Аналитическая геометрия - А.В. Грешнов / Lecture1
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„ â : 08.09.2012.
Œ-®¦¥á⢮ | ᮢ®ªã¯-®áâì ®¡ê¥ªâ®¢, - §ë¢ ¥¬ëå í«¥¬¥-â ¬¨ í⮣® ¬-®¦¥á⢠. a 2 A | í«¥¬¥-â a ¯à¨- ¤«¥¦¨â ¬-®¦¥áâ¢ã A.
a 2= A | í«¥¬¥-â a -¥ ¯à¨- ¤«¥¦¨â ¬-®¦¥áâ¢ã A.
‘¯®á®¡ë § ¤ -¨ï ¬-®¦¥áâ¢ à §«¨ç-ë, - ¯à¨¬¥à: A = fa1; a2; : : : g | ¬-®¦¥- á⢮ A § ¤ ¥âáï ¯¥à¥ç¨á«¥-¨¥¬ ¥£® í«¥¬¥-⮢; ¯ãáâì X | -¥ª®â®à®¥ ¬-®¦¥á⢮, F (x) | -¥ª®â®à®¥ ¢ë᪠§ë¢ -¨¥, § ¢¨áï饥 ®â ¯¥à¥¬¥--®© x, ⮣¤ A = fx 2 X j F (x)g ®¯à¥¤¥«ï¥â ¬-®¦¥á⢮ A, á®áâ®ï饥 ¨§ í«¥¬¥-⮢ X, 㤮¢«¥â¢®àïîé¨å F (x).
ˆ§¢¥áâ-ë¥ ®¯¥à 樨 - ¤ ¬-®¦¥á⢠¬¨: A µ B | -¥ áâண®¥ ¢ª«îç¥-¨¥, A ½ B | áâண®¥ ¢ª«îç¥-¨¥, A \ B | ¯¥à¥á¥ç¥-¨¥, A [ B | ®¡ê¥¤¨-¥-¨¥, A n B | à §-®áâì.
Žâ®¡à ¦¥-¨¥¬ f : X ! Y - §ë¢ ¥âáï § ª®-, ¯® ª®â®à®¬ã ª ¦¤®¬ã í«¥¬¥-âã x 2 X áâ ¢¨âáï ¢ ᮮ⢥âá⢨¥ ¥¤¨-á⢥--ë© í«¥¬¥-â y 2 Y . Œ-®¦¥á⢮ X = dom f - §ë¢ ¥âáï ®¡« áâìî ®¯à¥¤¥«¥-¨ï ®â®¡à ¦¥-¨ï f, ¬-®¦¥á⢮ f(X) = im f | ®¡« áâìî §- ç¥-¨ï ®â®¡à ¦¥-¨ï f. Žâ®¡à ¦¥-¨¥ f : X ! Y - §ë¢ ¥âáï ¢§ ¨¬-®- ®¤-®§- ç-ë¬ (¨-ꥪ⨢-ë¬), ¥á«¨ ¤«ï «î¡ëå x1; x2 2 X, â ª¨å, çâ® x1 =6 x2, ¢ë¯®«-ï¥âáï f(x1) =6 f(x2). Žâ®¡à ¦¥-¨¥ f : X ! Y - §ë¢ ¥âáï ®â®¡à ¦¥-¨¥¬ ý- þ (áîàꥪ⨢-ë¬), ¥á«¨ ¤«ï «î¡®£® y 2 Y - ©¤¥âáï í«¥¬¥-â x 2 X â ª®©, çâ® ¢ë¯®«-ï¥âáï f(x) = y.
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An = f[a j a = (a1; : : : ; an); ai 2 A; i = 1 : : : ; ng:
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ª § ⥫ìá⢮ ¥£® ¨àà 樮- «ì-®á⨠ï¥âáï ¤®áâ â®ç-® âàã¤-®© ¬ ⥬ â¨ç¥áª®© § ¤ 祩. ˆàà 樮- «ì-®áâì ç¨á« ¼ ¡ë« ¤®ª § - ‹ ¬¡¥à⮬ ¢ 1761 £., ¯®§¦¥
‹¥¦ -¤à (1794 £.) ¯à¨¢¥« ¡®«¥¥ áâண®¥ ¤®ª § ⥫ìá⢮. ’à -áæ¥-¤¥-â-®áâì ç¨á« ¼ ¡ë« ãáâ -®¢«¥- ¢ 1882 £. ‹¨-¤¬ -®¬, ¢ 1894 £. Š«¥©- ¯à¨¢¥« ¡®«¥¥ ¯à®á⮥
¤®ª § ⥫ìá⢮. •à¨¢¥¤¥¬ -¥áª®«ìª® § ¬¥ç ⥫ì-ëå á®®â-®è¥-¨©, á¢ï§ --ëå á ç¨á«®¬, ª®â®àë¥ âà ¤¨æ¨®--® ¤®ª §ë¢ îâáï ¢ ªãàᥠ¬ ⥬ â¨ç¥áª®£® - «¨§
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ƒ®¢®àïâ, çâ® - ¬-®¦¥á⢥ X § ¤ - «¨-¥©-ë© ¯®à冷ª, ¥á«¨ § ¤ -® ®â-®è¥-¨¥ ·, 㤮¢«¥â¢®àïî饥 ãá«®¢¨ï¬: ¤«ï ¢á¥å x; y; z 2 X á¯à ¢¥¤«¨¢®
a) x · y ¨«¨ y · x, b) x · x,
c) x · y, y · x ) x = y, d) x · y, y · z ) x · z.
‚ í⮬ á«ãç ¥ ¬-®¦¥á⢮ X - §ë¢ ¥âáï «¨-¥©-® 㯮à冷ç¥--ë¬. Œ-®¦¥á⢮ ¢¥é¥á⢥--ëå ç¨á¥« R ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ª ª ¬¨-¨¬ «ì-®¥ «¨-¥©-® 㯮à冷ç¥--®¥ ¯®- ¯®«-¥-¨¥ ¬-®¦¥á⢠Q, 㤮¢«¥в¢®апой¥¥ гб«®¢¨о: ¤«п «о¡ле -¥¯гбвле ¬-®¦¥бв¢ A; B ¨§ R ¥á«¨ A · B, â® - ©¤¥âáï â ª®© í«¥¬¥-â c 2 R, çâ® A · c · B ( ªá¨®¬
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®âà¨æ ⥫ì-®¥ - ¯à ¢«¥-¨ï (¯® ¢®§à áâ -¨î ¨ ã¡ë¢ -¨î í«¥¬¥-⮢), ¯à¥¢à é ï ¬-®¦¥á⢮ R ¢ ¢¥é¥á⢥--ãî ®áì. ‚롨à ï ç¨á«® 0 ¢ ª ç¥á⢥ â®çª¨ ®âç¥â , ¬ë
§ ¤ ¥¬ - ¢¥é¥á⢥--®© ®á¨ áâ -¤ àâ-ãî á¨á⥬㠪®®à¤¨- â: ª®®à¤¨- â «î¡®£® í«¥¬¥-â a 2 R ®¯à¥¤¥«ï¥âáï §- ç¥-¨¥¬ ç¨á« a. Œ-®¦¥á⢮ R á® áâ -¤ àâ-®©
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«®¦¥-¨ï ç¨á¥« x; y; z: x · y · z; x · z · y; y · z · x; y · x · z; z · x · y;
z · y · x. • áᬮâਬ, - ¯à¨¬¥à, á«ãç © y · z · x. ’®£¤
jx¡zj = x¡z; jx¡yj+jy¡zj = x¡y+z¡y; x¡z · x¡y+z¡y = x+z¡2y , y · z:
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d(x; y) = d(y; x) ( ªá¨®¬ ᨬ¬¥âà¨ç-®áâ¨), |
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d(x; y) · d(x; z) + d(z; y) (-¥à ¢¥-á⢮ âà¥ã£®«ì-¨ª ). |
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„®ª § ⥫ìá⢮. ‘¢®©á⢮ 1.3 ¢ë⥪ ¥â ¨§ ®¯à¥¤¥«¥-¨ï d1. |
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“¯à ¦-¥-¨¥ 1.1. 10 „®ª ¦¨â¥, çâ® ®â®¡à ¦¥-¨¥ d®(x; y) = jx¡yj®, ® 2 (0; 1), ï¥âáï à ááâ®ï-¨¥¬ - R; 20 ¡ã¤¥â «¨ ®â®¡à ¦¥-¨¥ d®(x; y) = jx ¡ yj®, ® > 1, à ááâ®ï-¨¥¬ - R?
‘® 誮«ë ¬ë ¨¬¥¥¬ ¯à¥¤áâ ¢«¥-¨¥ ® ⮬ ¨¤¥ «ì-®¬ ®¡ê¥ªâ¥, ª®â®àë© - §ë- ¢ ¥âáï ý¯àאַ©þ. •â® ¯®-ï⨥ ¨á⮫ª®¢ë¢ ¥âáï ¯à¨ ªá¨®¬ â¨ç¥áª®¬ ¯®áâ஥-¨¨ £¥®¬¥âਨ. •ã¤¥¬ ¨á室¨âì ¨§ ⮣®, çâ® (å®âï ¡ë - ¨-âã¨â¨¢-®¬ ã஢-¥) ¬ë ¬®- ¦¥¬ ý¢¨¤¥âìþ íâ®â ý¬ â¥à¨ «ì-ë©þ ®¡ê¥ªâ. Ž¯¨è¥¬ ¥áâ¥á⢥--ãî ¢§ ¨¬®á¢ï§ì
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£®¢®àïâ, çâ® AB = CD, ¥á«¨ AB ¨ CD ᮢ¬¥é îâáï ¯ à ««¥«ì-ë¬ ¯¥à¥-®á®¬; ¯à¨ â ª®¬ ®¯à¥¤¥«¥-¨¨ ª®-¥ç-® -¥â ®á®¡®£® á¬ëá« £®¢®à¨âì ®¡ íâ «®--®¬ ¢¥ªâ®à¥ ¨ «£¥¡à ¨ç¥áª¨å §- ç¥-¨ïå ¢¥ªâ®à®¢.
Œë ¯®« £ ¥¬ (¨ íâ® ¯à¥¤¯®«®¦¥-¨¥ -¥ ¯à®â¨¢®à¥ç¨â ¨-âã¨â¨¢-®¬ã ¯®-¨¬ -¨î ¯àאַ©), çâ® ¤«ï «î¡®£® ¸ 2 R ¨ «î¡®© â®çª¨ A 2 P - ©¤¥âáï ¥¤¨-á⢥-- ï
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