Аналитическая геометрия - А.В. Грешнов / Lecture13
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„ â : 01.12.2012.
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1 k 2 , ¨«¨ 1 = 2, ¨«¨ 1 \ 2 = ;.
„®ª § ⥫ìá⢮. ()) Œë ¨¬¥¥¬ 1 = a + V1, 2 = b + V2, £¤¥ a; b 2 V ää, V1; V2 | ¢¥ªâ®à-ë¥ n ¡ 1-¬¥à-ë¥ ¯®¤¯à®áâà -á⢠. Œë ¨¬¥¥¬: ¨«¨ V1 µ V2, ¨«¨ V2 µ V1. •à¥¤¯®«®¦¨¬ V1 ½ V2, -® ⮣¤ ¤®«¦¥- - ©â¨áì ¢¥ªâ®à w 2 (V2 n V1). ‡- ç¨â, w -¥ ¢ëà ¦ ¥âáï «¨-¥©-ë¬ ®¡à §®¬ ç¥à¥§ ¡ §¨á ¢¥ªâ®à-®£® ¯®¤¯à®áâà -á⢠V1, á«¥¤®¢ ⥫ì-®, dim V2 = dim V1 + 1 = n, 祣® -¥ ¬®¦¥â ¡ëâì. ‘«¥¤®¢ ⥫ì-®, V1 = V2 = V0. ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, 1 = a + V0, 2 = b + V0.
•ãáâì a 2= 2. •à¥¤¯®«®¦¨¬, çâ® b ¡ a 2 V0 (= V0 + V0)) a = b + v ¤«ï -¥ª®â®à®£® v 2 V0, -® b + v 2 2. ‘«¥¤®¢ ⥫ì-®, - è¥ ¯à¥¤¯®«®¦¥-¨¥ -¥¢¥à-®, ¨ ¯®í⮬ã b ¡ a 2= V0, ®âªã¤ ¯® ᢮©áâ¢ã III «¥ªæ¨¨ ü12 ¬ë ¯®«ãç ¥¬ 1 \ 2 = ;.
’¥¯¥àì ¯ãáâì a 2 2, ⮣¤ ¯® ᢮©áâ¢ã I «¥ªæ¨¨ ü12 ¬ë ¯®«ãç ¥¬ 2 = a+V0 =
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(() …᫨ 1 = 2, â® 1 = a + V0, 2 = a + V0, ¨ ®ç¥¢¨¤-® ¢ë¯®«-¥-¨¥ ãá«®¢¨ï
¯ à ««¥«ì-®á⨠(V0 µ V0). ’¥¯¥àì ¯ãáâì 1\ 2 = ; )¯® ᢮©áâ¢ã III b¡a 2= V 1 +V 2 . •ãáâì V 1 * V 2 . •® ⮣¤ , ¯®áª®«ìªã dim V 1 = dim V 2 = dim V ää ¡1, ¬ë ¨¬¥¥¬
V 1 + V 2 = V ää, çâ® ¢«¥ç¥â b ¡ a 2 V 1 + V 2 . ‡- ç¨â, V 1 µ V 2 ) 1 k 2. ¥
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„®ª § ⥫ìá⢮. •® ã⢥ত¥-¨î 13.1 £¨¯¥à¯«®áª®á⨠¯ à ««¥«ì-ë , £¨¯¥à¯«®á-
ª®á⨠-¥ ¨¬¥îâ ®¡é¨å â®ç¥ª ¨«¨ ᮢ¯ ¤ îâ. •®íâ®¬ã ¬ë ¡ã¤¥¬ ¤®ª §ë¢ âì ⥮- ६ã 13.2 ¢ á«¥¤ãî饬 ¢¨¤¥
ƒ¨¯¥à¯«®áª®áâ¨, ®¯à¥¤¥«ï¥¬ë¥ ãà ¢-¥-¨ï¬¨
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è¥-¨© ¯¥à¢®£® ãà ¢-¥-¨ï ¨§ (13.3) -¥ ᮢ¯ ¤ ¥â á ᮢ®ªã¯-®áâìî ¢á¥å à¥è¥-¨© ¢â®à®£® ãà ¢-¥-¨ï ¨§ (13.3). „¥©á⢨⥫ì-®, ¯ãáâì (y1; : : : ; yn) | ª ª®¥--¨¡ã¤ì
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‡ ¬¥ç -¨¥ 13.1. …áâ¥á⢥--®, ¢®§-¨ª ¥â ¢®¯à®á ® ý¥¤¨-á⢥--®áâ¨þ ®¯à¥¤¥«¥-¨ï ¯à®¨§¢®«ì-®© (n ¡ k)-¬¥à-®© ¯«®áª®á⨠¯à¨ ¯®¬®é¨ á¨á⥬ë ãà ¢-¥-¨© (13.10).
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¡1, ¨ ý¯®«®¦¨â¥«ì-®¥ ¯®«ã¯à®áâà -á⢮þ áâ -¥â ý®âà¨æ ⥫ì-ë¬ ¯®«ã¯à®áâà --
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“⢥ত¥-¨¥ 13.1 (ªà¨â¥à¨© ý¯®«®¦¨â¥«ì-®áâ¨þ ¯®«ã¯à®áâà -á⢠). Š®- -¥æ ¢¥ªâ®à (A1; : : : ; An) á - ç «®¬ ¢ â®çª¥ (x1; : : : ; xn), £¤¥ A1x1+¢ ¢ ¢+Anxn+D =
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„®ª § ⥫ìá⢮. •®¤áâ ¢¨¬ â®çªã (x1 +A1; : : : ; xn +An) ¢ ¢ëà ¦¥-¨¥ F (x1; : : : ; xn),
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A1x1 + ¢ ¢ ¢ + Anxn + D = 0 , F (y1; : : : ; yn)F (z1; : : : ; zn) > 0.
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20 ®â®¡à ¦¥-¨¥ [ ; ] ª®á®á¨¬¬¥âà¨ç-®, â.¥. [a; b] = ¡[b; a].
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[a; [b; c]] + [b; [c; a]] + [c; [a; b]] = 0 8a; b; c 2 V:
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[e1; e2] = e3, [e2; e3] = e1 + e2, [e3; e1] = 0. Œë ¨¬¥¥¬
[e3; [e1; e2]] + [e1; [e2; e3]] + [e2; [e3; e1]] = [e1; e3] + [e1; e1 + e2] + [e2; 0] = e3 =6 0:
9
Ž¯à¥¤¥«¥-¨¥ 13.4. • áᬮâਬ ®à¨¥-â¨à®¢ --®¥ 3-¬¥à-®¥ ¢¥ªâ®à-®¥ ¯à®áâà -- á⢮ V3 á ¡ §¨á®¬ e1; e2; e3. ‘ª®¡®ç-ãî ®¯¥à æ¨î, ®¯à¥¤¥«ï¥¬ãî â ¡«¨æ¥© ª®¬¬ã-
â â®à®¢
[e1; e2] = e3 = e1 - e2; [e2; e3] = e1 = e2 - e3; |
[e3; e1] = e2 = e3 - e2; |
(13.15) |
- §®¢¥¬ ä®à¬ «ì-ë¬ ¢¥ªâ®à-ë¬ ¯à®¨§¢¥¤¥-¨¥¬ - |
V3. |
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ˆá¯®«ì§ãï (13.14), (13.15), ¬ë ¯®«ãç ¥¬ |
|
|
a - b = (a2b3 ¡ b2a3)e1 + (a3b1 ¡ b3a1)e2 + (a1b2 ¡ a2b1)e3: |
(13.16) |
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‡ ¬¥ç -¨¥. ‚ ¥¢ª«¨¤®¢®¬ ¯à®áâà -á⢥ R3 á® áâ -¤ àâ-®© ¯àאַ㣮«ì-®© á¨áâ¥-
¬®© ª®®à¤¨- â ¯®-ï⨥ ¢¥ªâ®à-®£® ¯à®¨§¢¥¤¥-¨ï ¢¢®¤¨âáï -¥áª®«ìª® ¯®-¤à㣮¬ã, -® ¢ á«¥¤ãîé¨å «¥ªæ¨ïå ¬ë ¯®ª ¦¥¬, çâ® ®-® 㤮¢«¥â¢®àï¥â ®¯à¥¤¥«¥-¨î 13.4.
‘¢®©á⢮ 13.1. •ãáâì a; b 2 V3 | -¥ª®««¨-¥ à-ë¥ ¢¥ªâ®àë. ’®£¤ ¢¥ªâ®àë a; b; a - b «¨-¥©-® -¥§ ¢¨á¨¬ë, ¡®«¥¥ ⮣®, ¡ §¨á fa - b; a; bg ®¤-®¨¬¥-¥- á ¡ §¨á®¬
fe1; e2; e3g.
„®ª § ⥫ìá⢮. •ãáâì (a1; a2; a3) | ª®®à¤¨- âë ¢¥ªâ®à |
a, (b1; b2; b3) | ª®®à¤¨- |
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- âë ¢¥ªâ®à |
b. ’®£¤ , ¨á¯®«ì§ãï (13:16), ¬ë ¯®«ãç ¥¬ |
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b1 |
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a2b3 ¡ b2a3 a3b1 ¡ b3a1 a1b2 ¡ a2b1 |
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= (a2b3 ¡ b2a3)2 + (a3b1 ¡ b3a1)2 + (a1b2 ¡ a2b1)2 > 0: |
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= i=1 aibi, £¤¥ (a1; : : : ; an) | ª®®à¤¨- âë ¢¥ªâ®à a, |
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áâ -¤ àâ-®£® ¥¢ª«¨¤®¢®£® ᪠«ïà-®£® |
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¯à®¨§¢¥¤¥-¨ï). |
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ha; a - bi = |
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‘¢®©á⢮ 13.2. •ãáâì a; b 2 V3 |
| -¥ª®««¨-¥ à-ë¥ ¢¥ªâ®àë. ’®£¤ |
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hb; a - bi = 0. |
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„®ª § ⥫ìá⢮. •à®¢¥àï¥âáï -¥¯®á।á⢥--®.
‘¢®©á⢮ 13.3 (¡ æ ¬¨-ãá æ ¡). a - (b - c) = bha; ci ¡ cha; bi.
„®ª § ⥫ìá⢮. •à®¢¥àï¥âáï -¥¯®á।á⢥--®.
‘¢®©á⢮ 13.4 (⮦¤¥á⢮ Ÿª®¡¨). a - (b - c) + b - (c - a) + c - (a - b) = 0.
10
„®ª § ⥫ìá⢮. ˆá¯®«ì§ãï ᢮©á⢮ 13.3, ¬ë ¯®«ãç ¥¬
a-(b-c)+b-(c-a)+c-(a-b) = bha; ci¡cha; bi+chb; ai¡ahb; ci+ahb; ci¡bhc; ai = 0:
‘«¥¤á⢨¥ 13.3.Ž¯¥à æ¨ï - ï¥âáï ᪮¡ª®© ‹¨. |
||
‘¢®©á⢮ 13.5. ha - b; c - di = det |
µhhb; cii |
hhb; dii ¶. |
|
a; c |
a; d |
„®ª § ⥫ìá⢮. •à®¢¥àï¥âáï -¥¯®á।á⢥--®.
Ž¯à¥¤¥«¥-¨¥ 13.5. Ž¯à¥¤¥«¨¬ ä®à¬ «ì-®¥ ᬥè --®¥ ¯à®¨§¢¥¤¥-¨¥ (a; b; c) ¢¥ª- â®à®¢ a; b; c 2 V3 ª ª
(a; b; c) = det |
0 b1 |
b2 |
b3 |
1 |
= a; b |
c ; |
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a1 |
a2 |
a3 |
|
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|
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@ c1 |
c2 |
c3 A h |
- i |
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£¤¥ a = a1e1 + a2e2 + a3e3, b = b1e1 + b2e2 + b3e3, c = c1e1 + c2e2 + c3e3.
‘¢®©á⢮ 13.6. 10 ”®à¬ «ì-®¥ ᬥè --®¥ ¯à®¨§¢¥¤¥-¨¥ «¨-¥©-® ¯® ª ¦¤®¬ã à£ã¬¥-âã,
20 (a; b; c) = (b; c; a) = (c; a; b) = ¡(a; c; b) = ¡(c; b; a) = ¡(b; a; c),
30 |
0 ha; fi |
hb; fi |
hc; fi 1 |
: |
(a; b; c)(e; f; g) = det |
||||
|
a; e |
b; e |
c; e |
|
@h i h i h i A ha; gi hb; gi hc; gi
„®ª § ⥫ìá⢮. 10, 20 ¢ë⥪ ¥â -¥¯®á।á⢥--® ¨§ ®¯à¥¤¥«¥-¨ï 13.5, 30 ¯à®¢¥àï- ¥âáï -¥¯®á।á⢥--®.
‚¥¢ª«¨¤®¢®¬ ¯à®áâà -á⢥ R3 á® áâ -¤ àâ-®© ¯àאַ㣮«ì-®© á¨á⥬®© ª®®à¤¨-
-â ¯®-ï⨥ ᬥè --®£® ¯à®¨§¢¥¤¥-¨ï ¨¬¥¥â ᮢ¥àè¥--® -¥ä®à¬ «ì-ë© á¬ëá« |
íâ® ®¡ê¥¬ ®à¨¥-â¨à®¢ --®£® ¯ à ««¥«¥¯¨¯¥¤ , - âï-ã⮣® - ¢¥ªâ®àë a; b; c, ¬ë ®¡á㤨¬ íâ® -¥¬-®£® ¯®§¦¥.