Ангем. 1 курс (слайды + вопросы) / AnGeom_Lektsii_Egorov_A_A_3_glava_2012-2013

Гл. 3. Евклидовы пространства

Теорема 3.51 (из курса алгебры о размерности суммы векторных подпространств)

Пусть V1 и V2 подпространства конечномерного векторного пространства V . Тогда

dim(V1 + V2) = dim V1 + dim V2 dim(V1 \ V2):

Определение 3.52 (прямой суммы векторных подпространств)

Если V1 \ V2 = 0, то для суммы V1 + V2 используют обозначение V1 V2, а саму сумму называют прямой суммой подпространств V1 и V2.

Гл. 3. Евклидовы пространства

Теорема 3.53 (о параллельном проектировании)

Пусть V1 и V2 подпространства векторного пространства V такие, что V = V1 V2. Тогда для каждого вектора a 2 V существуют единственные векторы a1 2 V1 и a2 2 V2 такие, что a = a1 + a2 (a1 называется проекцией вектора a на подпространство V1 параллельно подпространству V2, a2 называется проекцией вектора a на подпространство V2 параллельно подпространству V1, отображение Pi : V ! Vi ,

i = 1; 2, сопоставляющее вектору a проекцию ai называется оператором проектирования). Оператор Pi : V ! Vi , i = 1; 2, является линейным, т. е. для a; b 2 V и ; справедливо

Pi ( a + b) = Pi (a) + Pi (b). Эквивалентны следующие три

условия: 10) a 2 V1; 20) P2(a) = 0; 30) P1(a) = a. Эквивалентны следующие три условия: 100) a 2 V2; 200) P1(a) = 0;

300) P2(a) = a.

Гл. 3. Евклидовы пространства

Определение 3.54 (ортогонального дополнения к векторному подпространству)

Пусть V векторное пространство со скалярным произведением, V1 векторное подпространство пространства V . Множество

V1? := fa 2 V : (a; b) = 0 для всех b 2 V1g называется ортогональным дополнением к подпространству V1. При этом векторы a 2 V1? называются ортогональными векторному подпространству V1 и обозначается a ? V1.

Гл. 3. Евклидовы пространства

Теорема 3.55 (об ортогональном дополнении)

Пусть V1 подпространство конечномерного евклидово векторного пространства V . Тогда

1)V1? векторное подпространство пространства V ;

2)V1 \ V1? = 0;

3)dim V1 + dim V1? = dim V ;

4)V1 V1? = V ;

5)(V1?)? = V1.

Гл. 3. Евклидовы пространства

Упражнение 3.56 ( )

Пусть V1 и V2 подпространства конечномерного векторного

пространства V со скалярным произведением. Тогда

(V1 + V2)? = V1? \ V2? и (V1 \ V2)? = V1? + V2?.

Гл. 3. Евклидовы пространства

Определение 3.57 (ортогональной проекции на векторное подпространство)

Пусть V1 подпространство конечномерного евклидово векторного пространства V . Тогда по теореме 3.55 об ортогональном дополнении V1 V1? = V , а по теореме 3.53 о параллельном проектировании для каждого вектора a 2 V существуют единственные векторы a1 2 V1 и a2 2 V1? такие, что a = a1 + a2. При этом вектор a2 = a a1 ортогонален подпространству V1. Вектор a1 называется ортогональной проекцией вектора a на подпространство V1, а отображение

PV1 : V ! V , PV1 (a) = a1, называется оператором ортогонального проектирования на подпространство V1.

Гл. 3. Евклидовы пространства

§ 3.8. Расстояние от точки до аффинного подпр-ва.

Пусть A метризованное аффинное пространство.

Определение 3.58 (расстояния от точки до множества)

точки A 2 A до множества A1 A.

Определение 3.59 (ортогонального к аф.подпр-ву вектора)

!

Вектор a 2 A называется ортогональным аффинному

подпространству A1 A и обозначается a ? A1, если

2 ! ?. a (A1)

Определение 3.60 (ортогональной проекции на аф.подпр-во)

Точка C 2 A1 называется ортогональной проекцией точки

!

A 2 A на аффинное подпространство A1 A, если CA ? A1.

Гл. 3. Евклидовы пространства

Упражнение 3.61 ( )

Докажите единственность ортогональной проекции точки на аффинное подпространство.

Теорема 3.62 (о расстоянии от точки до аффинного подпространства)

Пусть A конечномерное евклидово аффинное пространство, A1 A аффинное подпространство, A 2 A. Тогда существует точка C 2 A1 такая, что dist(A; A1) = jACj. При этом C ортогональная проекция точки A на аффинное подпространство A1.

Гл. 3. Евклидовы пространства

§ 3.9. Расстояние от точки до гиперплоскости.

Определение 3.63 (нормали к гиперплоскости)

Пусть A конечномерное евклидово аффинное пространство.

!

Ненулевой вектор 2 A называется вектором нормали к гиперплоскости A1 A, если ? A1.

Лемма 3.64 (о векторе нормали к гиперплоскости)

Пусть A n-мерное евклидово аффинное пространство,

(I)= (O; E), E = (e1; : : : ; en), прямоугольная система координат,

A1x1 + : : : + Anxn + B = 0 уравнение гиперплоскости A1 A в прямоугольной системе координат (I), вектор с координатами (A1; : : : ; An) в базисе E. Тогда вектор нормали к гиперплоскости A1.

Гл. 3. Евклидовы пространства

Теорема 3.65 (о расстоянии от точки до гиперплоскости)

Пусть A n-мерное евклидово аффинное пространство,

(I)= (O; e1; : : : ; en) прямоугольная система координат,

A1x1 + : : : + Anxn + B = 0 уравнение гиперплоскости A1 A в прямоугольной системе координат (I), (x1 ; : : : ; xn ) координаты точки M 2 A в прямоугольной системе

координат (I). Тогда