Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Новосибирский государственный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Lineynaya algebra i analitich_geom / Kuznecova_s_n_lukin_m_v_lineynaya_algebra_i_analiticheskaya

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

06.06.2015

Размер:

1.01 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 83 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ОДНОРОДНЫХ УРАВНЕНИЙ

Система уравнений называется однородной, если все ее свободные члены b1,b2 ,K,bm равны нулю.

Пусть дана система линейных однородных уравнений

a x + a x +K+ a x = 0
11 1	12 2	1n n
a21x1 + a22 x2 +K+ a2n xn = 0
KKKKKKKKKKKK.
a x + a x +K+ a x = 0
m1 1	m2 2	mn n

Свойства однородной системы:

1.Однородная система всегда совместна т.к., она имеет нулевое (тривиальное) решение x1 = x2 =K= xn = 0 .

2.Если X и Y два решения однородной системы, то линейная

комбинация этих решений λX + μY также является решением

системы.

3. Если система имеет хотя бы одно не нулевое решение, то она имеет бесконечно много решений.

Теорема II.2 Для того, чтобы система однородных уравнений имела ненулевые решения, необходимо и достаточно, чтобы ранг r ее основной матрицы был меньше числа неизвестных, т.е. r < n .

Необходимость

Очевидно r ≤ n . Пусть r = n . Тогда один из миноров размера n ×n отличен от нуля. Поэтому система имеет единственное решение:

x = i = 0,	i	= 0, ≠ 0 . Значит, других, кроме тривиальных, решений нет.
i	i

Итак, если есть нетривиальное решение, то r < n . Достаточность

Пусть r < n . Тогда однородная система, будучи совместной, является неопределенной. Значит, она имеет бесчисленное множество решений, т.е. имеет и ненулевые решения.

Совокупность решений X1, X2 , K, Xk однородной системы называется фундаментальной системой решений, если

1.X1, X2 , K, Xk линейно независимы

2.любое решение системы X представимо в виде линейной

комбинации X =α1 X1 +K+αk Xk

Пусть r < n , тогда x1,K, xr – главные переменные, а xr+1,K, xn – свободные переменные. Будем последовательно полагать одно из значений свободной переменной равным 1, а остальных – равным 0. При этом значения главных переменных можно рассчитать.

x		(1,0,K,0)		x		(0,1,K,0)		x		(0,0,K,1)
	1	M			1	M			1	M
		M				M				M
x		(1,0,K,0)		x		(0,1,K,0)		x		(0,0,K,1)
	r	1	, X2		r	0	,		r	0
X1 =		1	, X2	=		0	,	K, Xn−r =		0	.
		0				1				0

		M				M				M
		0				0				1
		0				0				1

Эти решения образуют фундаментальную систему решений
однородной системы.
Общее решение однородной		системы можно			записать в виде
X =α1 X1 +K+αn−r Xn−r .	x −2x		−x	−x = 0
	x −2x		−x	−x = 0
	1	2	3	4
Пример. Решим систему 2x1		−4x2	+5x3	+3x4	= 0 .
	x	−2x	+13x	+9x	= 0
	1	2	3	4

	Решение: преобразуем матрицу системы
	1 −2 −1 −1 1 −2 −1 −1									1 −2		−1 −1
	2 −4 5 3							0 0 7 5		1 −2		−1 −1
	2 −4 5 3					~		0 0 7 5		~	0			7			.
	1 −2 13 9							0 0 17 10		0	0			7		5
	1 −2 13 9							0 0 17 10
r (A)= r (A				B)= 2 < n = 4 . Главные					неизвестные						выбираем						по базисному
r (A)= r (A				B)= 2 < n = 4 . Главные					неизвестные						выбираем						по базисному
минору		1		−1	: x , x , свободными неизвестными будут x , x .
минору		1		−1	: x , x , свободными неизвестными будут x , x .
		0	5			1	4											2			3
		0	5
Положим x2 =1, x3 = 0 , тогда x1 = 2, x4 = 0 .
Положим x2 = 0, x3 =1, тогда x1 = 2,4; x4 =1,4 .
																2						2,4
																1						0
Фундаментальная система решений имеет вид												X		1	=	1	, X		2	=		0	.
														1		0			2			1
																0						1
																0						1,4
													2					2,4
													1					0
В результате получим решение системы											X = c		1		+c			0			.
											1		0			2		1
													0					1
													0					1,4

НЕОДНОРОДНЫЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Рассмотрим произвольную систему линейных алгебраических уравнений

	a x + a x +K+ a x =b
	11 1	12 2	1n n	1
a21x1 + a22 x2 +K+ a2n xn =b2

KKKKKKKKKKKK
a x + a x +K+ a x =b
	m1 1	m2 2	mn n	m
Соответствующей ей однородной системой будем называть
систему
a x + a x +K+ a x = 0
	11 1	12 2	1n n
a21x1 + a22 x2 +K+ a2n xn = 0

KKKKKKKKKKKK
a x + a x +K+ a x = 0
	m1 1	m2 2	mn n

Свойства неоднородной системы:

1.Если Y решение неоднородной системы, а X решение соответствующей однородной системы, то Z =Y + X решение неоднородной системы.

2.Если Y и Z решение неоднородной системы, то X = Z −Y решение соответствующей однородной системы.

3.Любое решение Z неоднородной системы представимо в виде

суммы Z =Y + X , где Y частное решение неоднородной системы, а

Xобщее решение соответствующей однородной системы.

4.Пусть X1, X2 ,K, Xn−r фундаментальная система решений однородной

		системы, а				Y частное решение неоднородной системы, тогда
		множество решений неоднородной системы представимо в виде
		Z =Y +c1 X1 +c2 X2 +K+cn−r Xn−r . Это выражение называется общим
		решением системы.									x −2x			+x −3x				+x		= 0
											x −2x			+x −3x				+x		= 0
											1	2			3		4	5
										2x1 +x2			−2x3				+x4	−x5		= 2		.
		Пример. Решим систему									x	−x		+x			−x	+x	=		14	.
											x	−x		+x			−x	+x	=		14
											1	2			3		4	5
										2x		−3x	+2x			−4x		+2x	=14
											1	2			3		4	5
		Решение: преобразуем расширенную матрицу системы
1 −2			1 −3 1				0 1 −2				1 −3		1	0		1 −2		1 −3				1	0
1 −2			1 −3 1				0 1 −2				1 −3		1	0
	2	1	−2		1 −1		2		0	5	−4 7		−3	2
	2	1	−2		1 −1		2		0	5	−4 7		−3	2
	1	−1	1		−1	114		~	0	1	0	2	0	14	~		0 1	0		2		0	14
																	0 0	−4 −3 −3					−68
	2	−3 2 −4 2 14							0	1 0 2 0				14


r (A)= r (A				B)=3 < n =5 .					Главные неизвестные							выбираем по				базисному
r (A)= r (A				B)=3 < n =5 .					Главные неизвестные							выбираем по				базисному
минору				x1, x2 , x3 ,				свободным				неизвестным					придадим				значения
x4 = c1, x5 = c2 .
												23

В результате получим решение системы
x1 = −0,25c1 −0,25c2 +11			−0,25			−0,25				11
x = −2c +14				−2			0	14
2	1
	= −0,75c1 −0,75c2 +17 или	X = c1		−0,75	+c2		−0,75		+ 17		.
x3	= −0,75c1 −0,75c2 +17 или	X = c1		−0,75	+c2		−0,75		+ 17		.
x	= c			1			0			0
4	1
x	= c			0			1			0
5	2

МОДЕЛЬ ЛЕОНТЬЕВА МНОГООТРАСЛЕВОЙ ЭКОНОМИКИ

Макроэкономика функционирования многоотраслевого хозяйства требует баланса между отдельными отраслями. Каждая отрасль, с одной стороны, является производителем, а с другой — потребителем продукции других отраслей.

Возникает довольно непростая задача расчета связи между отраслями через выпуск и потребление продукции разного рода.

Впервые эта проблема была сформулирована в 1936 г. в виде математической модели «затраты–выпуск» в трудах американского экономиста В.Леонтьева, который попытался проанализировать причины экономической депрессии в США 1929–1932 г.г.

В 1973 г. за разработку метода «затраты–выпуск» и его применение при решении важнейших экономических задач Леонтьеву была присуждена Нобелевская премия.

Эта модель основана на алгебре матриц и использует аппарат матричного анализа.

БАЛАНСОВЫЕ СООТНОШЕНИЯ

Для простоты будем полагать, что производственная сфера состоит из n отраслей, каждая из которых производит свой продукт. Для обеспечения своего производства каждая отрасль нуждается в продукции других отраслей. Обычно процесс производства рассматривается за некоторый период (например, год).

Введем обозначения:

xi — общий объем продукции i -ой отрасли

xij — объем продукции i -ой отрасли, потребляемый j -ой

отраслью

yi — объем продукции i -ой отрасли, предназначенный

для реализации Цель балансового анализа — ответить на вопрос: каким

должен быть объем производства каждой из n отраслей, чтобы удовлетворить все потребности в продукции этой отрасли?

Балансовый принцип связи различных отраслей промышленности состоит в том, что валовый выпуск i -ой отрасли должен быть равен сумме объемов потребления в производственной и непроизводственной сферах. В самой простой форме (гипотеза линейности) балансовые соотношения имеют вид

xi = xi1 + xi2 +K+ xin + yi , i =1,K,n

Эти уравнения называются соотношениями баланса. Мы будем рассматривать стоимостный межотраслевой баланс.

ЛИНЕЙНАЯ МОДЕЛЬ МНОГООТРАСЛЕВОЙ ЭКОНОМИКИ

Леонтьевым на основании анализа экономики США в период перед второй мировой войной был установлен важный факт: в течении

длительного времени величины a =	xij	меняются очень слабо и могут

ij	xj

рассматриваться как постоянные числа.

В силу указанного факта можно сделать следующие допущения: для производства продукции i -ой отрасли объемом xi нужно использовать

продукцию j -ой отрасли объемом aij xj , где aij — постоянное число.

При таком допущении технология производства принимается линейной, а само это допущение называется гипотезой линейности. При этом числа aij называются коэффициентами прямых затрат.

Поскольку xij = aij xj , балансовые соотношения можно переписать в

виде системы
x	= a x		+ a x	+K+ a x	+ y
1		11 1	12 2	1n n	1
x2 = a21x1 + a22 x2 +K+ a2n xn + y2
			KKKKKK
			KKKKKK
x = a		x + a x +K+ a x + y				n
n		n1 1	n2 2	nn n		n
Введем в рассмотрение:							x1
							x1
вектор–столбец объемов произведенной продукции							x
вектор–столбец объемов произведенной продукции							X = 2
							K

							xn
									y
									1
вектор–столбец объемов продукции конечного потребления Y = y2
								K

								yn
						25

	a11	a12	K a1n
матрицу коэффициентов прямых затрат	a	a	K a
матрицу коэффициентов прямых затрат	A = 21	22		2n .
	K	K K K
		an2
	an1	an2	K ann
Система уравнений в матричном виде имеет вид		X = AX +Y . Это

соотношение называется уравнением линейного межотраслевого баланса.

Вместе с описанием матриц это уравнение носит название модели Леонтьева.

Это уравнение можно использовать в двух целях;

1.Если известен X , требуется рассчитать Y ;

2.Для целей планирования: для некоторого периода времени известен Y и требуется определить X .

ПРОДУКТИВНЫЕ МОДЕЛИ ЛЕОНТЬЕВА

Система уравнений имеет ряд особенностей, вытекающих из характера данной задачи: все элементы матрицы и векторов должны быть

неотрицательными.
	Матрица		A ,	все элементы	которой	неотрицательны, называется
продуктивной, если для любого вектора							Y с	неотрицательными
компонентами существует решение уравнения							X = AX +Y , все элементы,
которого неотрицательны.
	В этом случае и модель Леонтьева называется продуктивной.
	Для решения уравнения X = AX +Y					разработана соответствующая
математическая теория исследования решения и его особенностей.
	Перепишем его в виде (E − A)X =Y . Если (E − A) невырожденная,
т.е.	E − A	≠ 0 ,	то	существует	обратная	матрица		(E − A)−1 , значит

существует и единственное решение:

X =(E − A)−1 Y .

Матрица S =(E − A)−1 называется матрицей полных затрат.

Выясним экономический смысл матрицы полных затрат S =(sij ).

Рассмотрим	единичные	векторы	конечного	продукта:
y1 =(1,0,K,0,0),K, yn =(0,0,K,0,1). Для них получаем соответствующие
векторы	валового выпуска: x1 =(s11, s21,K, sn1 ),K, xn =(s1n , s2n ,K, snn ).

Следовательно, каждый элемент матрицы полных затрат есть величина валового выпуска продукции i -ой отрасли, необходимого для обеспечения выпуска единицы конечного продукта j -й отрасли.

Существует несколько критериев продуктивности матрицы A :

1. A продуктивна тогда и только тогда, когда существует (E − A)−1 и ее

элементы неотрицательны.

2. A с неотрицательными элементами продуктивна, если сумма

элементов по любому ее столбцу не превосходит единицы: ∑aij ≤1,

i=1

причем, хотя бы для одного столбца эта сумма, строго меньше единицы.

ТЕМА III. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

Вектор это отрезок, имеющий длину и направление.

Если A –

начало вектора,

а B –

его конец,

то вектор обозначается

uuur

uur

символом AB или ar. Длинной или модулем вектора AB называется длина

отрезка и обозначается

uuur

Вектор BA называется противоположным вектору AB . Вектор

противоположный ar обозначается −a .

Вектор, длина которого равна единице, называется единичным

вектором и обозначается er

. Единичный вектор, направление которого

совпадает с направлением

вектора

a ,

называется ортом вектора a и

uur

обозначается a

. Очевидно, что

a =

( a

a ).

Линейные операции над векторами: сумма, разность, умножение на число были введены в школе.

ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И НЕЗАВИСИМОСТЬ ВЕКТОРОВ. БАЗИС.

Линейной комбинацией векторов a1,ar2 ,K,arn					называется		вектор	a ,
r	n	r	r	r	r	,	где λi	–
определяемый по формуле a	= ∑λiai		= λ1a1	+λ2a2	+K+λnan

i=1

некоторые числа (i =1,2Kn).

Будем говорить, что вектор b разлагается (линейно выражается) по векторам ar1,ar2 ,K,arn , если он равен некоторой линейной комбинации

векторов ar1,ar2 ,K,arn : br = ∑n λiari . Числа λi называются коэффициентами

i=1
разложения вектора br по системе a1,ar2 ,K,arn .						r
Если для системы n векторов	r	r		n	r	r
Если для системы n векторов	a1,a2 ,K,an		равенство ∑λiai			= 0 верно
только при λi = 0(i =1,K,n), то				i=1
только при λi = 0(i =1,K,n), то	эта	система		называется		линейно

независимой.

Пример. Выясним линейную зависимость или независимость

векторов ar

=(1;2;3), br

=(2;−1;1), c =(1;3;4).

Решение. Линейную комбинацию λ1ar +λ2b +λ3cr приравняем к нулю

1 0

+λ

−1

+λ

= 0

Решим

относительно

λ , λ , λ

(если

2 3

λ1 = λ2 = λ3 = 0 , то векторы a,

c - линейно независимы). Запишем в виде

λ1

+2λ2

+λ3

= 0

системы уравнений 2λ1

−λ2

+3λ3

= 0 .

3λ

+λ

+4λ

= 0

−1

−5

Преобразуем матрицу системы

−5

3 1 4

0 −5 1

r (A)= 2 < n =3. Система имеет бесконечное множество решений, значит

векторы линейно зависимы.

Если ни один из векторов a1,ar2 ,K,arn нельзя представить в виде

линейной комбинации остальных, то векторы a1,ar2 ,K,arn называются

линейно независимыми.

Замечание 1. Можно доказать, что эти два определения

эквивалентны.

Совокупность любых трех линейно независимых векторов er1,er2 ,er3 в

трехмерном пространстве называется базисом в пространстве.

Если ar произвольный вектор,

то всегда можно найти единственным

образом числа x1, x2 , x3 такие,

x1, x2 , x3

что

a = x1e1

+ x2 e2

+ x3 e3 .

Числа

называются координатами вектора a в базисе e1,er2 ,er3 .

Пример.

Разложим

вектор

x =(−2;3;1)

по

базису

векторов

=(1;2;−1), er

(−2;0;3), er =(−1;1;−1).

Решение. Запишем вектор x как линейную комбинацию векторов e1 ,

−2

−1 −2

er :

+ x

Решим

систему

уравнений

−1

−2x

−x

= −2

2x1

+x3

=3 . Преобразуем матрицу системы

−x

+3x

−x

1 −2 −1

−2 1 −2 −1

−2

Система

имеет

−1 .

−1 3

−1

1 −2

−1

0 0 11

единственное решение x =1, x

=1, x

=1. Вектор

xrr

=(1;1;1).

Из всех возможных базисов в пространстве выберем такой, чтобы

все

векторы,

входящие в

этот

базис,

были попарно

ортогональны

(euri ,eurj )= π

,(i, j =1,2,3).

разделим

каждый

вектор

базиса

на его

получим

базис

uur

Такой

базис

называется

длину,

e0 ,e0

,e0 .

ортонормированным.

O и

Поместим начало

векторов

общую

точку

из этой

точки

ur uur uur

проведем оси Ox,Oy,Oz ,

направленные по векторам e0 ,e0 ,e0 . Получим так

называемую

пространственную

прямоугольную

декартову

систему

r uur

координат Oxyz . Причем орты принято обозначать e0

=i,e0

= j,e0

= k .

ПРОЕКЦИЯ ВЕКТОРА НА ОСЬ

Пусть в пространстве задана ось l , т.е. направленная прямая.

Проекцией

точки

M на

ось

называется

основание

перпендикуляра MM1 , опущенного из точки на ось. Если точка M лежит

на оси l , то проекция точки M на ось совпадает с M .

Пусть

uuur

произвольный

вектор.

Обозначим

через

AB –

проекции на ось l

точек A и B

uuuur 1

соответственно и рассмотрим вектор A1B1 .

uuur

на ось l

называется положительное число

Проекцией вектора AB

uuuur

A1B1

, если вектор A1B1

и ось l одинаково направлены и отрицательное

uuuur

и ось l противоположно направлены. Если

число −

A1B1

, если вектор A1B1

uur

точки A1

и B1 совпадают, то проекция вектора AB равна 0.

uuur

Проекция вектора

uuur

обозначается

uur

= 0

AB на ось l

прl AB . Если

uuur

uur

или AB l , то прl

AB = 0.

Проекция вектора ar на ось l равна произведению модуля вектора a

на косинус угла ϕ между вектором и осью, т.е. прl ar =

cosϕ .

РАЗЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРА ПО ОРТАМ КООРДИНАТНЫХ ОСЕЙ

Рассмотрим в пространстве прямоугольную систему координат

Oxyz .

Выберем произвольный вектор

пространства и совместим его с

началом

координат:

uuuur

Найдем

проекции

вектора

=OM .

на

uuuur

координатные оси: прxa =

OM1

, прya

OM2

, прz a =

OM3

uuur

uuuuur

По определению суммы векторов находим a

=OM1

+OM2 +OM3 .

uuuur

uuuuur

uuuur

uuuuur

Но

OM1 =

OM1

i ,

OM2 =

j ,

3 =

k .

Обозначив

uuuur

на оси Ox ,

Oy и Oz соответственно через ax ,

проекции вектора a

=OM

ay и az , получим a = ax ri + ay rj + az kr

Т.о. любой вектор трехмерного пространства можно разложить по

r r r

При

этом

сами

векторы

имеют

разложения

ir(1,0,0),

векторам i, j,k .

rj (0,1,0), kr(0,0,1).

На основании теоремы о длине диагонали прямоугольного

параллелепипеда можно написать:

uuuur

uuuuur

= ax2 + ay2 + az2

ax2

+ ay2 + az2

OM1

, т.е.

или

Пусть

углы

вектора

с осями Ox , Oy и Oz соответственно равны

α, β,

γr

По

свойству

проекции

вектора

на

ось,

имеем

ax =

cosα,ay

cos β,az

cosγ

или

cosα =

,cos β =

,cosγ =

Числа cosα,cos β,cosγ

называются

направляющими

косинусами

вектора ar.

Подставив выражения

ax =

cosα,ay

cos β,az =

cosγ в равенство

2 = ax2 + a

y2 + az2

сократив

его

на

2 ≠ 0

получим

соотношение

cos2 α + cos2 β +cos2 γ =1

Действия над векторами, заданными координатами и координаты вектора через координаты конца и начала известны из школьного курса.

СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ И ЕГО СВОЙСТВА

Скалярным произведением двух ненулевых векторов ar и b

называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Обозначается abrur, ar bur, (ar,br).

r r	r	r		r r
a b =	a	b	cosϕ,	ϕ = a,b

<<< < Предыдущая 1 23 / 83 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Lineynaya algebra i analitich_geom

#
06.06.20152.14 Mб12Arefev_k_p_nagornova_a_i_i_dr_vysshaya_matematika_chast_1_li.pdf
#
06.06.2015276.75 Кб30Bertik_i_a_i_dr_zadachi_po_lineynoy_algebre_i_analiticheskoy_2006.pdf
#
06.06.20153.07 Mб208Ivleva_i_kurs_lekciy_po_lineynoy_algebre_i_analiticheskoy_ge.doc
#
06.06.2015990.17 Кб13Ivleva_i_kurs_lekciy_po_lineynoy_algebre_i_analiticheskoy_ge.pdf
#
06.06.20151.01 Mб16Kuznecova_s_n_lukin_m_v_lineynaya_algebra_i_analiticheskaya.pdf
#
06.06.20154.73 Mб55Nikolaeva_n_i_lineynaya_algebra_vektornaya_algebra_analitich.doc
#
06.06.20158.52 Mб22Resheniya_zadach_po_kuznecovu_lineynaya_algebra_izdanie_2011.pdf
#
06.06.201581.77 Кб37Shpory_lineynaya_algebra.docx
#
06.06.20155.94 Mб97Vorobeva_e_a_vorobeva_e_v_lineynaya_algebra_vektornaya_algeb.doc