Аналитическая геометрия - А.В. Грешнов / Lecture3
.pdf‹…Š–ˆŸ ü3
„ â : 22.09.2012.
• ¯®¬-¨¬ -¥ª®в®ал¥ д ªвл ¨§ ªб¨®¬ в¨ª¨ ¥¢ª«¨¤®¢®© эиª®«м-®©ю £¥®¬¥в- а¨¨. Žб-®¢®© ¥¢ª«¨¤®¢®© £¥®¬¥ва¨¨ п¢«повбп ¯®-пв¨п в®зª¨, ¯аאַ© ¨ ¯«®бª®бв¨.
• à ««¥«ì-ë¥ ¯àï¬ë¥ ¨ ¯«®áª®á⨠-¥ ¯¥à¥á¥ª îâáï. „¢¥ à §«¨ç-ë¥ ¯àï¬ë¥ ¨«¨ -¥ ¯¥à¥á¥ª îâáï, ¨«¨ ¯¥à¥á¥ª îâáï ¢ ¥¤¨-á⢥--®© â®çª¥. • ¯«®áª®á⨠¯ à ««¥«ì- -ë¥ ¯àï¬ë¥ | -¥ ¯¥à¥á¥ª î騥áï ¯àï¬ë¥ (祣® -¥ ᪠¦¥èì ¯à® ¯à®áâà -á⢥--ë¥ -¥ ¯¥à¥á¥ª î騥áï ¯àï¬ë¥). •àï¬ ï ¨«¨ -¥ ¯¥à¥á¥ª ¥âáï á ¯«®áª®áâìî, ¨«¨ ¯¥- à¥á¥ª ¥âáï ¢ ¥¤¨-á⢥--®© â®çª¥, ¨«¨ 楫¨ª®¬ «¥¦¨â ¢ ¯«®áª®áâ¨. —¥à¥§ «î¡ãî
â®çªã, -¥ ¯à¨- ¤«¥¦ éãî ¯àאַ© P , ¬®¦-® ¯à®¢¥á⨠¥¤¨-á⢥--ãî ¯àï¬ãî P1, ¯ à ««¥«ì-ãî P . „«ï «î¡ëå ¤¢ãå à §«¨ç-ëå â®ç¥ª áãé¥áâ¢ã¥â ¥¤¨-á⢥-- ï ¯àï-
¬ ï, ¨å ᮤ¥à¦ é ï. „«ï «î¡ëå âà¥å à §«¨ç-ëå â®ç¥ª áãé¥áâ¢ã¥â ¥¤¨-á⢥-- ï ¯«®áª®áâì, ¨å ᮤ¥à¦ é ï, ¯®í⮬㠤«ï «î¡ëå ¤¢ãå ¯àï¬ëå, ¯¥à¥á¥ª îé¨åáï ¢ ¥¤¨-á⢥--®© â®çª¥, áãé¥áâ¢ã¥â ¥¤¨-á⢥-- ï ¯«®áª®áâì, ¨å ᮤ¥à¦ é ï; â® ¦¥ á¯à ¢¥¤«¨¢® ¨ ¤«ï ¤¢ãå ¯ à ««¥«ì-ëå ¯àï¬ëå.
•à®¥ªæ¨¨ - ¯àï¬ãî ¨ ¯«®áª®áâì. Š®á®ã£®«ì- ï á¨á⥬ ª®®à¤¨- â.
• ¯«®áª®á⨠à áᬮâਬ -¥ª®â®àë¥ ¯¥à¥á¥ª î騥áï ¯àï¬ë¥ p ¨ l. • áᬮâਬ -¥ª®â®àãî â®çªã A, A 2= p. •à®¢¥¤¥¬ ç¥à¥§ â®çªã A ¯àï¬ãî lA, ¯ à ««¥«ì-ãî l. ’®£¤ lA \ p = Ap.
Ž¯à¥¤¥«¥-¨¥ 3.1. ’®çª Ap = lA \ p - §ë¢ ¥âáï ¯à®¥ªæ¨¥© â®çª¨ A - ¯àï¬ãî
p¢¤®«ì ¯àאַ© l.
‚¯à®áâà -бв¢¥ а бᬮва¨¬ -¥ª®в®ал¥ ¯«®бª®бвм ¨ ¯¥а¥б¥ª ойгобп б -¥© ¯ап¬го l. • áᬮâਬ -¥ª®â®àãî â®çªã A, A 2= . •à®¢¥¤¥¬ ç¥à¥§ â®çªã A
¯àï¬ãî lA, ¯ à ««¥«ì-ãî l. ’®£¤ lA \ = A .
Ž¯à¥¤¥«¥-¨¥ 3.2. ’®çª A = l \p - §ë¢ ¥âáï ¯à®¥ªæ¨¥© â®çª¨ A - ¯«®áª®áâ좤®«ì ¯àאַ© l.
‡ ¬¥ç -¨¥ 3.1. …᫨ l?p, l? , â® ¯®«ãç ¥¬ ®à⮣®- «ì-ë¥ (¯àאַ㣮«ì-ë¥) ¯à®¥ªæ¨¨, ¨§¢¥áâ-ë¥ ¨§ ªãàá á।-¥© 誮«ë.
• ¯«®áª®á⨠§ 䨪á¨à㥬 -¥ª®â®àë¥ ¤¢¥ ¯¥à¥á¥ª î騥áï ¯àï¬ë¥ l1, l2. Ž¡®- §- 稬 O = l1 \ l2. •à¥¤¯®«®¦¨¬, çâ® - ¯àï¬ëå l1, l2 § ¤ -ë á¨áâ¥¬ë ª®®à¤¨- - â (á¬. «¥ªæ¨î ü1) â ª¨¥, çâ® â®çª O ï¥âáï - ç «®¬ ª®®à¤¨- â ª ¦¤®© ¨§ -¨å. •à®¨§¢®«ì-®© â®çª¥ B, ¯à¨- ¤«¥¦ 饩 ¯«®áª®áâ¨, ᮯ®áâ ¢¨¬ ¯ àã ç¨á¥« (xB; yB), £¤¥ xB | ª®®à¤¨- ⠯஥ªæ¨¨ Bl2 â®çª¨ B - ¯àï¬ãî l1 ¢¤®«ì ¯àאַ© l2, yB | ª®®à¤¨- ⠯஥ªæ¨¨ Bl1 â®çª¨ B - ¯àï¬ãî l2 ¢¤®«ì ¯àאַ© l1. Žç¥-
¢¨¤-®, çâ® ª ¦¤®© â®çª¥ B ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ¥¤¨-á⢥-- ï ¯ à (xB; yB) ¨ - ®¡®à®â; 1
2
¯à¨ í⮬ A =6 B , (xA; yA) =6 (xB; yB). ’ ª¨¬ ®¡à §®¬ - ¯«®áª®á⨠¬ë ®¯à¥¤¥- «¨«¨ ª®á®ã£®«ì-ãî á¨á⥬㠪®®à¤¨- â. …᫨ l1 ¨¬¥¥â ¯®«®¦¨â¥«ì-®¥ - ¯à ¢«¥-¨¥ á«¥¢ - ¯à ¢®, l2 ¨¬¥¥â ¯®«®¦¨â¥«ì-®¥ - ¯à ¢«¥-¨¥ á-¨§ã ¢¢¥àå, íâ «®--ë¥ (ª®- ®à¤¨- â-ë¥) ¢¥ªâ®àë e1, e2 ¯àï¬ëå l1, l2 (¡ã¤¥¬ - §ë¢ âì ¨å ¡ §¨á-묨) ¨¬¥îâ ¥¤¨-¨ç-ãî ¤«¨-ã, l1?l2, â® â ª ï á¨á⥬ ª®®à¤¨- â, å®à®è® ¨§¢¥áâ- ï ᮠ誮«ë,
- §ë¢ ¥âáï ¯àאַ㣮«ì-®©. €- «®£¨ç-® ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ª®á®ã£®«ì- ï á¨á⥬ ª®®à- ¤¨- â ¢ ¯à®áâà -á⢥. ˆ§ â¥®à¥¬ë •¨ä £®à á«¥¤ã¥â, çâ® ¬¥âà¨ç¥áª ï äã-ªæ¨ï
d2, ª®â®à ï ¨§ãç « áì ¢ «¥ªæ¨¨ ü2, ¤¥©á⢨⥫ì-® ï¥âáï à ááâ®ï-¨¥¬ ¢ á«ãç ¥
¯«®áª®á⨠¨«¨ ¯à®áâà -áâ¢ á ¯àאַ㣮«ì-®© á¨á⥬®© ª®®à¤¨- â. …᫨ á¨á⥬ ª®®à¤¨- â -¥ ¯àאַ㣮«ì- ï, â® ¨§ ®¡é¨å á®®¡à ¦¥-¨© ¯®-ïâ-®, çâ® ¬¥âà¨ç¥áª ï
äã-ªæ¨ï d2 ¤¥ª¢ â-® -¥ ®âà ¦ ¥â £¥®¬¥âà¨î ýª®á®ã£®«ì-®áâ¨þ.
“¯à ¦-¥-¨¥ 3.1. •ãáâì - ¯«®áª®á⨠§ ¤ - ª®á®ã£®«ì- ï á¨á⥬ ª®®à¤¨- â â ª, çâ® l1 ¨¬¥¥â ¯®«®¦¨â¥«ì-®¥ - ¯à ¢«¥-¨¥ á«¥¢ - ¯à ¢®, l2 ¨¬¥¥â ¯®«®-
¦¨â¥«ì-®¥ - ¯à ¢«¥-¨¥ á-¨§ã ¢¢¥àå, ¡ §¨á-ë¥ ¢¥ªâ®àë e1, e2 ¨¬¥îâ ¥¤¨-¨ç-ãî ¤«¨-ã, 㣮« ¬¥¦¤ã ¯àï¬ë¬¨ l1, l2 à ¢¥- '. •à®¢¥à¨âì, çâ® ¬¥âà¨ç¥áª ï äã-ªæ¨ï
p
d'((x; y); (a; b)) = (x ¡ a)2 + (y ¡ b)2 + 2(x ¡ a)(y ¡ b) cos '
ï¥âáï à ááâ®ï-¨¥¬.
‚¥ªâ®àë - ¯«®áª®á⨠¨ ¢ ¯à®áâà -á⢥
Ž¯à¥¤¥«¥-¨¥ 3.1. ‚¥ªâ®à ~
AB | - ¯à ¢«¥--ë© ®â१®ª ¯àאַ©, á - ç «®¬ ¢
â®çª¥ A ¨ ª®-殬 ¢ â®çª¥ B.
ˆ§ ªá¨®¬ ¥¢ª«¨¤®¢®© £¥®¬¥âਨ ¢ë⥪ ¥â, çâ® ¤«ï «î¡®£® ¢¥ªâ®à ~
AB áãé¥-
~
áâ¢ã¥â ¥¤¨-á⢥-- ï ¯àï¬ ï PAB â ª ï, çâ® AB ½ PAB. ‘«¥¤ãî騥 ᢮©á⢠å®à®è® ¨§¢¥áâ-ë ¨§ ªá¨®¬ ¥¢ª«¨¤®¢®© £¥®¬¥âਨ.
‘¢®©á⢮ âà -§¨â¨¢-®á⨠¯ à ««¥«ì-®áâ¨. …᫨ ¯àï¬ ï P1 ¯ à ««¥«ì- ¯àï- ¬®© P2, ¯àï¬ ï P2 ¯ à ««¥«ì- ¯àאַ© P3, â® ¯àï¬ ï P1 ¯ à ««¥«ì- ¯àאַ© P3.
‘¢®©á⢮ à ¢¥-á⢠- ªà¥áâ «¥¦ é¨å 㣫®¢. •ãáâì ¯àï¬ ï AB ¯ à ««¥«ì- ¯àאַ© CD, ¯àï¬ ï EF ¯¥à¥á¥ª ¥â ¯àï¬ë¥ AB, CD, AB \EF = L, EF \CD = M.
’®£¤ \ALE = \DMF , \ALF = \DME.
Ž¯à¥¤¥«¥-¨¥ 3.2. • à ««¥«®£à ¬¬ | ç¥âëà¥å㣮«ì-¨ª, ã ª®â®à®£® ¯à®â¨¢®¯®- «®¦-ë¥ áâ®à®-ë «¥¦ â - ¯®¯ à-® ¯ à ««¥«ì-ëå ¯àï¬ëå.
‡ ¬¥ç -¨¥ 3.2. •ª¢¨¢ «¥-â-®¥ ®¯à¥¤¥«¥-¨î 3.2 ®¯à¥¤¥«¥-¨¥ ¯ à ««¥«®£à ¬¬ â ª®¢®: ¯ à ««¥«®£à ¬¬ | ç¥âëà¥å㣮«ì-¨ª, ã ª®â®à®£® ¯ à ¯à®â¨¢®¯®«®¦-ëå áâ®à®- «¥¦¨â - ¯ à ««¥«ì-ëå ¯àï¬ëå ¨ ª®-£àãí-â- , â. ¥. áâ®à®-ë ᮢ¯ ¤ î⠯ਠ- «®¦¥-¨¨.
3
‘¢®©á⢮ ¯ à ««¥«®£à ¬¬ . •à®â¨¢®¯®«®¦-ë¥ áâ®à®-ë ¯ à ««¥«®£à ¬¬ ª®-- £àãí-â-ë (á«¥¤ã¥â ¨§ ¨§¢¥áâ-ëå ý誮«ì-ëåþ ¯à¨§- ª®¢ ª®-£àãí-â-®á⨠âà¥ã£®«ì- -¨ª®¢).
Ž¯à¥¤¥«¥-¨¥ 3.3.
10 |
~ |
~ |
~ |
AB)e |
|||
|
AB; CD ¯à¨- ¤«¥¦ â ®¤-®© ¨ ⮩ ¦¥ ¯àאַ©, ¨ ( |
~ |
|
|
|
( |
|
20 |
|
CD)e = 1; |
|
~ |
~ |
|
|
|
AB; CD ¯à¨- ¤«¥¦ â à §«¨ç-ë¬ ¯ à ««¥«ì-ë¬ ¯àï¬ë¬, ¨ ¯à¨ í⮬ ç¥- |
||
âëà¥å㣮«ì-¨ª ABCD | ¯ à ««¥«®£à ¬¬.
‡ ¬¥ç -¨¥. ‚ ®¯à¥¤¥«¥-¨¨ 3.3 ¢ ¦-®, çâ® ®¡å®¤ ¯® ¯¥à¨¬¥âàã ç¥âëà¥å㣮«ì-¨ª ABCD ¯à®¨á室¨â ¯® ¯à ¢¨«ã ý- ç «® ¢¥ªâ®à 1{ª®-¥æ ¢¥ªâ®à 1{ª®-¥æ ¢¥ªâ®à 2{
- ç «® ¢¥ªâ®à |
2þ. |
|
|
|
|
‘¢®©á⢮ 3.1 (âà -§¨â¨¢-®áâì à ¢¥-á⢠¢¥ªâ®à®¢). •ãáâì ~ |
= ~ |
||||
|
|
|
|
AB |
CD, |
~ |
= ~ . ’®£¤ |
~ |
= ~ |
|
|
CD |
EF |
AB |
EF . |
|
|
„®ª § ⥫ìá⢮. ˆ§ ᢮©á⢠|
âà -§¨â¨¢-®á⨠¯ à ««¥«ì-®á⨠¢ë⥪ ¥â, çâ® ¯àï- |
||||
¬ë¥, ᮤ¥à¦ 騥 ¢¥ªâ®àë ~ |
, ~ |
|
|||
|
|
|
AB EF , ¯ à ««¥«ì-ë. •à¨ í⮬ ABF E | ¯ à ««¥«®- |
||
£à ¬¬ (®¡å®¤ ¯® ¯¥à¨¬¥âàã ᮣ« ᮢ - á ®¯à¥¤¥«¥-¨¥¬ ¯ à ««¥«®£à ¬¬ ).¥
‚á¥ à ¢-ë¥ ¬¥¦¤ã ᮡ®© ¢¥ªâ®àë ®¡à §ãîâ ª« áá ¢¥ªâ®à®¢, ¯à¥¤áâ ¢¨â¥«ì ª®-
â®à®£® - §ë¢ ¥âáï ᢮¡®¤-ë¬ ¢¥ªâ®à®¬. |
|
|
~ = |
|
. |
|
||||||||||
Ž¯à¥¤¥«¥-¨¥ 3.4. |
|
~ |
= |
|
~ , ~0 = |
~ = |
|
|
|
|||||||
|
|
|
¡AB |
|
BA |
AA |
|
BB |
: : : |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
‘«®¦¥-¨¥ ¢¥ªâ®à®¢ |
|
|
|||||
Ž¯à¥¤¥«¥-¨¥ 3.5. AB~ |
+ CD~ = OB~ 0 |
+ B~0D0 = OD~ 0, £¤¥ AB~ = OB~ 0, CD~ = B~0D0. |
||||||||||||||
‹¥¬¬ |
3.1. •ãáâì |
|
~ |
= |
~ |
|
|
. ’®£¤ |
~ |
= |
~ |
|
|
|
||
|
|
|
AB |
|
CD |
|
AC |
|
|
BD. |
|
|
|
|||
„®ª § ⥫ìá⢮. Žç¥¢¨¤-®, çâ® ACDB | ¯ à ««¥«®£à ¬¬, ®âªã¤ |
¨ ¢ë⥪ ¥â |
|||||||||||||||
«¥¬¬ 3.1.¥ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
“⢥ত¥-¨¥ 3.1. ‘㬬 |
|
¢¥ªâ®à®¢ ~ |
|
, |
~ |
|
|
â®çª¨ O, |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
AB |
CD -¥ § ¢¨á¨â ®â ¢ë¡®à |
|||||
á¬. ®¯à¥¤¥«¥-¨¥ 3:5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
„®ª § ⥫ìá⢮. •ãáâì O1~B1 + B1~D1 = O1~D1, O2~B2 + B2~D2 = O1~D2, £¤¥ O1~B1 = |
||||||||||||||||
~ 2 = ~ , |
~ 1 = |
~ 2 = ~ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
O2B |
AB |
B1D |
|
B2D |
|
|
CD. •¥®¡å®¤¨¬® ¤®ª § âì, çâ® |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
O1~D1 = O2~D2: |
|
|
(3.1) |
||||
ˆ§ âà -§¨â¨¢-®áâ¨ à ¢¥-á⢠|
|
¢¥ªâ®à®¢ ¢ë⥪ ¥â, çâ® O2B2B1O1 | ¯ à ««¥«®- |
||||||||||||||
£à ¬¬, ¯®í⮬㠯® «¥¬¬¥ 3.1 ¬ë ¨¬¥¥¬ O2~O1 = B2~B1, B2D2D1B1 | ¯ à ««¥- «®£à ¬¬, ¯®í⮬㠯® «¥¬¬¥ 3.1 ¬ë ¨¬¥¥¬ B2~B1 = D2~D1. ‘«¥¤®¢ ⥫ì-®, O2~O1 = D2~D1. ’®£¤ ¯® «¥¬¬¥ 3.1 ¯®«ãç ¥¬ (3.1).¥
4
‘«¥¤á⢨¥ 3.1 (¯à ¢¨«® ¯ à ««¥«®£à ¬¬ ). ~ |
+ ~ |
= ~ , £¤¥ |
~ |
AB |
CD |
OE |
OE | - - |
0 0, ¯®áâ஥--®£® ¯® ¢¥ªâ®à ¬ ~ 0, ¯à ¢«¥-- ï ¤¨ £®- «ì ¯ à ««¥«®£à ¬¬ OD EB OB
~ 0, £¤¥ ~ 0 = ~ , ~ 0 = ~ OD OB AB OD CD.
„®ª § ⥫ìá⢮. ‘«¥¤á⢨¥ 3.1 ¢ë⥪ ¥â ¨§ ®¯à¥¤¥«¥-¨ï 3.3 ¨ ã⢥ত¥-¨ï 3.1.¥
‘«¥¤á⢨¥ 3.2 (ª®¬¬ãâ ⨢-®áâì á«®¦¥-¨ï ¢¥ªâ®à®¢). |
|
~ |
+ ~ |
= ~ |
+ ~ |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
AB |
CD |
CD AB. |
|||
„®ª § ⥫ìá⢮. ‘«¥¤á⢨¥ 3.2 ¢ë⥪ ¥â ¨§ á«¥¤á⢨ï 3.1.¥ |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
“⢥ত¥-¨¥ 3.2 ( áá®æ¨ ⨢-®áâì á«®¦¥-¨ï ¢¥ªâ®à®¢). ( ~ |
+ ~ )+ ~ |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
AB |
CD |
EF = |
|
~ + ( ~ + ~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
AB |
|
|
CD |
|
EF ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
„®ª § ⥫ìá⢮. „®ª § ⥫ìá⢮. |
“⢥ত¥-¨¥ 3.2 ¢ë⥪ ¥â ¨§ á«¥¤á⢨ï 3.1 ¨ |
|||||||||||||||||||||||||||
ã⢥ত¥-¨ï 3.1.¥ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
‘«¥¤á⢨¥ 3.3. „«ï «î¡®£® n 2 N ®¯à¥¤¥«¥- |
á㬬 |
=1 Ai~Bi, §- ç¥-¨¥ ª®â®à®© |
||||||||||||||||||||||||||
-¥ § ¢¨á¨â ®â à ááâ -®¢ª¨ ¢ -¥© ᪮¡®ª. |
|
|
|
|
|
iP |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
„®ª § ⥫ìá⢮. ‘«¥¤á⢨¥ 3.3 ¢ë⥪ ¥â ¨§ ã⢥ত¥-¨ï 3.2.¥ |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
“¬-®¦¥-¨¥ ¢¥ªâ®à |
- ç¨á«® |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
• áᬮâਬ ¢¥ªâ®à ~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
AB, ¯à¨- ¤«¥¦ 騩 -¥ª®â®à®© ¯àאַ© P . • ¯®¬-¨¬, á¬. «¥ª- |
|||||||||||||||||||||
æ¨î ü1, çâ® ¤«ï «î¡®£® ç¨á« |
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
¸ 2 R ¢¥ªâ®à ¸AB ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ª ª â ª®© ¢¥ªâ®à |
||||||||||||||||||||||||||||
~ |
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
CD)e |
¸. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
CD, çâ® ( |
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
AB)e = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
‹¥¬¬ |
3.2. •ãáâì ~ |
|
~ |
|
|
, çâ® |
|
~ |
= ~ |
|
|
|
|
|
|
|
~ |
~ |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
AB; CD ½ P |
|
|
AB |
CD, ¸; ¹ 2 R. ’®£¤ |
: 10 ¸AB = ¸CD, |
||||||||||||||||
|
|
|
) |
|
~ |
|
~ |
|
|
~ |
|
|
|
~ |
|
|
|
|
) |
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
20 (¸ + ¹ AB = ¸AB + ¹AB, |
30 ¸(¹AB) = (¸¹ AB. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
„®ª § ⥫ìá⢮. 10 •®ª ¦¥¬, çâ® (¸AB)e = (¸CD)e. ˆ§ ®¯à¥¤¥«¥-¨ï ¬ë ¨¬¥¥¬ |
||||||||||||||||||||||||||||
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(¸AB)e |
¸, ¯®í⮬ã |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
( ~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
AB)e |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
( |
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(¸AB)e |
= ¸ AB)e; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
( ~ |
|
|
Œë ¨¬¥¥¬ |
~ |
= |
~ |
|
( ~ |
|
~ |
|
|||||||
á«¥¤®¢ ⥫ì-® (¸CD)e |
= ¸ CD)e. |
AB |
|
CD , |
AB)e |
= (CD)e , |
||||||||||||||||||||||
( ~ |
|
|
|
( |
~ |
|
|
|
¯ã-ªâ 10 ¢ë⥪ ¥â ¨§ (3.2). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
¸ AB)e = ¸ CD)e, ⮣¤ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
2 |
0 |
ˆ§ (3.2) ¬ë ¨¬¥¥¬ |
|
|
) |
~ |
|
|
|
|
|
)( |
~ |
|
~ |
|
|
~ |
|
|
||||||||
|
|
(¸+¹ AB e = (¸+¹ |
AB)e |
= (¸AB)e +(¹AB)e. ‘ ¤à㣮© |
||||||||||||||||||||||||
áâ®à®-ë, ¯® ®¯à¥¤¥«¥- |
¨î 1.2 ¬ë ¨¬¥¥¬ ( |
|
~ |
+ |
~ |
|
= ( ~ |
|
+ ( |
|
~ |
|
||||||||||||||||
|
¡ |
|
|
|
|
¢ |
|
|
¸AB |
|
¹AB)e |
¸AB)e |
|
¹AB)e, ®âªã¤ |
||||||||||||||
¨ á«¥¤ã¥â ¯ã-ªâ 20. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
30 ¤®ª §ë¢ ¥âáï - «®£¨ç-® ¯ã-ªâ ¬ 10, 20.¥ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Ž¯à¥¤¥«¥-¨¥ 3.6. ‚¥ªâ®àë |
~ |
|
, |
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ à ««¥«ì-ëå |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
AB |
CD ª®««¨-¥ à-ë, ¥á«¨ «¥¦ â - |
||||||||||||||||
¯àï¬ëå.
„ «¥¥ ¬ë ¯®« £ ¥¬, çâ® - ¯ à ««¥«ì-ëå ¯àï¬ëå ¯®-ï⨥ à ¢¥-á⢠¢¥ªâ®- ஢ ᮣ« ᮢ -® á ¨å «£¥¡à ¨ç¥áª¨¬¨ §- ç¥-¨ï¬¨, â. ¥. ª®««¨-¥ à-ë¥ ¢¥ªâ®àë
5
~ ~ |
|
|
AB; CD, «¥¦ 騥 - à §«¨ç-ëå ¯ à ««¥«ì-ëå ¯àï¬ëå PAB, PCD á íâ «®--묨 |
||
¢¥ªâ®à ¬¨ ~eAB, ~eCD ᮮ⢥âá⢥--®, à ¢-ë ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ |
|
|
( ~ |
~ |
|
AB)~eAB = (CD)~eCD |
(3.3) |
|
“⢥ত¥-¨¥ 3.3. •ãáâì |
|
~ |
= ~ |
|
~ |
~ |
~ |
|
~ |
) ~ |
AB |
CD, ¸; ¹ 2 R. ’®£¤ : 10 ¸AB = ¸CD, 20 ¸AB + |
|||||
¹CD = (¸ + ¹ AB. |
|
|
|
|
|
|
|
|
„®ª § ⥫ìá⢮. “⢥ত¥-¨¥ 3.3 ¢ë⥪ ¥â ¨§ «¥¬¬ë 3.2 ¨ (3.3). ¥ |
|
|
||||||
|
( ~ + |
~ |
~ |
~ |
|
|
|
|
“⢥ত¥-¨¥ 3.4. ¸ AB |
|
CD) = ¸AB + ¸CD. |
|
|
|
|||
„®ª § ⥫ìá⢮. •ãáâì ¤«ï ®¯à¥¤¥«¥--®á⨠1 > ¸ > 0. „«ï -¥ª®â®à®© â®çª¨ O |
||||||||
®¡®§- 稬 OA~ 0 = AB~ , OB~ 0 = CD~ , OD~ = OA~ 0 + OB~ 0 = OA~ 0 |
+ A~0D = OD~ . • áᬮâ- |
|||||||
ਬ ¢¥ªâ®à OD~ 0 = ¸OD~ . ˆá¯®«ì§ãï ª ªãî--¨¡ã¤ì á¨á⥬㠪®®à¤¨- â, á¢ï§ --ãî |
||||||||
á ®áìî, ᮤ¥à¦ 饩 ¢¥ªâ®à |
|
~ |
|
|
®â१ª , ᮥ¤¨-ïî饣® |
|||
|
|
OD, ¬ë ¯®«ãç ¥¬, çâ® ¤«¨- |
||||||
â®çª¨ O; D0 |
¢ ¸ à § ¬¥-ìè¥ ¤«¨-ë ®â१ª , ᮥ¤¨-ïî饣® â®çª¨ O; D. • áᬮâ- |
|||||||
ਬ ¢¥ªâ®à OA~ 00 = ¸OA~ 0. ˆá¯®«ì§ãï ª ªãî--¨¡ã¤ì á¨á⥬㠪®®à¤¨- â, á¢ï§ --ãî |
||||||||
á ®áìî, ᮤ¥à¦ 饩 ¢¥ªâ®à OA~ 0, ¬ë ¯®«ãç ¥¬, çâ® ¤«¨- |
®â१ª , ᮥ¤¨-ïîé¥- |
|||||||
£® â®çª¨ O; A00 ¢ ¸ à § ¬¥-ìè¥ ¤«¨-ë ®â१ª , ᮥ¤¨-ïî饣® â®çª¨ O; A0. |
’®- |
|||||||
£¤ , ¨á¯®«ì§ãï ¨§¢¥áâ-ë© á® èª®«ë ¯à¨§- ª ¯®¤®¡¨ï âà¥ã£®«ì-¨ª®¢, ¯®«ãç ¥¬,
çâ® ¯àï¬ë¥, ª®â®àë¬ ¯à¨- ¤«¥¦ â ¯ àë â®ç¥ª A00; D0 |
¨ A0; D ᮮ⢥âá⢥--®, ¯ - |
|
à ««¥«ì-ë, ¤«¨- ®â१ª , ᮥ¤¨-ïî饣® â®çª¨ A00 |
; D0, ¢ ¸ à § ¬¥-ìè¥ ¤«¨-ë |
|
®â१ª , ᮥ¤¨-ïî饣® â®çª¨ A0; D. Žç¥¢¨¤-®, çâ® ¢¥ªâ®àë A~0D, A00~D0 á®- ¯à ¢«¥- |
||
-ë. ‘«¥¤®¢ ⥫ì-®, A00~D0 |
= ¸A~0D. ’®£¤ ã⢥ত¥-¨¥ 3.4 ¢ë⥪ ¥â ¨§ ⮦¤¥á⢠|
|
OA~ 00 + A00~D0 = OD~ 0. ¥ |
|
|
Ž¯à¥¤¥«¥-¨¥ 3.7. ‘㬬 |
¸1u~1 + ¢ ¢ ¢ + ¸nu~n, ¸1; : : : ; ¸n 2 R, - §ë¢ ¥âáï «¨-¥©-®© |
|
ª®¬¡¨- 樥© ¢¥ªâ®à®¢ u~1; : : : ; u~n. Œ-®¦¥á⢮ ¢á¥¢®§¬®¦-ëå «¨-¥©-ëå ª®¬¡¨- 権 ¢¥ªâ®à®¢ u~1; : : : ; u~n - §ë¢ ¥âáï ¨å «¨-¥©-®© ®¡®«®çª®©.
Ž¯à¥¤¥«¥-¨¥ 3.8. Œ-®¦¥á⢮ V , - ª®â®à®¬ § ¤ -ë ®â®¡à ¦¥-¨ï (®¯¥à 樨) ý+þ:V £ V ! V (á«®¦¥-¨¥), ý¢þ:R £ V ! V (ã¬-®¦¥-¨¥), - §ë¢ ¥âáï ¢¥ªâ®à-ë¬ («¨-¥©-ë¬) ¯à®áâà -á⢮¬ - ¤ R, ¥б«¨ ¢л¯®«-повбп б«¥¤гой¨¥ ªб¨®¬л
10 8x; y 2 V x + y = y + x,
20 8x; y; z 2 V (x + y) + z = x + (y + z),
30 90 2 V : x + 0 = 0 + x = x 8x 2 V , 40 8x 2 V 9 ¡ x 2 V : ¡x + x = 0,
50 8® 2 R 8x; y 2 V ®(x + y) = ®x + ®y, 60 8®; ¯ 2 R 8x 2 V : (® + ¯)x = ®x + ¯x, 70 8®; ¯ 2 R 8x 2 V : ®(¯x) = (®¯)x,
6
80 8x 2 V : 1 ¢ x = x.
“¯à ¦-¥-¨¥ 3.2. „®ª ¦¨â¥, çâ® -ã«¥¢®© í«¥¬¥-â ¨§ ªá¨®¬ë 30 ¥¤¨-á⢥-, í«¥¬¥-â ¡x ¨§ ªá¨®¬ë 40 ¥¤¨-á⢥-; ¤«ï «î¡ëå a; b 2 V ãà ¢-¥-¨¥ a + x = b
¨¬¥¥â ¥¤¨-á⢥--®¥ à¥è¥-¨¥.
•à¨¬¥à 3.1. •à®áâà -á⢮ Rn = R £ ¢ ¢ ¢ £ R á ¯®ª®¬¯®-¥-â-묨 á«®¦¥-¨¥¬
(x1; : : : ; xn) + (y1; : : : ; yn) = (x1 + y1; : : : ; xn + yn)
¨ ã¬-®¦¥-¨¥¬ - ç¨á«® ¸(x1; : : : ; xn) = (¸x1; : : : ; ¸xn) ï¥âáï ¢¥ªâ®à-ë¬ ¯à®- áâà -á⢮¬.
Ž¯à¥¤¥«¥-¨¥ 3.8. ‘â -¤ àâ-®¥ n-¬¥à-®¥ ¥¢ª«¨¤®¢® ¯à®áâà -á⢮ Rn = R £ ¢ ¢ ¢ £ R | ¢¥ªâ®à-®¥ ¯à®áâà -á⢮ á ¯®ª®¬¯®-¥-â-묨 á«®¦¥-¨¥¬ ¨ ã¬-®¦¥-¨¥¬ - ç¨á«® ᢮¨å í«¥¬¥-⮢ ¨ à ááâ®ï-¨¥¬
p
d2(x; y) = (x1 ¡ y1)2 + ¢ ¢ ¢ + (xn ¡ yn)2; x = (x1; : : : ; xn); y = (y1; : : : ; yn):