращенным узловым уравнениям

Организуем итерационный процесс на базе матричного уравнения:

, (25)

где - матрица узловых проводимостей без учета балансирующего узла,- вектор-столбец падений напряжений в узлах сети, относительно балансирующего узла,- вектор-столбец задающих токов (токи содержат свой знак).

Оставим в левой части уравнения (25) лишь вектор-столбец падений напряжений.

. (26)

Распишем как разность напряжений в узлахи напряжения в балансирующем узле:

. (27)

Приравняем правые части уравнений (26) и (27):

(28)

Выразим вектор-столбец напряжений в узлах:

(29)

Выразим через задающую мощность в узлах и напряжения в узлах схемы:

(30)

Подставим выражение (30) в выражение (29):

(31)

Обратную матрицу в выражении (31) обозначим через Z. Она носит название – матрица собственных и взаимных сопротивлений. Элементы матрицы узловых сопротивленийZ_ijпредставляют собой коэффициенты частичного падения напряжения, или коэффициенты влияния тока нагрузки вj-том узле на напряжение вi-том узле.

(32)

С учетом нового обозначения (32), уравнение (31) примет вид:

(33)

Итерационная процедура определения напряжения по обращенным уравнениям может быть ускорена, если на k-той итерации для расчета i-того неизвестного принимать из этой жеk-той итерации, а остальные неизвестные U_i+1 брать из (k-1) итерации, то есть вести процесс по методу ускоренной итерации. Так и поступим.

На основе уравнения (33) составим систему уравнений для итерационного процесса:

Точность итерационного процесса будет равна: ε= U_i+1-U_i ≤0.04 кВ, где i- номер итерации.

Вычислим обратную матрицу узловых проводимостей .

Зададимся нулевым приближением узловых напряжений и рассчитаем первую итерацию:

Первая итерация:

Сравнивая эти значения с рассчитанными напряжениями в первом приближении по методу узловых уравнений в не обращенной форме, можно сделать вывод, что данный метод дает уже в первом приближении значения узловых напряжений с очень хорошей точностью.

Вторая итерация:

Произведем построение графика сходимости итераций U=f(I), где I – номер итерации:

Рисунок 3

На основе проведенного итерационного процесса, производим расчет режима нашей сети.

Падение напряжения в узлах относительно балансирующего:

Определяем токи в ветвях схемы:

Определяем падения напряжения в ветвях схемы:

Определяем потоки мощности в ветвях схемы:

Определим потери мощности в ветвях сети:

Определяем суммарные потери мощности в ветвях:

Определим токи в узлах схемы:

Определим мощности в узлах сети:

Рассчитаем небаланс мощности. Как уже говорилось ранее, он не должен превышать 1%.

Как видно, небаланс мощности менее 1%. Это свидетельствует о том, что заданная точность итерационного процесса нас полностью удовлетворяет как по напряжению, так и по мощности.

Расчет режима электрической сети методом Ньютона

Итерационный процесс будет базироваться на уравнении:

, (34)

где - матрицу узловых проводимостей без учета балансирующего узла,- вектор-столбец падений напряжений, относительно балансирующего,- вектор-столбец задающих токов (токи содержат при себе свой знак).

Распишем как разность напряжений в узлахи напряжения в балансирующем узле:

. (35)

Выразим через задающую мощность в узлах и напряжения в узлах схемы:

(36)

Подставив уравнения (36) и (35) в уравнение (34) получаем:

(37)

Раскрыв скобки и перенеся все слагаемые в левую часть, запишем выражение для i-того узла схемы в общем виде:

(38)

где j- количество узлов в схеме, i- номер узела в сети.

Запишем систему уравнений для нашей сети и приравняем ее вектор-функции W(U):

(39)

Проводимость между i-тым узлом и балансирующим будет находиться по формуле:

(40)

где n- количество узлов в схеме.

Или при вычислении через матрицув начале расчета.

Составим матрицу Якоби, взяв частные производные по dUjот каждой i-той строчки системы (39) :

(41)

Тогда итерационная формула запишется в виде:

, (42)

где

. (43)

Точность проверяется следующим образом:

(44)

Зададимся начальным приближением напряжений в узлах и рассчитаем приводимости :

Рассчитаем первую итерацию, по результатам которой получим вектор-функцию небаланса токов в узлах в первом приближении W1:

Теперь берем частные производные :

Находим напряжения в первом приближении по формуле :

Аналогично рассчитаем вторую итерацию, по результатам которой получим вектор-функцию небаланса токов в узлах во втором приближении W2:

Снова берем частные производные и получаем обратную матрицу:

Найдем напряжения уже второго приближения согласно формуле :

Как и ожидалось, метод Ньютона дал одну из самых быстрых сходимостей итерационного процесса. Можно смело утверждать, что его основное преимущество — быстрая сходимость, однако он более трудоёмок на каждой итерации.

Произведем построение графика сходимости итераций U=f(I), где I – номер итерации:

Рисунок 4

На основе проведенного итерационного процесса, производим расчет режима нашей сети.

Падение напряжения в узлах относительно балансирующего:

Определяем токи в ветвях схемы:

Определяем падения напряжения в ветвях схемы:

Определяем потоки мощности в ветвях схемы:

Определим потери мощности в ветвях сети:

Определяем суммарные потери мощности в ветвях:

Определим токи в узлах схемы:

Определим мощности в узлах сети:

Рассчитаем небаланс мощности. Как уже говорилось ранее, он не должен превышать 1%.

Как видно, небаланс мощности менее 1%. Это свидетельствует о том, что заданная точность итерационного процесса нас полностью удовлетворяет.