Билет 15
1. Решение системы дифференциальных уравнений с помощью функции rkfixed.
2. Двумерный график в прямоугольной системе координат.
1.
Решение системы дифференциальных уравнений с помощью функции rkfixed.
Функция rkfixed решает системы обыкновенных дифференциальных уравнений ме-
тодом Рунге-Кутта с фиксированным шагом интегрирования.
Исходную систему
Функция rkfixed имеет пять аргументов:
Y0-вектор начальных значений зависимых переменных.
z0-начальное значение независимой переменной.
T1-конечное значение независимой переменной.
Num-число точек вычисленных на временном диапазоне (z0,T1).
D-вектор правых частей системы дифференциальных уравнений. 59
Функция rkfixed возвращает матрицу, число строк которой равно num. Число
столбцов равно порядку системы(числу зависимых переменных) плюс столбец значений-
независимой переменной.
Нулевой столбец матрицы –столбец значенийнезависимой переменной.
Первый столбец матрицы-столбец значений нулевой зависимой переменной.
Второй столбец матрицы-столбец значений первой зависимой переменной.
И т.д.
2.
Визуализируем синусоидальное напряжение с помощью Mathcad’a.
1. На рабочем листе укажем функцию, которую надо визуализировать (начертить)
Ua:=10
ω:=314
U(t):=Ua∙sin(ω∙t)
t:= -0.1, -0.099..0.1
2. Из панели Math/Graph Toolbar вызовем панель Graph
3. Щёлкнем левой кнопкой мыши по тому месту рабочего листа, где хотим по-
лучить график функции. Это место обязательно должно быть расположено
ниже определения функции, которое было сделано в пункте 1. Затем надо
щёлкнуть левой кнопкой мыши по пиктограмме X-Y Plot из панели Graph.
Появится заготовка для двумерного графика.
4. В нижний центральный местозаполнитель введём t-имя аргумента функции.
Аргумент задан как ранжированная переменная. В левый центральный ме-
стозаполнитель введём имя функции U(t). В результате получим график
Для изменения масштаба изображения надо щёлкнуть левой кнопкой мыши по области
графика. Появятся невидимые ранее числа, указывающие предельные значения вдоль оси ординат
и вдоль оси абсцисс.
Надо щёлкнуть левой кнопкой мыши по соответствующему числу и изменить его значе-
ние. В результате появится график с изменёнными предельными значениями (с изменёнными
масштабами)
В одной системе координат можно построить несколько графиков функций. Для этого надо
описать все функции, а слева от чертежа перечислить через запятую имена функций.
Например, изобразим две функции U(t) и U1(t).
Ua:=10
ω:=314
U(t):=Ua∙sin(ω∙t)
U1(t):=Ua∙cos(ω∙t)
t:= -0.1, -0.099..0.1
Влияние процессов дискретизации на вид графика функции. В Mathcad’e график изобража-
ется на основе значений вычисленных в дискретных точках, которые задаются ранжированной пе-
ременной. То есть график восстанавливается по дискретизированному значению функции.
Теорема Котельникова(упрощенная формулировка для синусоидального сигнала). Для вос-
становления синусоидальной функции по её дискретизированным значениям необходимо, чтобы
период дискретизации был меньше половины периода синусоидального сигнала.
Например, если будем брать значения функции в точках отстоящих друг от друга точно на
период функции, то все ординаты этих точек будут иметь одно значение. При восстановлении
функции по этим значениям получим прямую линию вместо синусоиды.
Если период дискретизации будет существенно больше половины периода синусоидально-
го сигнала, то можем получить неизвестный заранее график функции.
Если ω:=314, то период синусоиды будет равен T=2∙π/ω ≈ 0,02 c
Ранжированная переменная t:= -20,..20 задаёт период дискретизации равный 1>>0,01
Поэтому график функции не будет соответствовать самой функции.
Построим с помощью Mathcad’a график синусоиды при частоте дискретизации существен-
но меньшей частоты синусоидального сигнала.
Ua:=10
ω:=314
U(t):=Ua∙sin(ω∙t)
t:= -20,..20
На первый взгляд получили правильный график, но если вычислить по этому графику уг-
ловую частоту синусоиды, то увидим, что она равна
߱ =
ߨ ∙ 2
ܶ
=
ߨ ∙ 2
40 ≈ 0.157 рад/с
в то время как угловая частота исходной функции равна ω=314