Ангем. 1 курс (слайды + вопросы) / AnGeom_Lektsii_Egorov_A_A_3_glava_2012-2013

Гл. 3. Евклидовы пространства

§ 3.10. Дополнительные упражнения.

Упражнение 3.66 ( )

Пусть V вещественное векторное пространство, dim V = n,

вещественная симметрическая положительно определённая n n-матрица. Показать, что функция ( ; )B;G : V V ! R,

относительно базиса B, является скалярным произведением в V ; при этом матрица Грама GB относительно скалярного произведения ( ; )B;G совпадает с G.

Гл. 3. Евклидовы пространства

Упражнение 3.68 ( )

Показать, что на пространтсве Rn функция k k1 : Rn ! R,

определяемая формулой kuk1 = max juk j,

1 k n

u = (u1; : : : ; un) 2 Rn, обладает свойствами 1)–3) леммы 3.5.

Гл. 3. Евклидовы пространства

Упражнение 3.69 ( )

Показать, что на пространтсве C[a; b], состоящем из непрерывных на отрезке [a; b] функций f : [a; b] ! R, функция k k1 : C[a; b] ! R, определяемая формулой

kf k1 = sup jf (t)j, обладает свойствами 1)–3) леммы 3.5.

a t b

Упражнение 3.70 ( )

Выяснить, для каких p 1 функция k kp из упражнения 3.67 порождается (согласована со) скалярным произведением.

Гл. 3. Евклидовы пространства

Упражнение 3.71 ( )

Выяснить, могут ли функции k k1 из упражнений 3.68–3.69 порождаться (быть согласованы со) скалярным произведением.

Упражнение 3.72 ( )

Проверить, что на пространтсве V = C[a; b] функция ( ; ): V V ! R, определяемая правилом

b

R

(f ; g) = f (t)g(t) dt для непрерывных функий f : [a; b] ! R и

a

g : [a; b] ! R, является скалярным произведением. Как через интеграл выражается норма, порождённая этим скалярным произведением?

Гл. 3. Евклидовы пространства

Упражнение 3.73 ( )

Проверить, что последовательность функций 1, cos t, sin t, cos 2t, sin 2t, . . . , cos nt, sin nt является ортогональной

Упражнение 3.74 ( )

Примените процесс ортогонализации Грама Шмидта

многочлены называются многочленами Лежандра.

Гл. 3. Евклидовы пространства

Упражнение 3.75 ( )

Считая, что C[ 1; 1] метризованное аффинное пространство, расстояние в котором порождено скалярным произведением

1

R

(f ; g) = f (t)g(t) dt, найдите углы треугольника с

1

вершинами-функциями f1(t) 0, f2(t) = cos t, f3(t) = sin t.

Гл. 3. Евклидовы пространства

Студенты, желающие досрочно сдать экзамен, должны выполнить упражнения в общей сумме с десятью звёздочками из каждой главы. Упражнения из третьей главы сдать на проверку лектору до 19 декабря 2012 г.