39. Алгебра логики.
Под высказыванием
понимается предложение,
относительно которого можно сказать
истинно оно или ложно. Вводятся
обозначения: 1 – “истинно”, 0 –
“ложно”.Переменная, принимающая
значения из множества {0, 1}, называется
высказывательной
переменной. Вводятся
обозначения: 
.
Алгебраические операции, определённые
на множестве {0, 1}, называются логическими
операциями. 
-
арная логическая операция:
Логические
операции.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
|
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
|
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
|
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
Отрицанием высказывания
называется высказывание, истинное,
когда высказывание 
ложно, и ложное – в противном случае.
Конъюнкцией
двух высказываний 
и
называется высказывание,
истинное, когда оба высказывания
истинны, и ложное – во всех других
случаях. Конъюнкция называется логическим
умножением. 
;
=
min{
,
}Дизъюнкцией
двух высказываний 
и
называется высказывание,
ложное в случае, когда оба высказывания
ложны, и истинное – во всех других
случаях. Дизъюнкция называется логическим
сложением. 
;
=
max{
,
}
Импликацией
двух высказываний 
и
называется высказывание,
ложное, когда 
истинно, а
ложно; во всех других
случаях - истинное. 
(если
,
то
).Эквиваленцией
двух высказываний 
и
называется высказывание,
истинное, когда истинностные значения
и
совпадают, и ложное - в противном
случае.
(тогда
и только тогда, когда).
Альтернативной
дизъюнкцией двух
высказываний 
и
называется высказывание,
истинное, когда истинностные значения
и
не совпадают, и ложное
- в противном случае. 
(или
,
или
).
=
-
отрицание эквиваленции. 
=
-
сложение по модулю 2.
-
стрелка Пирса. 
=
-
отрицание дизъюнкции.
-
штрих Шеффера. 
=
-
отрицание конъюнкции.Формулы
алгебры высказываний
- это некоторые конструкции, построенные
с помощью логических операций и
высказывательных переменных, которые
имеют смысл. Высказывания и высказывательные
переменные являются формулами.
Установим порядок выполнения операций
в логических формулах:
1) 
,
2)
,
потом дизъюнкция
,
,
,
.Формула
называется тождественно
истинной (тождественно ложной),
если она принимает значение 1 (0) при
всех значениях высказывательных
переменных, входящих в эту форму.Формула,
не являющаяся ни тождественно истинной,
ни тождественно ложной, называется
выполнимой.
Формулы называются эквивалентными,
если они принимают одинаковые значения
истинности при одинаковых наборах
значений истинности, содержащихся в
них высказывательных переменных.Формулы,
в которые входят конъюнкция, дизъюнкция,
отрицание, причём отрицание относится
только к высказывательным переменным,
называются приведёнными
формулами. Теорема.
Для любой формулы
алгебры высказывания существует
эквивалентная (равносильная) ей
приведённая формула.