Аналитическая геометрия - А.В. Грешнов / Lecture16
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„ â : 22.12.2012
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‘â -¤ àâ- ï á¨á⥬ ª®®à¤¨- â ¢ ¥¢ª«¨¤®¢®¬ ¯à®áâà -á⢥ R3 ®¡ëç-® ®¡®§- - ç ¥âáï (x; y; z). • §¨á-ë¥ ¢¥ªâ®àë: e1 = (1; 0; 0), e2 = (0; 1; 0), e3 = (0; 0; 1). ‘ª - «ïà-®¥ ¯à®¨§¢¥¤¥-¨¥ ¤¢ãå ¢¥ªâ®à®¢ u; v á ª®®à¤¨- â ¬¨ (u1; u2; u3), (v1; v2; v3) ®¯à¥-
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hu; vi = u1v1 + u2v2 + u3v3:
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Ž¡ê¥¬ ¯ à ««¥«¥¯¨¯¥¤ | ¯à®¨§¢¥¤¥-¨¥ ¯«®é ¤¨ ®á-®¢ -¨ï - ¢ëá®âã, ¯à¨ç¥¬ íâ ¢¥«¨ç¨- -¥ § ¢¨á¨â ®â ¢ë¡®à ®á-®¢ -¨ï ¨ ᮮ⢥âá⢥--®© ¢ëá®âë (¢ ¯ à «- «¥«®£à ¬¬¥ 6 £à -¥© | ®á-®¢ -¨©, - ª ¦¤®¥ ¨§ ª®â®àëå ¬®¦-® ®¯ãáâ¨âì ᢮î
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V (a; b; c) = jS(a; b)jjhcj = jS(b; c)jjhaj = V (b; c; a) = jS(c; a)jjhbj = V (c; a; b); |
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£¤¥ jS(a; b)j | ¯«®é ¤ì ®á-®¢ -¨ï, - âï-ã⮣® - |
¢¥ªâ®àë a; b, jS(b; c)j | ¯«®é ¤ì |
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®á-®¢ -¨ï, - âï-ã⮣® - |
¢¥ªâ®àë b; c, jS(c; a)j |
| ¯«®é ¤ì ®á-®¢ -¨ï, - âï-ãâ®- |
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£® - ¢¥ªâ®àë c; a, jhaj |
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¢ëá®âë, ®¯ãé¥--®© ¨§ â®çª¨ A - |
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®¡à §®¢ --®¥ ¢¥ªâ®à ¬¨ b; c (®à⮣®- «ì- ï ¯à®¥ªæ¨ï ¢¥ªâ®à a - - ¯à ¢«¥-¨¥, |
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¯¥à¯¥-¤¨ªã«ïà-®¥ ®á-®¢ -¨î, ®¡à §®¢ --®¬ã ¢¥ªâ®à ¬¨ b; c), jhbj | ¤«¨- ¢ëá®âë, ®¯ãé¥--®© ¨§ â®çª¨ B - ®á-®¢ -¨¥, ®¡à §®¢ --®¥ ¢¥ªâ®à ¬¨ c; a (®à⮣®- «ì- ï
¯à®¥ªæ¨ï ¢¥ªâ®à b - |
- ¯à ¢«¥-¨¥, ¯¥à¯¥-¤¨ªã«ïà-®¥ ®á-®¢ -¨î, ®¡à §®¢ --®- |
¬ã ¢¥ªâ®à ¬¨ c; a), jhcj |
| ¤«¨- ¢ëá®âë, ®¯ãé¥--®© ¨§ â®çª¨ C - ®á-®¢ -¨¥, |
®¡à §®¢ --®¥ ¢¥ªâ®à ¬¨ a; b (®à⮣®- «ì- ï ¯à®¥ªæ¨ï ¢¥ªâ®à c - - ¯à ¢«¥-¨¥, 1
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¯¥à¯¥-¤¨ªã«ïà-®¥ ®á-®¢ -¨î, ®¡à §®¢ --®¬ã ¢¥ªâ®à ¬¨ a; b). …᫨ ¦¥ âனª ¢¥ª-
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V (a; b; c) = ¡V (b; a; c) = ¡V (a; c; b) = ¡V (c; b; a): |
|||||||
’.¥. ®à¨¥-â¨à®¢ --ë© ®¡ê¥¬ ª®á®á¨¬¬¥âà¨ç¥-. |
|
|
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|
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®âà¨æ ⥫ì-® ®à¨¥-â¨à®¢ -: |
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= hc1 |
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(¯à®¥ªæ¨ï á㬬ë à ¢- á㬬¥ ¯à®¥ªæ¨©), |
|||||||||
¯®í⮬ã V (a; b; c1 + c2) ¬®¦-® à áᬠâਢ âì ª ª á㬬㠤¢ãå ®à¨¥-â¨à®¢ --ëå ®¡ê¥¬®¢ V (a; b; c1) + V (a; b; c2). ’.¥. V (a; b; c1 + c2) = V (a; b; c1) + V (a; b; c2). ’¥¯¥àì à áᬮâਬ ¢¥«¨ç¨-ã V (a; b; tc), t 2 R. ˆá¯®«ì§ãï ⥠¦¥ à£ã¬¥-âë, çâ® ¨ ¯à¨ à áᬮâà¥-¨¨ ®à¨¥-â¨à®¢ --®© ¯«®é ¤¨ ¢ R2, á¬. «¥ªæ¨î ü14, ¬ë ¯®«ãç ¥¬, çâ® V (a; b; tc) = tV (a; b; c). Žâªã¤ á«¥¤ã¥â, çâ® ®à¨¥-â¨à®¢ --ë© ®¡ê¥¬ «¨-¥¥- ¯® âà¥â쥬ã à£ã¬¥-âã. € ¯®áª®«ìªã ®à¨¥-â¨à®¢ --ë© ®¡ê¥¬ ª®á®á¨¬¬¥âà¨ç-, â®
V (a; b; c1 + c2) = ¡V (a; c1 + c2; b) = ¡V (a; c1; b) ¡ V (a; c2; b)
) V (a; c1 + c2; b) = V (a; c1; b) + V (a; c2; b);
V (a; b; tc) = ¡V (a; tc; b) = ¡tV (a; tc; b) ) V (a; tc; b) = tV (a; c; b);
®âªã¤ ¢ë⥪ ¥â, çâ® ®à¨¥-â¨à®¢ --ë© ®¡ê¥¬ «¨-¥¥- ¨ ¯® ¢â®à®¬ã à£ã¬¥-âã. ˆ ¯® ⥬ ¦¥ ¯à¨ç¨- ¬ | «¨-¥¥- ¨ ¯® ¯¥à¢®¬ã à£ã¬¥-âã.
Œë ¯®« £ ¥¬, çâ® V (e1; e2; e3) = 1 (®¡ê¥¬ ¥¤¨-¨ç-®£® ªã¡ ). ’®£¤ , ¨á¯®«ì§ãï,
ã⢥ত¥-¨¥ 14.1 ¨§ «¥ªæ¨¨ ü14, ¬ë ¯®«ãç ¥¬, çâ® |
1 |
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(16.1) |
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V (a; b; c) = det |
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£¤¥ a = (a1; a2; a3), b = (b1; b2; b3), c = (c1; c2; c3). ˆá¯®«ì§ãï ä®à¬ã«ã (16.1), ¬ë ¯®-
«ãç ¥¬ ä®à¬ã«ã ¤«ï ¢ëç¨á«¥-¨ï ®¡ê¥¬ ¯ à ««¥«®£à ¬¬ (¡¥§®â-®á¨â¥«ì-® ⮣®, ª ª ®à¨¥-â¨à®¢ - ¡ §¨á fa; b; ág):
jV (a; b; c)j |
0 b1 |
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hhb; cii 1: (16.2) |
a; b |
a; c |
hc; bi |
hc; ci A |
3
Ž¯à¥¤¥«¥-¨¥ 16.1 (ᬥè --®¥ ¯à®¨§¢¥¤¥-¨¥ ¢ áâ -¤ àâ-®¬ ¥¢ª«¨¤®¢®¬ ®à¨¥-â¨à®¢ --®¬ ¯à®áâà -á⢥ R3). ‘¬¥è --®¥ ¯à®¨§¢¥¤¥-¨¥ (a; b; c) ¢¥ªâ®-
஢ ¢ áâ -¤ àâ-®¬ ¥¢ª«¨¤®¢®¬ ®à¨¥-â¨à®¢ --®¬ ¯à®áâà -á⢥ R3 ®¯à¥¤¥«ï- ¥âáï ª ª (a; b; c) = V (a; b; c), ¥á«¨ a; b; c «¨-¥©-® -¥§ ¢¨á¨¬ë, ¨ (a; b; c) = 0, ¥á«¨
«¨-¥©-® § ¢¨á¨¬ë.
‡ ¬¥ç -¨¥ 16.1. ‚ «¥ªæ¨¨ ü13 ¬ë ¢¢®¤¨«¨ ᬥè --®¥ ¯à®¨§¢¥¤¥-¨¥ ä®à¬ «ì- -ë¬ ®¡à §®¬. •®-ïâ-®, çâ® ¢á¥ ᢮©á⢠ä®à¬ «ì-®£® ᬥè --®£® ¯à®¨§¢¥¤¥-¨ï, ãáâ -®¢«¥--ë¥ - ¬¨ ¢ «¥ªæ¨¨ ü13, ¨¬¥îâ ¬¥áâ® ¨ ¢ à áᬠâਢ ¥¬®© ¢ ⥪ã饩 «¥ªæ¨¨ á¨âã 樨. •¥ä®à¬ «ì-ë© á¬ë᫠ᬥè --®£® ¯à®¨§¢¥¤¥-¨ï | ¯®â®ª ¦¨¤-
ª®á⨠¢ - ¯à ¢«¥-¨¨ c ç¥à¥§ ¯«®é ¤ªã, - âï-ãâãî - ¢¥ªâ®àë a, b.
•«®é ¤ì ¯ à ««¥«®£à ¬¬
¢ áâ -¤ àâ-®¬ ¥¢ª«¨¤®¢®¬ ®à¨¥-â¨à®¢ --®¬ ¯à®áâà -á⢥ R3
• áᬮâਬ ¯ à ««¥«¥¯¨¯¥¤ P , ®á-®¢ -¨¥ ª®â®à®£® - âï-ãâ® - ¢¥ªâ®àë a; b, a = (a1; a2; a3), b = (b1; b2; b3), âà¥â¨© ¢¥ªâ®à h ®à⮣®- «¥- ¯«®áª®áâ¨, - âï-ã⮩ - ¢¥ªâ®àë a; b, â.¥. ha; hi = hb; hi = 0, ¨ ¯à¨ í⮬ jhj = 1. •ãáâì âனª a; b; h
㣮« ¬¥¦¤ã ¢¥ªâ®à ¬¨ a; b ¢ ¯«®áª®á⨠a;b, - âï-ã⮩ - ¢¥ªâ®àë
-¥ ¯à¥¢®á室¨â ¼, çâ® ¢«¥ç¥â sin(\ab) > 0 ¢ ¯®«ïà-ëå ª®®à¤¨- â å ¯«®áª®á⨠a;b.
• ©¤¥¬ ®¡ê¥¬ P . •® ä®à¬ã«¥ (16.2) ¬ë ¨¬¥¥¬
Ž¡ê¥¬ P = v |
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|
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+ det |
µ b3 |
|
|
¶ |
|
= ¯«®é ¤ì ®á-®¢ -¨ï ¢ jhj |
||||||||||||||||||||||||||||
|
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(16.3) |
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£¤¥ hb = jbj sin(\ab) | ¢ëá®â |
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¢¥ªâ®àë ¢¥ªâ®àë a; b, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a = (a1; a2; a3), b = (b1; b2; b3), à ¢- |
|
|
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µ b2 |
b3 |
¶ |
|
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+ det |
µ b3 |
b1 |
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(16.4) |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
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¶ |
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+ det |
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|
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+ det µ b2 |
|
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¶ |
2 |
+ det µ b3 |
b1 |
¶ |
2 |
|
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|
|
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|
|
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a1 a2 |
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a2 a3 |
|
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a3 a1 |
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sin2( |
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ab) = |
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(16.6) |
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a; a b; b |
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Ž¯à¥¤¥«¥-¨¥ 16.2 (¢¥ªâ®à-®¥ ¯à®¨§¢¥¤¥-¨¥ ¢ áâ -¤ àâ-®¬ ¥¢ª«¨¤®¢®¬ ®à¨¥-â¨à®¢ --®¬ ¯à®áâà -á⢥ R3). ‚¥ªâ®à-ë¬ ¯à®¨§¢¥¤¥-¨¥¬ ¢ áâ -¤ àâ-®¬
¥¢ª«¨¤®¢®¬ ®à¨¥-â¨à®¢ --®¬ ¯à®áâà -á⢥ R3 - §ë¢ ¥âáï ®¯¥à æ¨ï
[ ; ] : R3 £ R3 ! R3;
ᮯ®áâ ¢«ïîé ï ¤¢ã¬ ¢¥ªâ®à ¬ a; b âà¥â¨© ¢¥ªâ®à c = [a; b] (¯¨èãâ â ª¦¥ c = a-b),
®¡« ¤ î騩 á«¥¤ãî騬¨ ᢮©á⢠¬¨
10 hc; ai = hc; bi = 0,
20 |
jcj = ¯«®é ¤ì ¯ à ««¥«®£à ¬¬ , - âï-ã⮣® - ¢¥ªâ®àë a; b, |
30 |
a; b; c | ¯à ¢ ï âனª . |
“¯à ¦-¥-¨¥ 16.1. ‚¥ªâ®à c ¨§ ®¯à¥¤¥«¥-¨ï 16.2 | ¥¤¨-á⢥--ë©. •®ç¥¬ã?
‡ ¬¥ç -¨¥ 16.2 (¢ëà ¦¥-¨¥ ¢¥ªâ®à-®£® ¯à®¨§¢¥¤¥-¨ï ç¥à¥§ ª®®à¤¨- âë ᮬ-®¦¨â¥«¥©). Žâ¬¥â¨¬, çâ® ¨§ ®¯à¥¤¥«¥-¨ï 16.2 áà §ã ¦¥ ¢ë⥪ îâ ¢¥ªâ®à- -ë¥ ¯à®¨§¢¥¤¥-¨ï ¡ §¨á-ëå ¢¥ªâ®à®¢
e1 - e1 = 0; e1 - e2 = e3; e1 - e3 = ¡e2; e2 - e1 = ¡e3; e2 - e2 = 0; e2 - e3 = e1; e3 - e1 = e2; e3 - e2 = ¡e1; e3 - e3 = 0:
ˆ§ (13.6), ᢮©á⢠13.1, 13.2 (á¬. «¥ªæ¨î ü13) ¨ (16.4), á«¥¤ã¥â ¢ëà ¦¥-¨¥ ¢¥ªâ®à-
-®£® ¯à®¨§¢¥¤¥-¨ï ç¥à¥§ ª®®à¤¨- âë ᮬ-®¦¨â¥«¥© |
µ b1 b2 |
¶e3: |
||||
c = det |
µ b2 b3 |
¶e1 + det |
µ b3 b1 |
¶e2 + det |
||
|
a2 a3 |
|
a3 a1 |
|
a1 a2 |
|
‡ ¬¥ç -¨¥ 16.3. ‚ «¥ªæ¨¨ ü13 ¬ë ¢¢®¤¨«¨ ¢¥ªâ®à-®¥ ¯à®¨§¢¥¤¥-¨¥ ä®à¬ «ì- -ë¬ ®¡à §®¬; ãç¨âë¢ ï § ¬¥ç -¨¥ 16.2, ¯®-ïâ-®, ç⮠⥠᢮©á⢠, ª®â®àë¥ ¡ë«¨ - ¬¨ ¤®ª § -ë â ¬ ¤«ï ä®à¬ «ì-®£® ¢¥ªâ®à-®£® ¯à®¨§¢¥¤¥-¨ï, ¨¬¥îâ ¬¥áâ® ¨ ¢ à áᬠâਢ ¥¬®¬ á«ãç ¥, ¬ë ¯à¥¤« £ ¥¬ ¯à®¢¥à¨âì ¨å §¤¥áì ¥é¥ à §.
‡ ¬¥ç -¨¥ 16.4 (ä®à¬ã«ì- ï á¢ï§ì ¢¥ªâ®à-®£® ¨ ᬥè --®£® ¯à®¨§¢¥¤¥-
-¨©). Œë ¨¬¥¥¬ |
|
|
|
|
0 b1 |
|
b2 |
b3 |
1 |
|
|
|
|
(a; b; c) = V (a; b; c) = V (a; b; c) = det |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
a1 |
|
a2 |
a3 |
A |
|
|
|
|
= a1 det |
µc2 |
c3 |
¶ |
|
@ c1 |
|
c2 |
c3 |
µc1 |
c2 |
¶ |
= ha; b - ci; |
|
+ a2 det µc3 |
c1 |
¶ + a3 det |
|||||||||||
|
b2 |
b3 |
|
|
|
b3 |
b1 |
|
|
b1 |
b2 |
|
|
5
áà. á ®¯à¥¤¥«¥-¨¥¬ 13.5 «¥ªæ¨¨ ü13.
‘«¥¤á⢨¥ 16.1. • ááâ®ï-¨¥ ®â â®çª¨ x~ ¤® ¯àאַ© x(s) = x0 + as, £¤¥ x~, x0 â®çª¨ ¨§ R3, a | - ¯à ¢«ïî騩 ¢¥ªâ®à ¯àאַ©, ¢ áâ -¤ àâ-®¬ ¥¢ª«¨¤®¢®¬ ®à¨- ¥-â¨à®¢ --®¬ ¯à®áâà -á⢥ R3 à ¢-®
ja - (~x ¡ x0)j jaj
(¯«®é ¤ì ¯ à ««¥«®£à ¬¬ , - âï-ã⮣® - ¢¥ªâ®àë a, x ¡ x0, ¤¥«¥-- ï - ¤«¨-ã ®á-®¢ -¨ï).
‘«¥¤á⢨¥ 16.2. • ááâ®ï-¨¥ ¬¥¦¤ã ¤¢ã¬ï áªà¥é¨¢ î騬¨áï ¯àï¬ë¬¨ x(s) = x~+as, x(t) = x0 +bt, £¤¥ x~, x0 â®çª¨ ¨§ R3, a; b | - ¯à ¢«ïî騥 ¢¥ªâ®àë ¯àï¬ëå, ¢ áâ -¤ àâ-®¬ ¥¢ª«¨¤®¢®¬ ®à¨¥-â¨à®¢ --®¬ ¯à®áâà -á⢥ R3 à ¢-®
j(a; b; x~ ¡ x0)j ja - bj
(®¡ê¥¬ ¯ à ««¥«¥¯¨¯¥¤ , - âï-ã⮣® - ¢¥ªâ®àë a, b, x¡x0, ¤¥«¥--ë© - ¯«®é ¤ì ®á-®¢ -¨ï).
ңǑ
‚ áâ -¤ àâ-®¬ ¥¢ª«¨¤®¢®¬ ®à¨¥-â¨à®¢ --®¬ ¯à®áâà -á⢥ R3 à áᬮâਬ ¤¢
¢¥ªâ®à |
a; b, ¯à¨«®¦¥--ë¥ ª ®¡é¥© â®çª¥ O. •® ⥮६¥ 6.2 ® ¯ à ««¥«ì-®¬ ¯à®- |
||||||||||||||||||||
¥ªâ¨à®¢ -¨¨ ¨§ «¥ªæ¨¨ ü6 ¬®¦-® § ¯¨á âì b = a1 + a?, £¤¥ a1 = ta, t |
2 R |
, | |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||
®à⮣®- «ì- ï ¯à®¥ªæ¨ï ¢¥ªâ®à |
b - |
®áì á - ¯à ¢«ïî騬 ¢¥ªâ®à®¬ a. ’®£¤ |
|
||||||||||||||||||
h |
a; b |
i |
= |
h |
a; a1 + a? |
= t a; a = t a 2 = |
tjaj |
a b |
j |
= t~a b |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
jbj |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
1 i |
h i |
j j |
|
j jj |
j jj j |
|
|
= hjajjbij = |
-jaj; jbj®: |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) t~= tjjbjj |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
a; b |
|
a |
|
b |
|
•®-ïâ-®, çâ® ¥á«¨ ªà âç ©è¨© ¯®¢®à®â ¢¥ªâ®à a, ᮢ¬¥é î騩 ¥£® á ¢¥ªâ®à®¬ b, ¯à®¨á室¨â ¢ ¯à¥¤¥« å (¡¼=2; ¼=2) ¡¯®¢®à®â - ¯®«®¦¨â¥«ì-ë© ¨«¨ ®âà¨æ ⥫ì-ë©
㣮« | íâ® ¯®¢®à®â ¢®ªà㢣 â®çª¨ O ¯à®â¨¢ ¨«¨ ¯® ç ᮢ®© áâ५ª¥ ¢ ¯«®áª®áâ¨, - âï-ã⮩ - ¢¥ªâ®àë a; b , â® t~ > 0, ¥á«¨ ¢ ¯à¥¤¥« å (¡¼; ¡¼=2) [ (¼=2; ¼] | â®
t~< 0. ˆáå®¤ï ¨§ ®¯à¥¤¥«¥-¨ï äã-ªæ¨¨ cos, ¯®«ãç ¥¬
cos(\ab) = hjaa;jjbbij ;
áà. á (16.6).
6
10 “£®« ¬¥¦¤ã ¯«®áª®áâﬨ. •ãáâì ¤ -ë ¤¢¥ ¯¥à¥á¥ª î騥áï ¯«®áª®á⨠¢ áâ -- ¤ àâ-®¬ ¥¢ª«¨¤®¢®¬ ®à¨¥-â¨à®¢ --®¬ ¯à®áâà -á⢥ R3: Ax + By + Cz + D = 0,
e + e + e + e
Ax By Cz D = 0. ‡ 㣮« ¬¥¦¤ã í⨬¨ ¯«®áª®áâﬨ ¯à¨-¨¬ ¥âáï 㣮« '
¬¥¦¤ã «î¡ë¬¨ ¯¥à¯¥-¤¨ªã«ïà-묨 ª -¨¬ ¢¥ªâ®à ¬¨ (çâ®, ª®-¥ç-®, ¤ ¥â 2 ã£- « | ®áâàë©, ¨ ¤®¯®«-ïî騩 ¥£® ¤® ¼ â㯮©). Š®á¨-ãáë 㣫®¢ ' ¬¥¦¤ã í⨬¨
¯«®áª®áâﬨ ¬®£ãâ ¡ëâì ®¯à¥¤¥«¥-ë ¨§ ä®à¬ã«ë
cos ' = §pA2 + B2e+ C2 |
e A2 +eB2 + C2 |
: |
|||
|
|
AA + BB + CC |
|
||
|
|
|
p |
e e e |
|
„¥©á⢨⥫ì-®, ¨§ í«¥¬¥-â à-ëå £¥®¬¥âà¨ç¥áª¨å á®®¡à ¦¥-¨© ïá-®, ç⮠㣮« ¬¥¦- ¤ã í⨬¨ ¯«®áª®áâﬨ | í⮠㣮« ¬¥¦¤ã ¯àï¬ë¬¨ l, ~l, ª®â®àë¥ ¯®«ãç îâáï ¯à¨
¯¥à¥á¥ç¥-¨¨ ¯«®áª®á⨠, ®à⮣®- «ì-®© ¯àאַ©
|
|
|
½ Ax + By |
+ Cz + D = 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
Ax + By + Cz + D = 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
(®¡®§- 稬 ¥¥ p) á |
|
e Ax e By e |
Cz e |
D |
= 0, |
Ax |
+ |
By |
+ |
Cz |
+ |
D |
|
||||||||
• ¯®¬-¨¬, çâ® - ¯à ¢«ïî騩 ¢¥ªâ®à (f; g; h) ¯àאַ© p ¨¬e¥¥â |
|
e |
|
|
e |
|
|
e |
= 0. |
||||||||||||
|
|
¯«®áª®áâﬨ |
+ |
+ |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
µB |
C ¶; |
|
µC |
A ¶; |
|
|
|
|
|
|
ª®®à¤¨- âë |
|
|
||||||
|
f = det |
g = det |
|
h = det |
µA |
|
B ¶ |
: |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
B |
C |
|
C |
A |
|
|
|
|
|
A |
|
B |
|
|
|
|
|
||
|
|
e e |
|
e fAe |
gB hC feA e gB hC |
|
|||||||||||||||
â.¥. ¯«®áª®áâì - âï-ãâ |
- ¢¥ªâ®àë (A; B; C), (A; B; C). Šà®¬¥e⮣®,e(A; B;eC)?l, |
||||||||||||||||||||
Š ª á«¥¤ã¥â ¨§ ᢮©á⢠|
13.2 «¥ªæ¨¨ ü13, |
+ |
|
|
+ |
|
= |
|
|
|
+ |
|
+ |
|
= 0, |
||||||
( |
A; B; C)?~l. „ «ìè¥ ¢á¥ á«¥¤ã¥â ¨§ ä ªâ®¢ í«¥¬¥e e e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
-eç¥e e |
|
|
|
|
-â à-®© £¥®¬¥âਨ (४®¬¥-¤ã¥¬ |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
àâ¨âì à¨áã-®ª!).
20 “£®« ¬¥¦¤ã ¯àï¬ë¬¨. ‚ áâ -¤ àâ-®¬ ¥¢ª«¨¤®¢®¬ ®à¨¥-â¨à®¢ --®¬ ¯à®- áâà -á⢥ R3 㣮« ' ¬¥¦¤ã ¤¢ã¬ï ¯¥à¥á¥ª î騬¨áï ¯àï¬ë¬¨ | í⮠㣮« ¬¥¦¤ã
«î¡ë¬ - ¯à ¢«ïî騬 ¢¥ªâ®à®¬ a ®¤-®© ¨ «î¡ë¬ - ¯à ¢«ïî騬 ¢¥ªâ®à®¬ b ¤àã- £®© ¯àאַ©. …áâ¥á⢥--®, çâ® â ª 㣮« ' ®¯à¥¤¥«ï¥âáï -¥®¤-®§- ç-®: ®¯à¥¤¥«¥-ë ¤¢ 㣫 | ®¤¨- ®áâàë©, ¤à㣮© â㯮©, ¤®¯®«-ïî騥 ¤à㣠¤à㣠¤® ¼ (ãà ¢-¥-¨ï x(s) = x0 + as ¨ x(s) = x0 ¡as ®¯à¥¤¥«ïîâ ®¤-ã ¨ âã ¦¥ ¯àï¬ãî!). •ãáâì ' | 㣮« ¬¥¦¤ã - ¯à ¢«ïî騬¨ ¢¥ªâ®à ¬¨ a, b, ⮣¤
cos ' = hjaa;jjbbij :
30 “£®« ¬¥¦¤ã ¯àאַ© ¨ ¯«®áª®áâìî. ‚ áâ -¤ àâ-®¬ ¥¢ª«¨¤®¢®¬ ®à¨¥-â¨à®- ¢ --®¬ ¯à®áâà -á⢥ R3 㣮« ¬¥¦¤ã ¯àאַ© l ¨ ¯«®áª®áâìî ¯® ®¯à¥¤¥«¥-¨î ¥áâì
㣮« ¬¥¦¤ã ¯àאַ© ¨ ¥¥ ®à⮣®- «ì-®© ¯à®¥ªæ¨¥© - ¯«®áª®áâì (çâ®, ª®-¥ç-®, ¤ ¥â
7
2 㣫 | ®áâàë©, ¨ ¤®¯®«-ïî騩 ¥£® ¤® ¼ â㯮©). •ãáâì (a; b; c) | - ¯à ¢«ïî騩 ¢¥ªâ®à ¯àאַ© l ¨ Ax+By+Cz+D = 0 | ãà ¢-¥-¨¥ ¯«®áª®áâ¨. •ãáâì l1 | ¯àï¬ ï, ª®â®à ï ¯®«ãç ¥âáï ª ª ¯¥à¥á¥ç¥-¨¥ ¯«®áª®á⨠Ax + By + Cz + D = 0 á ¯«®áª®áâìî A1x + B1y + C1z + D1 = 0, ¯¥à¯¥-¤¨ªã«ïà-®© ¯«®áª®á⨠Ax + By + Cz + D = 0, ᮤ¥à¦ 饩 ¯àï¬ãî l (l1 ª ª à § ®à⮣®- «ì- ï ¯à®¥ªæ¨ï l - ¯«®áª®áâì). • ¬ -ã¦-® ®¯à¥¤¥«¨âì 㣮« ' ¬¥¦¤ã l ¨ l1. ‚ ¤ «ì-¥©è¥¬ ¬®¦-® áç¨â âì, çâ® ' · ¼2 , ¯®â®¬ã çâ® á¨-ãáë ᬥ¦-ëå 㣫®¢ à ¢-ë. ‹î¡®© ¢¥ªâ®à (A; B; C) á - ç «®¬ ¢ â®çª¥, ¯à¨- ¤«¥¦ 饩 ¯«®áª®á⨠A1x+B1y +C1z +D1 = 0, 楫¨ª®¬ «¥¦¨â ¢ ¯«®á- ª®á⨠A1x+B1y +C1z +D1 = 0. ˆ§ í«¥¬¥-â à-®© £¥®¬¥âਨ ¯®-ïâ-® (४®¬¥-¤ã¥¬ ᤥ« âì ç¥à⥦!), ç⮠㣮« ¼2 ¡' ¡ã¤¥â 㣫®¬ ¬¥¦¤ã ¯àאַ© l ¨ ¢¥ªâ®à®¬ (A; B; C), ¨á室ï騬 ¨§ â®çª¨ ¯¥à¥á¥ç¥-¨ï ¯àאַ© l ¨ ¯«®áª®á⨠Ax+By+Cz+D = 0. ’®£¤
|
¼ |
|
') = |
|
aA + bB + cC |
|
sin ' = |
|
jaA + |
bB |
+ cCj |
: |
||
cos( 2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
¡ |
|
pa2 + b2 + c2pA2 + B2 + C2 |
) |
|
pa2 + b2 + c2pA2 + B2 + C2 |
|
||||||||
40 “£«ë ¬¥¦¤ã à¥¡à ¬¨ ¯ à ««¥«¥¯¨¯¥¤ , ¤¢ã£à --ë¥ ã£«ë ¯ à ««¥«¥- ¯¨¯¥¤ , ®¡ê¥¬ ¯ à ««¥«¥¯¨¯¥¤ . •ãáâì a; b; c | ¢¥ªâ®àë, - ª®â®àë¥ - âï-ãâ
¯ à ««¥«¥¯¨¯¥¤ (à¥¡à ¯ à ««¥«¥¯¨¯¥¤ ), ®; ¯; ° | ã£«ë ¬¥¦¤ã à¥¡à ¬¨. •ãáâì d = a + b + c | ¤¨ £®- «ì ¯ à ««¥«¥¯¨¯¥¤ . ’®£¤
jdj2 = ha + b + c; a + b + ci = jaj2 + jbj2 + jcj2 + 2jajjbj cos ° + 2jbjjcj cos ® + 2jajjcj cos ¯:
•ãáâì A; B; C | ¤¢ã£à --ë¥ ã£«ë ¯ à ««¥«¥¯¨¯¥¤ (ᮤ¥à¦ â ᮮ⢥âá⢥--® a; b; c). ’®£¤ ¯® ¯. 10 í⨠㣫ë à ¢-ë (¨«¨ ¤®¯®«-¨â¥«ì-ë) 㣫 ¬ ¬¥¦¤ã ¢¥ªâ®à ¬¨ a - b ¨ a - c, b - a ¨ b - c, c - a ¨ c - b ᮮ⢥âá⢥--®. Œë ¨¬¥¥¬
cos A = |
ha - b; a - ci |
|
ha; aihb; ci ¡ hb; aiha; ci |
|
jaj2jbjjcj(cos ® ¡ cos ° cos ¯) |
; |
|
|||
ja - bjja - cj = |
jaj2jbjjcj sin ° sin ¯ = |
sin ° sin ¯ |
|
|||||||
|
|
|
|
|||||||
®âªã¤ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin2 A = 1 |
¡ |
cos2 A = (1 |
¡ cos2 °)(1 ¡ cos2 ¯) ¡ (cos ® ¡ cos ° cos ¯)2 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
sin2 ° sin2 ¯ |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
= |
1 ¡ (cos2 ® + cos2 ¯ + cos2 °) + 2 cos ® cos ¯ cos ° |
: |
|||
|
|
|
|
|
|
|
sin2 ° sin2 ¯ |
|
|
|
€- «®£¨ç-® ¢ëç¨á«ï¥¬ sin2 B, sin2 C; ¨á¯®«ì§ãï ¯®«ãç¥--ë¥ ä®à¬ã«ë, ¯®«ãç ¥¬
sin2 A sin2 B sin2 C sin2 ® = sin2 ¯ = sin2 °
(⮦¤¥á⢠¤«ï á¨-ãᮢ áä¥à¨ç¥áª®© £¥®¬¥âਨ).
8
’ ª¦¥ ¬ë ¬®¦¥¬ § ¯¨á âì
V 2(a; b; c) = det |
0hha; bii |
hhb; bii hhb; cii 1 |
= ja2jjbj2jcj2 |
0 cos ° |
1 |
cos ® |
1 |
|
|
a; a |
a; b |
a; c |
|
1 |
cos ° |
cos ¯ |
A |
|
@ c; ai |
hc; bi |
hc; ci A |
|
@cos ¯ |
cos ® |
1 |
|
|
= ja2jjbj2jcj2¡1 ¡ (cos2 ® + cos2 ¯ + cos2 °) + 2 cos ® cos ¯ cos °¢: |
|||||||
50 • ¯à ¢«ïî騥 ª®á¨-ãáë ¯àאַ©. • áᬮâਬ ¥¤¨-¨ç-ãî áä¥àã c æ¥-â஬ ¢ - ç «¥ ª®®à¤¨- â ¢ ¢ áâ -¤ àâ-®¬ ¥¢ª«¨¤®¢®¬ ®à¨¥-â¨à®¢ --®¬ ¯à®áâà -á⢥
R3, â.¥. ¬-®¦¥á⢮
S2 = f(x; y; z) j x2 + y2 + z2 = h(x; y; z); (x; y; z)i = 1g: |
|
|
•ãáâì M = M(x0; y0; z0) 2 S2 | ¯à®¨§¢®«ì- ï â®çª . ’®£¤ |
|
|
x0 |
= he1; Mi = cos(\e1M) = cos ®; |
|
y0 |
= he2; Mi = cos(\e2M) = cos ¯; |
|
z0 |
= he3; Mi = cos(\e3M) = cos °: |
(16.7) |
•®-ïâ-®, çâ® cos2 ® + cos¯ + cos2 ° = 1. ’¥¯¥àì à áᬮâਬ ª ªãî--¨¡ã¤ì ¯ à ¬¥â- à¨ç¥áª¨ § ¤ --ãî ¯àï¬ãî
|
x(s) = x0 + as; y(s) = y0 + bs; z(s) = z0 + cs: |
(16.8) |
|||||
’ ¦¥ á ¬ ï ¯àï¬ ï ¬®¦¥â ¡ëâì § ¤ - |
ª ª |
|
|
|
|||
|
as |
|
bs |
|
cs |
|
|
x(s) = x0 + p |
|
; y(s) = y0 + p |
|
; z(s) = z0 + p |
|
: |
|
a2 + b2 + c2 |
a2 + b2 + c2 |
a2 + b2 + c2 |
|||||
•®í⮬ã, ãç¨âë¢ ï (16.7), ¢ á«ãç ¥, ª®£¤ ¤«¨- - ¯à ¢«ïî饣® ¢¥ªâ®à ¯àאַ© (16.8) à ¢- 1, ª®¬¯®-¥-âë - ¯à ¢«ïî饣® ¢¥ªâ®à - §ë¢ îâáï - ¯à ¢«ïî騬¨ ª®á¨-ãá ¬¨ ¯àאַ©.