Аналитическая геометрия - А.В. Грешнов / Lecture14
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„ â : 08.12.2012. |
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Žâ¬¥â¨¬, çâ® ¨§ ª®á®á¨¬¬¥âà¨ç-®á⨠!n ¢ë⥪ ¥â, çâ® !n(: : : ; x; : : : ; x; : : : ) = 0. |
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“⢥ত¥-¨¥ 14.1. !n(a1; : : : ; an) = det |
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„®ª § ⥫ìá⢮. „«ï ªà ⪮á⨠¯à¨¢¥¤¥¬ ¤®ª § ⥫ìá⢮ ¤«ï á«ãç ï n = 3 (¢ ¯à®¨§¢®«ì-®¬ á«ãç ¥ ¤®ª § ⥫ìá⢮ - «®£¨ç-®). •ãáâì a = a1e1 + a2e2 + a3e3, b = b1e1 + b2e2 + b3e3, c = c1e1 + c2e2 + c3e3. ’®£¤ , ¨á¯®«ì§ãï ®¯à¥¤¥«¥-¨¥ 14.1, ¬ë ¯®«ãç ¥¬
w3(a; b; c) = a1b2c3 + a2b3c1 + b1c2a3 |
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Ž¯à¥¤¥«¥-¨¥ 14.2. ”ã-ªæ¨ï (¢; ¢) : V £ V ! R, £¤¥ V | ¢¥ªâ®à-®¥ ¯à®áâà -á⢮,
-§ë¢ ¥âáï ᪠«па-л¬ ¯а®¨§¢¥¤¥-¨¥¬, ¥б«¨ ¢л¯®«-повбп б«¥¤гой¨¥ гб«®¢¨п: 10 (x; x) ¸ 0; (x; x) = 0 , x = 0,
20 (x + y; z) = (x; z) + (y; z),
30 (¸x; y) = ¸(x; y), |
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40 (x; y) = (y; x). |
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‡ ¬¥ç -¨¥ 14.1. 30 ) (0; x) = 0; f20, 40g ) (x; y + z) = (x; y) + (x; z). |
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Ž¯à¥¤¥«¥-¨¥ 14.3. ‚¥ªâ®à-®¥ ¯à®áâà -á⢮ V |
ᮠ᪠«ïà-ë¬ ¯à®¨§¢¥¤¥-¨¥¬ (¢; ¢) |
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jaj2 + jbj2 = ja + bj2 , (a; b) = 0:
„®ª § ⥫ìá⢮. •à®¢¥àï¥âáï -¥¯®á।á⢥--®.
‘¢®©á⢮ 14.2 (à ¢¥-á⢮ ¯ à ««¥«®£à ¬¬ ). •ãáâì a; b 2 (V; (¢; ¢)). Œë
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¡ ja ¡ bj |
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„®ª § ⥫ìá⢮. •à®¢¥àï¥âáï -¥¯®á।á⢥--®.
‘¢®©á⢮ 14.3 (-¥à ¢¥-á⢮ Š®è¨ | •ã-类¢áª®£®).•ãáâì x; y 2 (V; (¢; ¢)). Œë ¨¬¥¥¬ j(x; y)j · jxjjyj.
„®ª § ⥫ìá⢮. •ãáâì f(t) = jx + tyj2. ’®£¤
0 · f(t) = (x; x) + 2t(x; y) + t2(y; y): |
(14.1) |
ˆ§ (14.1) ¢ë⥪ ¥â, çâ® 4(x; y)2 ¡ 4(x; x)(y; y) ¸ 0. ¥
‘¢®©á⢮ 14.4 (-¥à ¢¥-á⢮ âà¥ã£®«ì-¨ª ). jx + yj · jxj + jyj.
„®ª § ⥫ìá⢮. •® ᢮©áâ¢ã 14.3 ¬ë ¨¬¥¥¬
¡jxj + jyj¢2 = jxj2 + jyj2 + 2jxjjyj ¸ jxj2 + jyj2 + 2(x; y) = jx + yj2:
¥
Ž¯à¥¤¥«¥-¨¥ 14.5. ‚¥ªâ®àë x; y 2 (V; (¢; ¢)) - §ë¢ îâáï ®à⮣®- «ì-묨, ¥á«¨ (x; y) = 0.
Ž¯à¥¤¥«¥-¨¥ 14.6. ‚¥ªâ®àë fa1; : : : ; akg 2 (V; (¢; ¢)) - §ë¢ îâáï ®àâ®-®à¬¨à®- ¢ --묨, ¥á«¨ (ai; ai) = 1, i = 1; : : : ; k, (ai; aj) = 0, i =6 j, i; j = 1; : : : ; k.
Žâ¬¥â¨¬, çâ® ¥á«¨ ¢¥ªâ®àë fa1; : : : ; akg 2 (V; (¢; ¢)) ¯®¯ à-® ®à⮣®- «ì-ë, â®
¢¥ªâ®àë f ak g 2 (V; (¢; ¢)) ¡ã¤ãâ ®àâ®-®à¬¨à®¢ -ë.
jakj
‹¥¬¬ 14.1.•®¯ à-® ®à⮣®- «ì-ë¥ -¥-ã«¥¢ë¥ ¢¥ªâ®àë fa1; : : : ; akg 2 (V; (¢; ¢)) «¨-¥©-® -¥§ ¢¨á¨¬ë.
„®ª § ⥫ìá⢮. •à¥¤¯®«®¦¨¬ ¯à®â¨¢-®¥, â. ¥. - ©¤ãâáï ç¨á« ti, i = 1; : : : ; k, -¥ ¢á¥ à ¢-ë¥ -ã«î, â ª¨¥, çâ®
i=1 tiai = 0 ) 0 = |
³ i=1 tiai; aj´ |
= tj(aj; aj): |
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•®à®è® ¨§¢¥áâ-ë© ¯à¨¬¥à ¥¢ª«¨¤®¢ ¯à®áâà -áâ¢ á ®àâ®-®à¬¨à®¢ --ë¬ ¡ §¨- ᮬ | ¯à®áâà -á⢮ Rn, ᪠«ïà-®¥ ¯à®¨§¢¥¤¥-¨¥ ¢ ª®â®à®¬ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ª ª
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¨§¢¥¤¥-¨ï h¢; ¢i:
hx; yi · hx; xi1=2hy; yi1=2 (-¥à ¢¥-á⢮ Š®è¨);
³ ´1=2
hx + y; x + yi · hx; xi1=2 + hy; yi1=2 (-¥à ¢¥-á⢮ Œ¨-ª®¢áª®£®).
‚ ¤ «ì-¥©è¥¬ ®¡®§- ç¥-¨¥ h¢; ¢i ¡ã¤¥â - ¬¨ ¨á¯®«ì§®¢ âìáï ¨¬¥--® ¤«ï áâ -¤ àâ-
-®£® ᪠«ïà-®£® ¥¢ª«¨¤®¢ ¯à®¨§¢¥¤¥-¨ï.
‚•ˆŒ€•ˆ…! Žè¨¡®ç-® ®â®¦¤¥á⢫ïâì ®¡é¥¥ ¯®-ï⨥ ᪠«ïà-®£® ¯à®¨§¢¥¤¥-¨ï (¢; ¢) á® áâ -¤ àâ-ë¬ áª «ïà-ë¬ ¥¢ª«¨¤®¢ë¬ ¯à®¨§¢¥¤¥-¨-
¥¬ h¢; ¢i; h¢; ¢i | «¨èì ç áâ-ë© á«ãç © (¢; ¢).
Œ¥â®¤ ®à⮣®- «¨§ 樨 ƒà ¬ | ˜¬¨¤â
• áᬮâਬ -¥ª®â®à®¥ ¥¢ª«¨¤®¢® ¯à®áâà -á⢮ (V; (¢; ¢)) á ®àâ®-®à¬¨à®¢ --ë¬
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(V; (¢; ¢)) â ª®©, çâ® ¤«ï ª ¦¤®£® k = |
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1; : : : ; n ¢¥ªâ®à ek ¢ëà ¦ ¥âáï ç¥à¥§ a1; : : : ; ak. |
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„®ª § ⥫ìá⢮. „®ª ¦¥¬ ⥮६ã 14.1 ¬¥â®¤®¬ ¬ ⥬ â¨ç¥áª®© ¨-¤ãªæ¨¨.
˜ £ 1. e1 = a1
ja1j.
˜ £ 2. •ãáâì u2 = a2 ¡ (a2; e1)e1. ‚ ᨫ㠫¨-¥©-®© -¥§ ¢¨á¨¬®á⨠fa1; : : : ; ang
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. ˆ§ ®¯à¥¤¥«¥-¨ï u2 ¢ë⥪ ¥â, çâ® (u2; e1) = 0, |
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á«¥¤®¢ ⥫ì-®, (e2; e1) = 0. |
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˜ £ (k + 1). •ãáâì ¬ë ¤®ª § «¨ ã⢥ত¥-¨¥ ¤«ï k. „®ª ¦¥¬ ¤«ï k + 1. •ãáâì
uk+1 = ak+1 ¡ Pk (ak+1; ei)ei. ˆá¯®«ì§ãï «¨-¥©-ãî -¥§ ¢¨á¨¬®áâì fa1; : : : ; ang ¨
i=1
4
ᯮᮡ ®¯à¥¤¥«¥-¨ï ei, i = 1; : : : ; k, ¬ë ¯®«ãç ¥¬ uk+1 =6 0. •®« £ ¥¬ ek+1 = uk+1
juk+1j.
ˆ§ ®¯à¥¤¥«¥-¨ï uk+1 ¢ë⥪ ¥â, çâ® (uk+1; ei) = 0, i = 1; : : : ; k, á«¥¤®¢ ⥫ì-®,
(ek+1; ei) = 0, i = 1; : : : ; k.
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‘«¥¤á⢨¥ 14.1. ‚ «î¡®¬ ª®-¥ç-®¬¥à-®¬ ¥¢ª«¨¤®¢®¬ ¯à®áâà -á⢥ áãé¥áâ¢ã¥â ®àâ®-®à¬¨à®¢ --ë© ¡ §¨á.
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Ž¯à¥¤¥«¥-¨¥ 14.7. •ãáâì fa1; : : : ; akg | -¥ª®â®àë© - ¡®à ¢¥ªâ®à®¢ ¥¢ª«¨¤®¢
¯à®áâà -á⢠(V; (¢; ¢)). Œ âà¨æ¥© ƒà ¬ |
- §ë¢ ¥âáï (k £ k)-¬ âà¨æ |
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‘¢®©á⢮ 14.5. 10 Œ âà¨æ Ga ᨬ¬¥âà¨ç¥áª ï, 20 ¬ âà¨æ Ga -¥®âà¨æ ⥫ì-® ®¯à¥¤¥«¥-- ï, 30 ¥á«¨ fa1; : : : ; akg «¨-¥©-® -¥§ ¢¨á¨¬ë, â® ¬ âà¨æ Ga ¯®«®¦¨-
⥫ì-® ®¯à¥¤¥«¥-- ï.
„®ª § ⥫ìá⢮. 10 ¢ë⥪ ¥â ¨§ ®¯à¥¤¥«¥-¨© ¬ âà¨æë ƒà ¬ ¨ ᪠«ïà-®£® ¯à®¨§-
¢¥¤¥-¨ï. 20 „«ï «î¡®£® ¢¥ªâ®à |
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Žà⮣®- «ì-®¥ ¤®¯®«-¥-¨¥ ª ¯®¤¯à®áâà -áâ¢ã ¢ ¥¢ª«¨¤®¢®¬ ¯à®áâà -á⢥
Ž¯à¥¤¥«¥-¨¥ 14.8. • áᬮâਬ V | ¯®¤¯à®áâà -á⢮ ¥¢ª«¨¤®¢ |
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-ë© ¡ §¨á fe1; : : : ; eng ¥¢ª«¨¤®¢ |
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(V; (¢; ¢)). ˆ§ ¬¥â®¤ |
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-¨ï (14.3) -¥®¡å®¤¨¬® t1 = ¢n¢ ¢ = tk = 0. ’.¥. ⥠¢¥ªâ®àë x, ¤«ï ª®â®àëå ¢ë¯®«-ï¥â- |
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b 2 V , c 2 V ? â ª¨¥, çâ® a = b + c. |
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