Аналитическая геометрия - А.В. Грешнов / Lecture2

2

ᨬ¯â®âë: ¢¥à⨪ «ì-ãî ¸ = ¡1 ¨ £®à¨§®-â «ì-ãî x = x2. ˆ§ £à 䨪 â ª¦¥ ¢¨¤-®, çâ® äã-ªæ¨ï x(¸) ¢§ ¨¬-®-®¤-®§- ç-® ®â®¡à ¦ ¥â ¬-®¦¥á⢮ R n f¡1g - ¬-®¦¥á⢮

”®à¬ã« (2.2) ¤«ï ¢á类£® ¢¥é¥á⢥--®£® ç¨á« ¸ (ªà®¬¥ ¸ = ¡1) ®¯à¥¤¥«ï¥â ª®®à¤¨- âã â®çª¨ M. ‘«¥¤®¢ ⥫ì-®, ç¨á«® ¸ â ª¦¥ ¬®¦¥â ¡ëâì - §¢ - ª®®à- ¤¨- ⮩ â®çª¨ M | ¯à®¥ªâ¨¢-®© ª®®à¤¨- ⮩. ‘¨á⥬ ¯à®¥ªâ¨¢-ëå ª®®à¤¨- â á®á⮨⠨§ ¯ àë â®ç¥ª A, B: § ¤ -¨¥ íâ¨å â®ç¥ª ¤®áâ â®ç-®, çâ®¡ë ¯® § ¤ --®¬ã ®â-®è¥-¨î ¸ - ©â¨ - ©â¨ ¯®«®¦¥-¨¥ â®çª¨ M. Š ¦¤®© â®çª¥ M ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ¯® ä®à¬ã«¥ (2.2) ¢¥é¥á⢥--®¥ ç¨á«® ¸, ª ¦¤®¬ã ¢¥é¥á⢥--®¬ã ç¨á«ã ¸ | â®çª M - ¯àאַ©. Ž¤- ª® §¤¥áì ¥áâì ¤¢ ¨áª«îç¥-¨ï: â®çª¥ B -¥ ᮮ⢥âáâ¢ã¥â -¨ª ª®£® ç¨á« ¸ 2 R, §- ç¥-¨î ¸ = ¡1 -¥ ᮮ⢥âáâ¢ã¥â -¨ª ª®© â®çª¨.

—â®¡ë ®¡®©â¨ ¯¥à¢®¥ § âàã¤-¥-¨¥, ¢¢¥¤¥¬ ¢¬¥áâ® ®¤-®£® ç¨á« ¸ ¯ àã ç¨á¥« m; n

â ª, çâ® ¸ = n

m . ’®£¤

x(¸) = x(n=m) = mx1 + nx2 : m + n

Žç¥¢¨¤-®, çâ® ¤«ï ª ¦¤®£® ¸ áãé¥áâ¢ã¥â ¡¥áª®-¥ç-® ¬-®£® ¯ à (m; n) â ª¨å, çâ®

¢ ¥âáï ¯à®¥ªâ¨¢-묨 ª®®à¤¨- â ¬¨ â®çª¨ M. Œ-®¦¥á⢮ ¢á¥å ª« áᮢ ¯à®¯®àæ¨- ®- «ì-ëå -¥-ã«¥¢ëå ¯ à ¨«¨, çâ® à ¢-®á¨«ì-®, ¬-®¦¥á⢮ ¢á¥å ý¯àï¬ëåþ (tm; tn) ¯à®áâà -á⢠R2, t 2 R, - §ë¢ ¥âáï ®¤-®¬¥à-ë¬ ¯à®¥ªâ¨¢-ë¬ ¯à®áâà -á⢮¬ ¨

®¡®§- ç ¥âáï ᨬ¢®«®¬ P R1.

‚â®à ï âàã¤-®áâì á®á⮨⠢ -¥å¢ ⪥ â®çª¨ - ¯àאַ©, ᮮ⢥âáâ¢ãî饩 §- ç¥- -¨î ¸ = ¡1. •à¨ ¤¢¨¦¥-¨¨ ¯® ª®®à¤¨- â-®© ¯àאַ© ¸ á«¥¢ - ¯à ¢® ¯à¨ ¯¥à¥å®¤¥

ç¥à¥§ â®çªã ¸ = ¡1 §- ç¥-¨¥ äã-ªæ¨¨ x(¸) ¬¥-ï¥âáï á +1 - ¡1. „®¯®«-¨¬ ¢¥- é¥á⢥--ãî ¯àï¬ãî R -®¢®©, ý-¥á®¡á⢥--®©þ â®çª®©: ¡ã¤¥¬ áç¨â âì, çâ® ®-

«¥¦¨â - ¯àאַ© § ¢á¥¬¨ ýᮡá⢥--묨þ (ª®-¥ç-묨) â®çª ¬¨, ïïáì ®¡é¥© ¯à¥¤¥«ì-®© â®çª®© ¯à¨ -¥®£à -¨ç¥--®¬ 㤠«¥-¨¨ ¯® ¯àאַ© - ¯à ¢® ¨ - «¥¢®.

•â®© â®çª¥ ¬ë ¯®áâ ¢¨¬ ¢ ᮮ⢥âá⢨¥ §- ç¥-¨¥ ¸ = ¡1. ‚¥é¥á⢥-- ï ¯àï¬ ï, ¤®¯®«-¥-- ï -¥á®¡á⢥--®© â®çª®©, - §ë¢ ¥âáï ¬®¤¥«ìî ¯à®¥ªâ¨¢-®© ¯àאַ©, ¥¥

á⢥--ëå ç¨á¥« R. ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, Rn = f[a j a = (a1; : : : ; an); ai 2 Rg. •«¥-

3

¬¥-âë (n-- ¡®àë) ¬-®¦¥á⢠Rn â ª¦¥ - §ë¢ îâ â®çª ¬¨, i-© ª®®à¤¨- ⮩ â®çª¨ (x1; : : : ; xn) 2 Rn - §ë¢ îâ ç¨á«® xi, - 室ï饥áï - i-¬ ¬¥á⥠¢ § ¯¨á¨ (x1; : : : ; xn), ¥á«¨ áç¨â âì á«¥¢ - ¯à ¢®. •«¥¬¥-â ¬-®¦¥á⢠Rn, ¨¬¥î騩 ¢¨¤ (0; : : : ; 0) ®¡®- §- ç îâ ᨬ¢®«®¬ 0 ¨ - §ë¢ îâ - ç «®¬ ª®®à¤¨- â Rn.

‚뤥«¨¬ ¢ ¦-ë¥ ®â®¡à ¦¥-¨ï, ®¯à¥¤¥«¥--ë¥ - Rn.

Pri : Rn ! Rn, Pri(x1; : : : ; xn) = (0; : : : ; 0; xi; 0; : : : ; 0) | i- ï ¯à®¥ªæ¨ï.

La : Rn ! Rn, a = (a1; : : : ; an), La(x1; : : : ; xn) = (a1 + x1; : : : ; an + xn) = a + x |

ᤢ¨£ (¯¥à¥-®á) - í«¥¬¥-â a.

±t : Rn ! Rn, t 2 R, ±t(x1; : : : ; xn) = (tx1; : : : ; txn) | à áâ殮-¨¥. Žâ¬¥â¨¬, çâ®

±0(x1; : : : ; xn) = (0; : : : ; 0) 8(x1; : : : ; xn).

‡ 䨪á¨à㥬 â®çª¨ x = (x1; : : : ; xn), a = (a1; : : : ; an). Žâ®¡à ¦¥-¨¥

Fa;v(t) = La ± ±t(v); t 2 R;

- §ë¢ ¥âáï ¯ à ¬¥âà¨ç¥áª¨¬ ãà ¢-¥-¨¥¬ ¯àאַ©, ¯à®å®¤ï饩 ç¥à¥§ â®çªã a á - - ¯à ¢«ïî騬 ¢¥ªâ®à®¬ v. ‚ á«ãç ¥, ª®£¤ a = 0, ¬ë ¡ã¤¥¬ ¨á¯®«ì§®¢ âì § ¯¨áì

±t(v) ¢¬¥áâ® L0 ± ±t(v). Žç¥¢¨¤-® á«¥¤ãî饥

‘¢®©á⢮ 2.1. „«ï «î¡®£® 䨪á¨à®¢ --®£® ç¨á« s 2 R ¢ë¯®«-ï¥âáï La ±±ts(v) =

La ± ±t(±s(v)).

•à ¬¥âà¨ç¥áª¨¥ ®â®¡à ¦¥-¨ï, ¢¢¥¤¥--ë¥ ¢ëè¥, ¨ ¯®¤®¡-ë¥ ¨¬, ¡ã¤ãâ ¨§ãç¥-ë

-¬¨ ¯®§¦¥.

Ž¯à¥¤¥«¥-¨¥ 2.1. •ãáâì X | -¥ª®â®à®¥ ¬-®¦¥á⢮. ”ã-ªæ¨ï d : X £X ! R+ [0 - §ë¢ ¥âáï à ááâ®ï-¨¥¬ (¬¥âਪ®©) - X, ¥á«¨ ¤«ï ¢á¥å x; y; z 2 X ¢л¯®«-повбп

á«¥¤ãî騥 ãá«®¢¨ï:

(i) d(x; y) ¸ 0, d(x; y) = 0 , x = y ( ªá¨®¬ ⮦¤¥á⢠); (ii) d(x; y) = d(y; x) ( ªá¨®¬ ᨬ¬¥âਨ);

(iii) d(x; z) · d(x; y) + d(y; z) ( ªá¨®¬ -¥à ¢¥-á⢠âà¥ã£®«ì-¨ª ).

Ž¯à¥¤¥«¥-¨¥ 2.2.

B(x; R) = fy 2 X j d(x; y) < Rg | ®âªàëâë© è à á æ¥-â஬ ¢ â®çª¥ x 2 X à ¤¨ãá R;

B(x; R) = fy 2 X j d(x; y) · Rg | § ¬ª-ãâë© è à á æ¥-â஬ ¢ â®çª¥ x 2 X

4

“¯à ¦-¥-¨¥ 2.1. „®ª ¦¨â¥, çâ® d2(x; y), d1(x; y), d1(x; y) 㤮¢«¥â¢®àïîâ ªá¨- ®¬ ¬ ⮦¤¥á⢠¨ ᨬ¬¥âਨ.

“¯à ¦-¥-¨¥ 2.2. „®ª ¦¨â¥, çâ® d1(x; y), d1(x; y) 㤮¢«¥â¢®àïîâ -¥à ¢¥-áâ¢ã âà¥ã£®«ì-¨ª .

‘¢®©á⢮ 2.2. •ãáâì a = (a1; : : : ; an). ‚л¯®«-повбп ⮦¤¥áâ¢

„®ª § ⥫ìá⢮. ‘¢®©á⢮ 2.2 ¢ë⥪ ¥â ¨§ ®¯à¥¤¥«¥-¨© d1(x; y), d2(x; y), d1(x; y).¥

„®ª ¦¥¬, çâ® d2 㤮¢«¥â¢®àï¥â -¥à ¢¥-áâ¢ã âà¥ã£®«ì-¨ª . „®ª § ⥫ìáâ¢ã ¯à¥¤- ¯®è«¥¬ «¥¬¬ã.

‹¥¬¬ 2.1. „«ï «î¡ëå ç¨á¥« ai, bi, i = 1; : : : ; n, ¢ë¯®«-ï¥âáï -¥à ¢¥-á⢮

„®ª § ⥫ìá⢮. • áᬮâਬ äã-ªæ¨î F (t) = (ait ¡ bi)2. •ãáâì ç¨á«® t0 2 R

i=1

5

‡ ¬¥ç -¨¥ 2.1. •¥á«®¦-® ¢¨¤¥âì, çâ® ¢á¥£¤ a1b1 + a2b2 · (a21 + a22)1=2(b21 + b22)1=2. „¥©á⢨⥫ì-®, ¤ --®¥ -¥à ¢¥-á⢮ íª¢¨¢ «¥-â-® á«¥¤ãî饬ã

¨ (2.3) ¢ë⥪ ¥â ¨§ å®à®è® ¨§¢¥áâ-ëå âਣ®-®¬¥âà¨ç¥áª¨å ä®à¬ã« ýª®á¨-ãá áã¬- ¬ëþ, ýª®á¨-ãá à §-®áâ¨þ.

’¥®à¥¬ 2.1 (-¥à ¢¥-á⢮ âà¥ã£®«ì-¨ª ¤«ï d2). „«ï ¢á¥å í«¥¬¥-⮢ x; y; z 2

Rn ¢ë¯®«-ï¥âáï á®®â-®è¥-¨¥ d2(x; y) · d2(x; z) + d2(z; y).

„®ª § ⥫ìá⢮. “ç¨âë¢ ï ᢮©á⢮ 2.2, ¤®áâ â®ç-® ¤®ª § âì ⥮६ã 2.1 ¢ ¯à¥¤- ¯®«®¦¥-¨¨, çâ® x = (0; : : : ; 0) = 0, â. ¥.

‚ (2.4) - ¬ â ª¦¥ ¤®áâ â®ç-® à áᬮâà¥âì ⮫쪮 á«ãç ©, ª®£¤ d2(0; y) > d2(0; z) (¯à¨ d2(0; y) · d2(0; z) -¥à ¢¥-á⢮ (2.4) ®ç¥¢¨¤-®). „«ï ¯à®áâ®âë § ¯¨á¨ à á- ᬮâਬ ⮫쪮 á«ãç © R2 (¤«ï Rn, n > 2, ¤®ª § ⥫ìá⢮ - «®£¨ç-®). •ãáâì

y= (y1; y2), z = (z1; z2). ’®£¤ - ¬ -¥®¡å®¤¨¬® ¤®ª § âì, çâ®

(y12 + y22)1=2 · (z12 + z22)1=2 + ¡(z1 ¡ y1)2 + (z2 ¡ y2)2¢1=2

,(y12 + y22)1=2 ¡ (z12 + z22)1=2 · ¡(z1 ¡ y1)2 + (z2 ¡ y2)2¢1=2:

‚ᨫã ᤥ« --ëå ¯à¥¤¯®«®¦¥-¨© (y12 + y22)1=2 ¡ (z12 + z22)1=2 > 0, ¯®í⮬㠢®§¢¥¤¥¬

®¡¥ ç á⨠¯®á«¥¤-¥£® -¥à ¢¥-á⢠¢ ª¢ ¤à â, ¨ ¯®á«¥ í«¥¬¥-â à-ëå ¯à¥®¡à §®¢ -¨© ¯®«ã稬

y12 + y22 + z12 + z22 · 2(y12 + y22)1=2(z12 + z22)1=2 + y12 + y22 + z12 + z22 ¡ 2y1z1 ¡ 2y2z2;

çâ® íª¢¨¢ «¥-â-®

6

‘«¥¤á⢨¥ 2.2 (-¥à ¢¥-á⢮ Œ¨-ª®¢áª®£®). „«ï «î¡ëå ui, vi, i = 1; : : : ; n, ¢ë¯®«-ï¥âáï -¥à ¢¥-á⢮

³Xn (ui + vi)2´1=2 · ³Xn u2´1=2 + ³Xn v2´1=2:

i i

„®ª § ⥫ìá⢮. ˆá¯®«ì§ãï ®¯à¥¤¥«¥-¨¥ d2, § ¯¨è¥¬ -¥à ¢¥-á⢮ (2.4) ¢ á«¥¤ãî- 饬 íª¢¨¢ «¥-â-®¬ ¢¨¤¥

‚¢¥¤¥¬ ®¡®§- ç¥-¨ï yi ¡zi = ui, zi = vi, i = 1; : : : ; n. •®¤áâ ¢¨¢ ¨å ¢ (2.6), ¯®«ã稬 -¥à ¢¥-á⢮ Œ¨-ª®¢áª®£®.¥

‘«¥¤á⢨¥ 2.3. …᫨ ¤«ï â®ç¥ª y; z 2 Rn â ª¨å, çâ® z =6 y, 0 < d2(0; y) < d2(0; z), ¨¬¥¥â ¬¥áâ® à ¢¥-á⢮ d2(0; z) = d2(0; y) + d2(y; z), â® - ©¤¥âáï ç¨á«® t â ª®¥, çâ® y = ±t(z).

„®ª § ⥫ìá⢮. „®ª ¦¥¬ á«¥¤á⢨¥ 2.3 ¢ R2, ®¡é¨© á«ãç © ¤®ª §ë¢ ¥âáï - «®-

£¨ç-®. ˆ§¬¥-¨¬ ¢ (2.5) §- ª -¥à ¢¥-á⢠- à ¢¥-á⢮, ¨ ¢®§¢¥¤¥¬ ®¡¥ ç á⨠-®¢®£® à ¢¥-á⢠¢ ª¢ ¤à â. ‚ १ã«ìâ ⥠¯®«ã稬

y12z12 + 2y1y1z1z2 + y22z22 = (y12 + y22)(z12 + z22);

çâ® íª¢¨¢ «¥-â-® ⮦¤¥áâ¢ã

„«ï ¢ë¯®«-¥-¨ï (2.7) -¥®¡å®¤¨¬®, ç⮡ë z1; y1 ¡ë«¨ ®¤-®£® §- ª , ¨ ¢ í⮬ á«ãç ¥ t = y1=z1. ‘«ãç © z1 = 0 - «®£¨ç¥- à §®¡à --®¬ã. ’¥¯¥àì à áᬮâਬ á«ãç ©, ª®£¤ z1 =6 0, z2 =6 0. ’®£¤ t = y1=z1 = y2=z2.¥

‡ ¬¥ç -¨¥ 2.2. •ãáâì â®çª¨ x; y; z 2 Rn ¯à¨- ¤«¥¦ â -¥ª®â®à®© ¯àאַ© á - - ¯à ¢«ïî騬 ¢¥ªâ®à®¬ v, ¯à®å®¤ï饩 ç¥à¥§ â®çªã 0. ’®£¤ ¯®-ïâ-®, çâ® - ©¤ãâáï -¥ª®â®àë¥ ç¨á« t1, t2, t3 2 R â ª¨¥, çâ® x = ±t1 (v), y = ±t2 (v), z = ±t3 (v). Œë ¬®- ¦¥¬ áç¨â âì, -¥ 㬥-ìè ï ®¡é-®áâ¨, çâ® t1 < t2 < t3. ’®£¤ -¥á«®¦-® ¯à®¢¥à¨âì, çâ® d2(x; z) = d2(x; y) + d2(y; z).

7

“⢥ত¥-¨¥ 2.1 (íªáâ६ «ì-®¥ ᢮©á⢮ ¬¥âਪ¨ d2). ’à¨ à §«¨ç-ë¥ â®çª¨ x; y; z 2 Rn ¯à¨- ¤«¥¦ â -¥ª®â®à®© ¯ à ¬¥âà¨ç¥áª¨ § ¤ --®© ¯àאַ© â®-

£¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ ¤«ï -¨å ¢ë¯®«-ï¥âáï ª ª®¥--¨¡ã¤ì ¨§ á«¥¤ãîé¨å âà¥å à ¢¥-áâ¢

d2(x; z) = d2(x; y) + d2(y; z);

d2(x; y) = d2(x; z) + d2(z; y);

d2(y; z) = d2(y; x) + d2(x; z):

„®ª § ⥫ìá⢮. • ¬ ¤®áâ â®ç-® à áᬮâà¥âì á«ãç ©, ª®£¤ x = 0. „¥©á⢨⥫ì-®, ¥á«¨ x =6 0, â® ¢¬¥áâ® â®ç¥ª x; y; z à áᬮâਬ â®çª¨ L¡xx = 0, L¡xy = y ¡ x, L¡xz = z ¡ x. ‚ ᨫã ᢮©á⢠2.2 ¬ë ¨¬¥¥¬

d2(x; z) = d2(x; y) + d2(y; z) , d2(0; z ¡ x) = d2(0; y ¡ x) + d2(y ¡ x; z ¡ x); d2(x; y) = d2(x; z) + d2(z; y) , d2(0; y ¡ x) = d2(0; z ¡ x) + d2(z ¡ x; y ¡ x); d2(y; z) = d2(y; x) + d2(x; z) , d2(y ¡ x; z ¡ x) = d2(y ¡ x; 0) + d2(0; z ¡ x):

‘ ¤à㣮© áâ®à®-ë, ¥á«¨ à §«¨ç-ë¥ â®çª¨ x; y; z 2 Rn ¯à¨- ¤«¥¦ â -¥ª®â®à®© ¯ à - ¬¥âà¨ç¥áª¨ § ¤ --®© ¯àאַ©, â® - ©¤ãâáï a 2 Rn, tx; ty; tz â ª¨¥, çâ® x = La±±tx (v), y = La±±ty (v), z = La±±tz (v) , â®çª¨ x¡a = ±tx (v), y¡a = ±ty (v), z¡a = ±tz (v) ¯à¨- - ¤«¥¦ â ¯ à ¬¥âà¨ç¥áª¨ § ¤ --®© ¯àאַ©, ¯à®å®¤ï饩 ç¥à¥§ - ç «® ª®®à¤¨- â, á - ¯à ¢«ïî騬 ¢¥ªâ®à®¬ v , â®çª¨ x¡a¡±tx (v) = ±0(v), y¡a¡±tx (v) = ±ty¡tx (v), z ¡ a ¡ ±tx (v) = ±tz¡tx (v) ¯à¨- ¤«¥¦ â ¯ à ¬¥âà¨ç¥áª¨ § ¤ --®© ¯àאַ©, ¯à®å®- ¤ï饩 ç¥à¥§ - ç «® ª®®à¤¨- â, á - ¯à ¢«ïî騬 ¢¥ªâ®à®¬ v. •® á«ãç © â®ç¥ª,

®¤- ¨§ ª®â®àëå | - ç «® ª®®à¤¨- â, à §®¡à - ¢ á«¥¤á⢨¨ 2.3 ¨ § ¬¥ç -¨¨ 2.2 (¢ § ¬¥ç -¨¨ 2.2 -ã¦-® ¯®«®¦¨âì x = 0). ¥

“¯à ¦-¥-¨¥ 2.3. „®ª ¦¨â¥ -¥à ¢¥-á⢮ Œ¨-ª®¢áª®£®

„®ª ¦¨â¥, çâ® ¯à¨ p > 1 ¨ (u1; : : : ; un) 6= (0; : : : ; 0) íâ® -¥à ¢¥-á⢮ áâ -®¢¨âáï à ¢¥-á⢮¬ ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ (v1; : : : ; vn),(x1; : : : ; xn) ¯à®¯®à樮- «ì-ë ¤à㣠¤àã£ã.