Ангем. 1 курс (слайды + вопросы) / AnGeom_Lektsii_Egorov_A_A_3_glava_2012-2013

Гл. 3. Евклидовы пространства

Определение 3.20 (ортогонального набора векторов)

Набор векторов a1; : : : ; ak 2 V называется ортогональным, если эти векторы попарно ортогогональны, т. е. ai ? aj , i 6= j,

i; j = 1; : : : ; k.

Определение 3.21 (ортонормированного набора векторов)

Ортогональный набор векторов a1; : : : ; ak называется ортонормированным, если каждый вектор набора имеет единичную дилну, т. е. jaj j = 1, j = 1; : : : ; k.

Ортонормированность набора a1; : : : ; ak равносильна условию

(

(ai ; aj ) = ij , i; j = 1; : : : ; k, где ij = 1; i = j; символ

0; i =6 j

Кронекера.

Гл. 3. Евклидовы пространства

Лемма 3.22 (о линейной независимости ортонормированного набора векторов)

В векторном пространстве со скалярным произведением каждый ортонормированный набор векторов является линейно независимым.

Лемма 3.23 (о вычислении скалярного произведения через координаты ортонормированного базиса)

Пусть V вещественное n-мерное векторное пространство со скалярным произведением, E = (e1; : : : ; en) ортонормированный базис в V , (u1; : : : ; un) и (v1; : : : ; vn) соответственно координаты векторов c 2 V и d 2 V в базисе E. Тогда (c; d) = u1v1 + : : : + unvn.

Гл. 3. Евклидовы пространства

Определение 3.24 (прямоугольной системы координат)

Аффинная система координат (O; e1; : : : ; en) в n-мерном метризованном аффинном пространстве A называется

(декартовой) прямоугольной системой координат, если

! e1; : : : ; en ортонормированный базис в A.

Лемма 3.25 (о вычислении расстояния между точками через их прямоугольные координаты)

Пусть A n-мерное метризованное аффинное пространство,

(I)= (O; e1; : : : ; en) прямоугольная система координат,

A; B 2 A, ( 1; : : : ; n) и ( 1; : : : ; n) координаты точек A и B в прямоугольной системе координат (I). Тогда

Гл. 3. Евклидовы пространства

§ 3.3. Метод ортогонализации Грама Шмидта.

Метод ортогонализации Грама Шмидта позволяет, взяв произвольный линейно независимый набор векторов a1; : : : ; ak , построить по нему ортонормированный набор. Геометрическая идея метода состоит в следующем. Сначала нормируем вектор a1 и получаем единичный вектор c1. Далее в плоскости векторов a1 и a2 строим единичный вектор c2, ортогональный вектору c1. На следующем шаге в пространстве, натянутом на

векторы a1; a2; a3, строим единичный вектор c3, ортогональный к c1; c2, и т.д. В итоге получаем ортонормированную систему c1; : : : ; ck .

Гл. 3. Евклидовы пространства

Теорема 3.26 (об ортогонализации Грама Шмидта)

Пусть a1; : : : ; ak линейно независимый набор векторов векторного пространства V со скалярным произведением. Тогда набор векторов c1; : : : ; ck , построенный по формулам

Гл. 3. Евклидовы пространства

является ортонормированным и Lfa1; : : : ; aj g = Lfc1; : : : ; cj g, j = 1; : : : ; k.

Определение 3.27 (ортогонализации Грама Шмидта)

Говорят, что набор c1; : : : ; ck , построенный из набора a1; : : : ; ak по формулам (1), получен методом (процессом) ортогонализации Грама Шмидта.

Следствие 3.28 (о существовании ортонормированного базиса)

В каждом конечномерном евклидово векторном пространстве существует ортонормированный базис.

Гл. 3. Евклидовы пространства

§ 3.4. Матрица Грама.

Определение 3.29 (матрицы Грама)

Пусть A = (a1; : : : ; ak ) набор векторов векторного пространства V со скалярным произведением. Тогда k k-матрица

называется матрицей Грама набора A.

Гл. 3. Евклидовы пространства

Запишем элементы u и v пространства Rn как векторы-столбцы

Гл. 3. Евклидовы пространства

Лемма 3.34 (о симметричности и неотрицательной определённости матрицы Грама)

Пусть A = (a1; : : : ; ak ) набор векторов вещественного векторного пространства V со скалярным произведением. Тогда 1) GA симметрическая матрица;

2) GA неотрицательно определённая матрица, причём в случае линейно независимого набора A матрица GA положительно определённая.