Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Новосибирский государственный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Lineynaya algebra i analitich_geom / Kuznecova_s_n_lukin_m_v_lineynaya_algebra_i_analiticheskaya

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

06.06.2015

Размер:

1.01 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 85 6 7 8 > Следующая >>>

					Далее												определим																			e		=ε						+ β er + β er																,					так								чтобы
(er		,er			)= 0															r		r														r3		r			3										1 1						2 2
1		3																	(e1,ε				3 )											(e2 ,ε						3 )		. Остается только пронормировать
(er		,er			)= 0				β1 = − (er1,er1 );																		β2 = −							(er2 ,er2 )								. Остается только пронормировать
2			3
																									r
построенный базис: er0																						=			er1		,		er0			=			er2			,		er0			=				er3						.
																		1							e1				2						e2					3							e3
					Пример.																				e1										e2												e3
					Пример.											Построим											ортонормированный																															базис						исходя из								базиса
er (−2;0;1)									, er					(1;−1;0), er									(0;1;2).
1													2			εr		= er				3	(−2;0;1).																																		+αεr .
					Решение.											εr		= er				=	(−2;0;1).													Ищем										ε		2				= e					+αεr .						Подберем									α			так,
чтобы (εr,εr																1		1																														2			2									1
													)=			(er,er )+α(er											,er )= −2 +5α = 0. Получим α =																																						2	.
													)=			(er,er )+α(er											,er )= −2 +5α = 0. Получим α =																																						5	.
							1		2							1		2								1			1																																				5
Ищем									εr3 = er3 + βεr1 +γεr2 .																					Подбираем																							β					и					γ						так,				чтобы
(	εr,εr						)=		(er				,er )+ β (er								,er )= 2								+5β = 0
			1		3				1					3				1				1																		. Отсюда β = −																						2	,γ =					1	.
		r			r						r				r					r		r																																								2						1
		r			r						r				r					r		r								1				6																												5						6
(	ε			,ε			)=			(ε				,e		)+		γ (ε				,ε				)= −				1	+			6		γ =				0
(	ε			,ε			)=			(ε				,e		)+		γ (ε				,ε				)= −					+					γ =				0
			2			3						2		3							2			2					5					5
			2			3						2		3							2			2					5					5
Получаем εr1 =(																−2;0;1), εr2 = (												1	,−1,				2	), ε3 = (								5		,		5	,			5		).
Получаем εr1 =(																−2;0;1), εr2 = (												5	,−1,				5	), ε3 = (								6		,		6	,			3		).
Пронормируем																		εr1		=				4 +1 =								5 ,								εr10 (					−2				,0,						1		),				εr2			=			1			+1+		4		=		6	,
																																																																			1					4				6

																																													5										5												25					25				5
εr20 (				1		,		−5		,	2				) и		εr3		= 3625 + 3625 + 259 =																		5		, εr30 (									1					,	1		,		2	).
				1				−5			2																										5											1						1				2
				30				30			30																										6											6						6				6
				30				30			30																										6											6						6				6
ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ																																																																xr Rn
					Если задан закон, который каждому вектору																																																											xr Rn							ставит						в
соответствие вектор yr Rn , то говорят, что в пространстве задан оператор
A, при это пишут: yr =A xr.																																											если для любых xr Rn																												и xr
					Оператор											A называется линейным,																											если для любых xr Rn																												и xr				Rn
																																																																	1							2

ипроизвольного числа α выполняются условия:

1.A (xr1 + xr2 )= A xr1 + A xr2 ;

2.A (αxr)=α A x .

МАТРИЦА ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА

Рассмотрим в пространстве Rn базис e1,er2 ,K,ern , и пусть в этом

пространстве определен линейный оператор A : y =A x . Разложим векторы
xr	и yr по этому базису:
	xr	= x1er1 + x2er2 +K+ xnern
	yr	= y1er1 + y2er2 +K+ ynern .
	В силу линейности оператора A можно написать:
Arxrr= x1 Arer1 + x2 A er2 +K+ xn A ern . Но каждый A ei можно разложить по базису
e1	,e2 ,K,en , т.е.
	A eri = a1ier1 + a2ier2 +K+ aniern (i =1,2,K,n).
		41

Подставив разложения в y =A x и приравняв коэффициенты при

базисных векторах, получим:

y1 = a11x1 + a12 x2 +K+ a1n xn

y2 = a21x1 + a22 x2 +K+ a2n xn .
KKK
y1 = an1x1 + an2 x2 +K+ ann xn
Т.о.	линейному оператору A в данном базисе соответствует
квадратная матрица
	a11	a12	K a1n
A =	a	a	K a	,
A =	21	22	2n	,
	K	K K K
		an2
	an1	an2	K ann

которая называется матрицей линейного оператора A, i -ый столбец которой состоит из координат вектора A ei относительно данного базиса. Если ввести в рассмотрение одностолбцовые матрицы

x1
x		,
X = 2		,
K

xn

	y
	1
Y = y2		, система запишется в матричном виде Y = AX .
K

yn

ДЕЙСТВИЯ С ЛИНЕЙНЫМИ ОПЕРАТОРАМИ

Суммой линейных операторов A и B называется оператор C,

определяемый равенством C xr =A x +B x .

Очевидно, что матрица линейного оператора суммы равна сумме матриц линейных операторов слагаемых C = A + B

Произведением линейного оператора A на число α называется оператор α A, определяемый равенством (α A )x =α( A x) .

Матрица этого оператора равна α A .

Пусть в Rn определены линейные операторы A и B таким образом, что yr =B xr, zr =A y .

Произведением A·B линейных операторов A и B называется оператор C, определяемый соотношением C x =A ( B x) .

Можно показать, что матрица C = A B .

Пример. Пусть xr =(x1, x2 , x3 ), A x =(x2 − x3 , x1, x1 + x3 ),

B xr =(x2 ,2x3 , x1 ). Найдем (A B) x , (B(A–B)) x .

												0	1	−1
Решение. Запишем матрицы линейных операторов A = 1													0		0 и
												1	0		1
0 1 0												−1 0			2
B = 0	0	2 .	Выполним					действия		с	матрицами	AB =	0	1	0 ,
1 0 0												1 1 0
		0 1			0 0 0 −1 1 0 −2
(B(A − B))= 0 0					2	1 0 −2 = 0 0					2 .
		1 0			0 0 0				1 0 0 −1
Запишем					соответствующие						линейные		операторы
(AB) xr =(−x + 2x , x , x + x							),
	1		3	2	1	2		).
(B(A–B)) xr =		(x −2x ,2x ,−x						).
		1		3		3	3
СВЯЗЬ МЕЖДУ МАТРИЦАМИ ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА В РАЗНЫХ БАЗИСАХ
Пусть		задан			линейный оператор					y =A x или в		матричном			виде
Y = AX	относительно					данного			базиса	e1,er2 ,K,ern . Выберем			в том же

пространстве другой базис εr1,εr2 ,K,εrn . относительно этого базиса матрица

линейного оператора будет другой. Обозначим через T матрицу преобразования координат, а X ′ и Y′ разложения векторов в новом базисе, т.е.

′	′	. Подставляя, получим	TY	′	= ATX	′	, умножая на T	−1	,
X =TX ,Y =TY

получим Y′=T −1 ATX ′.

Итак, при переходе к новому базису матрица линейного оператора

меняется и становится равной T −1 AT .
Пример. Матрица линейного оператора в базисе e1,er2 ,er3 имеет вид
0	−2	1
A = −1	1	0 . Найдем	матрицу этого	оператора		в	базисе
2	−1	1
εr1 = er1 + er2 + 2er3 , εr2 = 2er1 −er2 . ε3 = −e1 +er2 +er3 .				1	2	−1
				1	2	−1
Решение. Запишем			матрицу перехода	T = 1	−1	1 ,	тогда
				2	0	1
1	2	−1
T −1 = −1	−3	2 . Матрица в новом базисе имеет вид
−2	−4	3
			43

′				1	2	−1	0	−2 1	1	2	−1	−3 −9		5
′	=T	−1		−1						−1			13		.
A	=T		AT =	−1	−3 2		−1 1 0		1	−1	1	= 6	13	−9	.
			−2 −4			3	2	−1 1	2 0		1	9	23	−12

СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ И СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА

Ненулевой вектор xr называется собственным вектором линейного оператора A, если найдется такое число λ , что будет выполняться равенство A xr = λx . При этом число λ называется собственным значением

(собственным числом) оператора A, соответствующим вектору x .

Множество всех собственных значений оператора A называется его

спектром.

Для того, чтобы найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора A, рассмотрим матрицу линейного оператора A в некотором базисе ( n =3 ):

a11	a12	a13
A = a	a	a	.
21	22	23
a	a	a
31	32	33

Тогда в силу определения

AX = λX AX −λEX = 0 (A −λE )X = 0.

Итак, дело свелось к решению системы линейных однородных уравнений. Очевидно, что система имеет ненулевое решение, если det (A −λE )= 0 .

Уравнение det (A −λE )= 0						называется характеристическим
уравнением		оператора		A; многочлен			det (A −λE )	называется
характеристическим многочленом оператора A. В координатной форме
характеристическое уравнение имеет вид:
	a11 −λ	a12	a13
	a11 −λ	a12	a13
	a21	a22 −λ	a23		= 0 .
	a31	a32	a33 −λ

Теорема IV.3 Характеристический многочлен линейного оператора не зависит от выбора базиса.

Доказательство:

Запишем характеристический многочлен в новом базисе det (A′−λE )= 0 . Если известна матрица перехода от старого базиса к

новому C , получим

det (A′−λE )= det (C−1 A′C −λC−1EC )= det (C−1 (A′−λE )C )=

= det (C−1 )det (A −λE)det (C )= det (C−1 )det (C )det (A −λE )= det (A −λE ).

Решая характеристическое уравнение, найдем собственные значения оператора, а затем собственные векторы оператора.

Матрица линейного оператора принимает наиболее простой вид,

если в качестве базисных взять собственные векторы линейного оператора.

A eri = a1ier1 + a2ier2 +K+ aniern , но A ei = λei .

Поэтому aij = 0, i ≠ j и aii = λi , т.е. матрица является диагональной и

по диагонали стоят ее собственные значения. Можно доказать теорему.

Теорема IV.4 Если линейный оператор имеет n различных собственных значений, то отвечающие им собственные векторы линейно независимы и матрица этого оператора записанная в базисе состоящем из собственных векторов имеет диагональный вид.

Пример.

Найдем

собственные

значения

и собственные

векторы

1 −4

−8

оператора A = −4

−4

−8

−4

Решение.

Запишем

характеристическое

уравнение

1−λ

−4

−8

= 0,λ3 −9λ2 −81λ +729 = 0 и

−4

7 −λ

−4

решим его

λ = λ =9 ,

−8

−4

1−λ

λ3 = −9 . Найдем собственные векторы для каждого собственного значения

												−8			−4	−8
λ1 = λ2 =9,				матрица				системы				−4			−2	−4	~ (2		1 2),			тогда
												−8			−4	−8
	−		1		−1
	−		2		−1
X = c		1		+с		0	,
1				2
		0				1
									10	−4	−8			1	−4	1				1
λ = −9 , матрица системы									−4	16	−4		~	1	−4	1		и	X = c		1	.
																					1
																				2
3														0	2					2
									−8	−4	10			0	2	−1				1
									−8	−4	10									1

ЛИНЕЙНАЯ МОДЕЛЬ ОБМЕНА

Рассмотрим следующий вопрос: какими должны быть соотношения между бюджетами стран, торгующих между собой, чтобы торговля была

взаимовыгодной, то есть практически бездефицитной для каждой из этих стран. Такая задачa называется линейной моделью обмена, или моделью международной торговли.

Пусть имеется n стран S1, S2 ,K, Sn , национальный доход каждой из которых равен x1, x2 ,K, xn . Обозначим aij долю национального дохода, которую страна S j тратит на покупку товаров у страны Si . Будем считать,

что весь национальный доход тратится на закупку товаров

∑aij =1, j =1,2,Kn .

i=1

Рассмотрим структурную матрицу торговли:

a11	a12
a	a
A = 21	22
K	K
	an2
an1	an2

Ka1n

Ka2n .

Kann

Для любой страны Si выручка от внутренней и внешней торговли составит pi = ai1x1 + ai2 x2 +K+ ain xn . Для сбалансированной торговли необходимо, чтоб выручка каждой страны была не меньше ее

национального дохода:		pi ≥ xi	. Если считать, pi > xi , получим систему
a x + a x +K+ a x > x
11 1	12 2	1n n	1
a21x1 + a22 x2 +K+ a2n xn > x2
	K
	K
a x	+ a x +K	+ a x	> x
n1 1	n2 2	nn n	n

Сложим неравенства и сгруппируем:

(a11 + a21 +K+ an1 )x1 +(a12 + a22 +K+ an2 )x2 +K+

+(a1n + a2n +K+ ann )xn > x1 + x2 +K+ xn

Выражения в скобках равны единице, поэтому приходим к противоречивому неравенству.

Значит pi = xi . Получаем матричное уравнение AX = X .

Это уравнение означает, что собственный вектор матрицы A , отвечающий собственному значению λ =1, состоит из бюджетов стран, ведущих сбалансированную торговлю. Итак, задача свелась к нахождению собственного вектора структурной матрицы торговли, отвечающей собственному значениюλ =1.

Пример. Структурная матрица торговли трех стран имеет вид

0,2	0,3	0,5
0,4	0,4	0,3	.	Выясним	при	каких	условиях	достигается
0,4	0,3	0,2

сбалансированность торговли этих стран?
Решение. Уравнение AX = X										перепишем в виде (A − E )X = 0
−0,8		0,3	0,5			x1			0
	0,4	−0,6	0,3			x		=	0		. Ранг этой системы равен двум.
	0,4	0,3				2			0
	0,4	0,3	−0,8			x			0
						3
			x =			13	x
Решая ее, получаем				1	=	12	3 .
				x	=	11 x
				2		9	3

Положив x3 =36 (чтобы не было дробных чисел), получаем вектор X =(39,44,36), который можно взять в качестве собственного вектора.

Итак, сбалансированность торговли этих стран достигается при условии, что их бюджеты находятся в соотношении x1 : x2 : x3 =39 : 44 :36 .

КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ

Квадратичной формой Φ(x1, x2 ,K, xn ) от n переменных называется

сумма, каждый член которой является либо квадратом одной из переменных, либо произведением двух разных переменных, взятых с некоторым коэффициентом:

n n

Φ(x1, x2 ,K, xn )= ∑∑aij xi xj .

i=1 j=1

Запишем квадратичную форму в стандартном виде:

Φ(x1, x2 ,K, xn )=

= a11x1x1 + a12 x1x2 +K+ a1n x1xn +
+a x x + a x x +K+ a x x +K+,
21 2 1	22 2 2	2n 2	n
+an1xn x1 + an2 xn x2 +K+ ann xn xn
причем предполагаем, что aij		= aji .
	a11	a12	K a1n
Матрица	a	a	K a	называется	матрицей
Матрица	A = 21	22	2n	называется	матрицей
	K	K K K
		an2
	an1	an2	K ann

квадратичной формы. Квадратичная форма называется невырожденной, если r (A)= n . В матричной записи квадратичная форма имеет вид:

Φ(x , x ,K, x )= X T AX , где X =(x , x ,K, x

)T . Вид матрицы квадратичной

1 2

формы определяется базисом, в котором задан вектор.

При

невырожденном

линейном

преобразовании

переменных

X =CY ,

где

C =(cij ).

Квадратичная

форма принимает вид

Φ = X

AX =(CY )

A(CY )=(Y

)A(CY ) =Y

AC )Y , т.е.

′

AC .

A =C

При некоторых удачно выбранных преобразованиях вид квадратичной формы можно существенно упростить.

Квадратичная форма называется канонической, если aij = 0,i ≠ j , а ее

матрица является диагональной. Φ = ∑aii xi2 .

i=1

Теорема IV.5 Любая квадратичная форма с помощью невырожденного линейного преобразования переменных может быть приведена к каноническому виду.

Чтобы привести квадратичную форму к каноническому виду, следует перейти к базису собственных векторов матрицы квадратичной формы A .

Если собственные числа матрицы A различны, то соответствующие собственные векторы образуют ортогональный базис, который можно нормировать. В этом ортонормированном базисе матрица квадратичной формы будет иметь вид

	λ1	0	K 0
	0	λ	K 0	, где λ ,λ ,K,λ – собственные числа.
A =		2		, где λ ,λ ,K,λ – собственные числа.
K K			K K	1 2	n
	0	0	K λn

Линейное преобразование, которое приводит матрицу квадратичной формы к каноническому виду, имеет матрицу H . Матрица H , столбцами которой являются координаты векторов ортонормированного базиса, называется ортогональной, а линейное преобразование с такой матрицей – ортогональным преобразованием. Можно показать, что для ортогональной

матрицы выполняется соотношение H T = HH T E , что означает H −1 = H T . Пример. Привести квадратичную форму

Φ(x1, x2 , x3 )= x12 +5x22 + x32 + 2x1x2 +6x1x3 + 2x2 x3 к каноническому виду.

1 1 3

Решение. Запишем матрицу квадратичной формы A = 1 5 1 .

3 1 1

Найдем ее собственные числа λ1 = −2 , λ2 = 6 , λ2 =3. В базисе собственных

									−2	0	0
векторов матрица квадратичной			формы		имеет вид			′		6	0	, а
векторов матрица квадратичной			формы		имеет вид			A	= 0	6	0	, а
квадратичная форма Φ(x′, x′		, x′)= −2x′2							0	0	3
квадратичная форма Φ(x′, x′		, x′)= −2x′2		+6x′2		+3x′2	.
1	2	3	1		2	3

ТЕМА V. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ

СИСТЕМЫ КООРДИНАТ НА ПЛОСКОСТИ

Прямоугольная (декартова) система координат задается двумя взаимно перпендикулярными прямыми, на каждой из которых выбрано положительное направлениеr и задан единичный отрезок. Единичные

векторы осей обозначают i =(1,0) и j =(0,1). Систему координат Oxy . uuur

Рассмотрим произвольную		точку	M плоскости		Oxy .	Вектор OM
называется радиус–вектором точки M .
Координатами точки	M	в системе		координат	Oxy	называются
	uuur		uuur	=(x, y), то координаты точки
координаты радиус–вектора OM . Если			OM	=(x, y), то координаты точки

записывают так M (x, y). Числа x и y полностью определяют положение точки на плоскости: каждой паре чисел x и y соответствует единственная

точка M плоскости, и наоборот.

Полярная система координат задается точкой O , называемой полюсом, лучом Op , называемым полярной осью.

Положение точки M определяется двумя числами: расстоянием r от полюса и углом ϕ , образованным отрезком OM с полярной осью (против часовой стрелки).

Числа r и ϕ называются полярными координатами точки M , пишут

M (r,ϕ), при этом r — полярный радиус, ϕ — полярный угол.

Связь между прямоугольными и полярными координатами выражается следующим образом:

x = r cosϕy = r sinϕ

ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ

Переход от одной системы координат в какую-либо другую называется преобразованием системы координат.

Под параллельным переносом осей координат понимают переход к новой системе O1 XY , при котором меняется положение начала координат,

а направление и масштаб остаются неизменными.

Пусть оси O1 X и O1Y параллельны осям Ox и Oy . Допустим точка
M (x, y)	в системе координат O1 XY имеет координаты X и Y . Установим
связь между ними.
		y		Y
				Rr
				O1	X
				rr
	O					x
Из	чертежа			видно, что	r	uuur	+ R . Если	O (a,b) относительно
Из	чертежа			видно, что	r	=OO	+ R . Если	O (a,b) относительно
системы Oxy , то						1		1
системы Oxy , то
x = a + X			.
			.
y =b +Y

Под поворотом осей координат понимают такое преобразование координат, при котором обе оси поворачиваются на один угол, а начало координат и масштаб остаются неизменными.

Повернем исходную систему координат Oxy на угол α , и пусть она

займет положение Ox y . Получим соотношения

x =

cos(ϕ +α)1

cosϕcosα −

sinϕsinα = x cosα − y sinα

y =

sin (ϕ +α)

sinϕcosα +

cosϕsinα = x

sinα + y cosα

′

sinα

x = x cosα

− y

Т.е.

′

cosα

y = x sinα + y

y′

x′

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 85 6 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Lineynaya algebra i analitich_geom

#
06.06.20152.14 Mб12Arefev_k_p_nagornova_a_i_i_dr_vysshaya_matematika_chast_1_li.pdf
#
06.06.2015276.75 Кб30Bertik_i_a_i_dr_zadachi_po_lineynoy_algebre_i_analiticheskoy_2006.pdf
#
06.06.20153.07 Mб208Ivleva_i_kurs_lekciy_po_lineynoy_algebre_i_analiticheskoy_ge.doc
#
06.06.2015990.17 Кб13Ivleva_i_kurs_lekciy_po_lineynoy_algebre_i_analiticheskoy_ge.pdf
#
06.06.20151.01 Mб16Kuznecova_s_n_lukin_m_v_lineynaya_algebra_i_analiticheskaya.pdf
#
06.06.20154.73 Mб55Nikolaeva_n_i_lineynaya_algebra_vektornaya_algebra_analitich.doc
#
06.06.20158.52 Mб22Resheniya_zadach_po_kuznecovu_lineynaya_algebra_izdanie_2011.pdf
#
06.06.201581.77 Кб37Shpory_lineynaya_algebra.docx
#
06.06.20155.94 Mб97Vorobeva_e_a_vorobeva_e_v_lineynaya_algebra_vektornaya_algeb.doc