Аналитическая геометрия - А.В. Грешнов / Lecture10
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„ â : 10.11.2012.
“á«®¢¨¥ ¯ à ««¥«ì-®á⨠¯«®áª®á⥩
• áᬮâਬ ¯«®áª®á⨠|
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(10.1) |
½ A1x + B1y + C1z + D1 |
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Ax + By + Cz + D = 0 |
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à-ë, â® ¯«®áª®á⨠(10.1) ¯à¥á¥ª îâáï. •à¥¤¯®«®¦¨¬, çâ® A1 = kA, B1 |
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½ kAx + kBy + kCz + D1 = 0; |
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kAx + kBy + kCz + kD = 0; |
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’¥®à¥¬ 10.1 (® ¢§ ¨¬-®¬ à ᯮ«®¦¥-¨¨ 2-å ¯«®áª®á⥩ ¢ 3-¬¥à-®¬ ¯à®- áâà -á⢥). •«®áª®áâ¨
½Ax + By + Cz + D = 0; A1x + B1y + C1z + D1 = 0:
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10, 30. ¥
‘¢®©á⢮ 10.1. ‹î¡ ï ¯àï¬ ï ¢ 3-¬¥à-®¬ ¯à®áâà -á⢥ ï¥âáï ¯¥à¥á¥ç¥-¨¥¬ -¥ª®â®àëå 2-å ¯«®áª®á⥩.
„®ª § ⥫ìá⢮. • áᬮâਬ ¯àï¬ãî
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½x = x0;
b(z ¡ z0) = c(y ¡ y0):
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’¥®à¥¬ 10.2 (® ¢§ ¨¬-®¬ à ᯮ«®¦¥-¨¨ ¯àאַ© ¨ ¯«®áª®á⨠¢ 3-¬¥à-®¬
¯à®áâà -á⢥). •àï¬ ï x¡x0 |
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30 |
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„®ª § ⥫ìá⢮. |
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”®à¬ «ì-®¥ «®£¨ç¥áª®¥ |
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20 ¯à¨¢®¤¨â ª ⮬ã, çâ® ãá«®¢¨¥ aA + bB + cC = 0 íª¢¨¢ «¥-â-® |
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⮬ã, çâ® ¯àï¬ ï ¨ ¯«®áª®áâì ¨«¨ -¥ ¯¥à¥á¥ª îâáï (⮣¤ ¨ Ax0+By0+Cz0+D =6 0, íâ® ¯. 10), ¨«¨ ¯àï¬ ï ¨ ¯«®áª®áâì ¨¬¥îâ ª ª ¬¨-¨¬ã¬ ¤¢¥ â®çª¨ ¯¥à¥á¥ç¥-¨ï: X,
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áâà -á⢥). „¢¥ ¯àï¬ë¥ |
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30 «¥¦ â ¢ ®¤-®© ¯«®áª®á⨠¨ ¯¥à¥á¥ª îâáï , ¢¥ªâ®àë (a; b; c), (®; ¯; °) -¥
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„®ª § ⥫ìá⢮. ’¥®à¥¬ 10.3 ä ªâ¨ç¥áª¨ ¤®ª § - - ¯à¥¤ë¤ã饩 «¥ªæ¨¨, ¯à¥¤- « £ ¥¬ á«ãè â¥«ï¬ ¨ ç¨â â¥«ï¬ ã¡¥¤¨âìáï ¢ í⮬ á ¬®áâ®ï⥫ì-®.
•«®áª®á⨠¨ ¯®«ã¯à®áâà -áâ¢
• áᬮâਬ ¯«®áª®áâì Ax + By + Cz + D = F (x; y; z) = 0. Ž¡®§- 稬
P + f[M(x; y; z) 2 V ää j Ax + By + Cz + D > 0g
A;B;C =
| ¯®«®¦¨â¥«ì-®¥ ¯®«ã¯à®áâà -á⢮;
PA;B;C¡ = f[M(x; y; z) 2 V ää j Ax + By + Cz + D < 0g
| ®âà¨æ ⥫ì-®¥ ¯®«ã¯à®áâà -á⢮:
•®-ïâ-®, çâ® â¥à¬¨-ë ý¯®«®¦¨â¥«ì-®¥þ, ý®âà¨æ ⥫ì-®¥þ §¤¥áì -®áïâ ãá«®¢- -ë© å à ªâ¥à: ¤®áâ â®ç-® ã¬-®¦¨âì ®¡¥ ç áâ¨ à ¢¥-á⢠Ax + By + Cz + D = 0 -
¡1, ¨ ý¯®«®¦¨â¥«ì-®¥ ¯®«ã¯à®áâà -á⢮þ áâ -¥â ý®âà¨æ ⥫ì-ë¬ ¯®«ã¯¯à®áâà -- á⢮¬þ.
“⢥ত¥-¨¥ 10.1 (ªà¨â¥à¨© ý¯®«®¦¨â¥«ì-®áâ¨þ ¯®«ã¯à®áâà -á⢠). Š®- -¥æ ¢¥ªâ®à (A; B; C) á - ç «®¬ ¢ â®çª¥ (x0; y0; z0), £¤¥ Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0,
¢á¥£¤ ¯à¨- ¤«¥¦¨â ¬-®¦¥áâ¢ã P +
A;B;C.
„®ª § ⥫ìá⢮. •®¤áâ ¢¨¬ â®çªã (x0 + A; y0 + B; z0 + C) ¢ ¢ëà ¦¥-¨¥ F (x; y; z), ¢ १ã«ìâ ⥠¯®«ã稬 A(x0 + A) + B(y0 + B) + C(z0 + C) + D = A2 + B2 + C2 > 0. ¥
Ž¯à¥¤¥«¥-¨¥ 10.1. ‚¥ªâ®à
³pA2 + B2 + C2 |
; pA2 + B2 + C2 |
; pA2 + B2 + C2 ´ |
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|
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|
B |
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C |
- §ë¢ ¥âáï ¯®«®¦¨â¥«ì-®© (¢-¥è-¥©) -®à¬ «ìî ª ¯«®áª®á⨠Ax+By+Cz+D = 0,
¢¥ªâ®à |
³ ¡ pA2 + B2 + C2 |
; ¡pA2 + B2 + C2 |
; ¡pA2 + B2 + C2 ´ |
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|
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|
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|
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• §®¢¥¬ â®çª¨ T; Q 2 V ää, dim V ää = 3, -¥à §¤¥«¥--묨 ¯«®áª®áâìî Ax +
By + Cz + D = 0, ¥á«¨ ®â१®ª, ¨å ᮥ¤¨-ïî騩, 楫¨ª®¬ «¥¦¨â ¨«¨ ¢ P +
A;B;C, ¨«¨
¢ PA;B;C¡ .
’¥®à¥¬ 10.4. ’®çª¨ M0(x0; y0; z0), M1(x1; y1; z1) -¥ à §¤¥«¥-ë ¯«®áª®áâìî Ax +
By + Cz + D = 0 , F (x0; y0; z0)F (x1; y1; z1) > 0.
4
„®ª § ⥫ìá⢮. ’¥®à¥¬ 10.4 ¤®ª §ë¢ ¥âáï â®ç-® â ª¦¥, ª ª ¨ ã⢥ত¥-¨¥ 7.1 ¨§ «¥ªæ¨¨ ü7, ¯à¥¤« £ ¥¬ íâ® ¯à®¤¥« âì á ¬®áâ®ï⥫ì-®.
•ã箪 ¯«®áª®á⥩
• áᬮâਬ ¯¥à¥á¥ª î騥áï (-¥ ᮢ¯ ¤ î騥!) ¯«®áª®á⨠|
|
½ A2x + B2y + C2z + D2 = 0; |
|
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(10.4) |
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‚ëïá-¨¬, ¯à¨ |
ª ª¨å ãá«®¢¨ïå ¯«®áª®áâì Ax + By + Cz + D = 0, ®â«¨ç- ï ®â ¯«®áª®á⥩ (10.4), ᮤ¥à¦¨â ¯àï¬ãî d.
’¥®à¥¬ 10.5. •àï¬ ï d ᮤ¥à¦¨âáï ¢ ¯«®áª®á⨠Ax + By + Cz + D = 0 ,
Ax + By + Cz + D = ¸1(A1x + B1y + C1z + D1) + ¸2(A2x + B2y + C2z + D2) ¤«ï
-¥ª®â®àëå ç¨á¥« ¸1; ¸2, -¥ à ¢-ëå 0.
„®ª § ⥫ìá⢮. (() Žç¥¢¨¤-®. ()) • áᬮâਬ â®çªã á ª®®à¤¨- â ¬¨ (x0; y0; z0), -¥ ¯à¨- ¤«¥¦ éãî ¯«®áª®áâï¬ (10:4). ’®£¤ Aix0 + Biy0 + Ciz0 + Di =6 0, i = 1; 2. ’®£¤ - ©¤ãâáï ç¨á« ¸i, i = 1; 2, â ª¨¥, çâ®
¸1(A1x0 + B1y0 + C1z0 + D1) + ¸2(A2x0 + B2y0 + C2z0 + D2) = 0:
• áᬮâਬ ¯«®áª®áâì
¸1(A1x + B1y + C1z + D) + ¸2(A2x + B2y + C2z + D2) = 0:
Žç¥¢¨¤-®, çâ® í⮩ ¯«®áª®á⨠¯à¨- ¤«¥¦ â ¯àï¬ ï d ¨ â®çª á ª®®à¤¨- â ¬¨ (x0; y0; z0). € â ª ª ª «î¡ ï ¯«®áª®áâì ®¤-®§- ç-® ®¯à¥¤¥«ï¥âáï -¥ª®â®à®© ¯àאַ©
¨ â®çª®©, - í⮩ ¯àאַ© -¥ «¥¦ 饩, á¬. á«¥¤á⢨¥ 9.4, â® âॡ㥬 ï ¨¬¯«¨ª æ¨ï ¤®ª § - . ¥
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’ ª ª ª fe~1; : : : ; e~ng | ¡ §¨á, â® ¬ë ¬®¦¥¬ § ¯¨á âì
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„®ª § ⥫ìá⢮. •ãáâì '1 : V ää ! Rn, '2 : V ää ! Rn | ª®®à¤¨- â-ë¥ ¨§®¬®à䨧¬ë, ¨-¤ãæ¨à®¢ --ë¥ ää¨--묨 á¨á⥬ ¬¨ ª®®à¤¨- â (O; e1; : : : ; en), (O1; e~1; : : : ; e~n) ᮮ⢥âá⢥--®, á¬. (5.1) ¨§ «¥ªæ¨¨ ü5, ¤¥©áâ¢ãî騥 ¯® ¯à ¢¨«ã
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„®ª § ⥫ìá⢮. •ãáâì ¢ ää¨--®© á¨á⥬¥ ª®®à¤¨- â (O1; e~1; : : : ; e~n) ª®®à¤¨- - âë â®ç¥ª A; B; K; L à ¢-ë ᮮ⢥âá⢥--® (~a1; : : : ; a~n), (~b1; : : : ; ~bn), (k~1; : : : ; k~n), (~l1; : : : ; ~ln). Œë ¨¬¥¥¬
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¡ã¤¥â ¨¬¥âì ¢¨¤ x1 = 0.
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¨¬¥î騥 ¥¤¨-á⢥--ãî ®¡éãî â®çªã ¯¥à¥á¥ç¥-¨ï. • ©¤¨â¥ ää¨--®¥ ¯à¥®¡à §®- ¢ -¨¥ ª®®à¤¨- â ¢ 3-¬¥à-®¬ ¯à®áâà -á⢥ â ª®¥, çâ® ¢ -®¢®© á¨á⥬¥ ª®®à¤¨- â
ãà ¢-¥-¨ï íâ¨å ¯«®áª®á⥩ ¡ã¤ãâ ¨¬¥âì ¢¨¤ xi = 0, i = 1; 2; 3.