Аналитическая геометрия - А.В. Грешнов / Lecture6
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„ â : 13.10.2012.
‚¥ªâ®à-ë¥ ¯®¤¯à®áâà -áâ¢
Ž¯à¥¤¥«¥-¨¥ 6.1. •®¤¬-®¦¥á⢮ V1 ¢¥ªâ®à-®£® ¯à®áâà -á⢠V - §ë¢ ¥âáï ¢¥ª- â®à-ë¬ ¯®¤¯à®áâà -á⢮¬ ¢¥ªâ®à-®£® ¯à®áâà -á⢠V , ¥á«¨ 8u; v 2 V1 8¸; ¹ 2 R ¢ë¯®«-ï¥âáï ¸u + ¹v 2 V1.
Ž¯à¥¤¥«¥-¨¥ 6.2. •®¤¬-®¦¥á⢮ V1 ¢¥ªâ®à-®£® ¯à®áâà -á⢠V - §ë¢ ¥âáï ¢¥ª- â®à-ë¬ ¯®¤¯à®áâà -á⢮¬ ¢¥ªâ®à-®£® ¯à®áâà -á⢠V , ¥á«¨ 8u; v 2 V1 ¢ë¯®«-ï¥âáï u + v 2 V1, 8¸ 2 R 8u 2 V1 ¢ë¯®«-ï¥âáï ¸u 2 V1.
“¯à ¦-¥-¨¥ 6.1. „®ª § âì, çâ® ®¯à¥¤¥«¥-¨ï 6.1, 6.2 íª¢¨¢ «¥-â-ë.
“¯à ¦-¥-¨¥ 6.2. „®ª § âì, çâ® «î¡®¥ ¢¥ªâ®à-®¥ ¯®¤¯à®áâà -á⢮ ¢¥ªâ®à-®£® ¯à®áâà -áâ¢ á ¬® ï¥âáï ¢¥ªâ®à-ë¬ ¯à®áâà -á⢮¬.
‹¥¬¬ 6.1. •ãáâì V1 µ V | ¢¥ªâ®à-®¥ ¯®¤¯à®áâà -á⢮ ¢.¯. V . ’®£¤ dim V1 · dim V ; ¥á«¨ dim V1 = dim V , â® V1 = V .
„®ª § ⥫ìá⢮. •ãáâì fe1; : : : ; eng | ¡ §¨á V , fa1; : : : ; amg | ¡ §¨á V1. ’®£¤ ai = Pn ¸j(ai)ej, i = 1; : : : ; m, ¤«ï -¥ª®â®àëå ª®-áâ -â ¸j(ai), ¨ ¯® «¥¬¬¥ C ¬ë
j=1
¯®«ãç ¥¬, çâ® m · n. •ãáâì m = n. ‚¥ªâ®àë fa1; : : : ; ang | «¨-¥©-® -¥§ ¢¨á¨¬ë ¢ V1, §- ç¨â, ¨ ¢ V . •ãáâì fa1; : : : ; ang | -¥ ¡ §¨á ¢ V . •® «¥¬¬¥ B - ©¤¥âáï ¢¥ªâ®à ® 2 V â ª®©, çâ® fa1; : : : ; an; ®g | «¨-¥©-® -¥§ ¢¨á¨¬ë. ‘ ¤à㣮© áâ®à®-ë, «î¡®© ¢¥ªâ®à ¨§ fa1; : : : ; an; ®g ¢ëà ¦ ¥âáï ç¥à¥§ ¡ §¨á fe1; : : : ; eng, §- ç¨â ¯® «¥¬¬¥ C ¢¥ªâ®àë fa1; : : : ; an; ®g «¨-¥©-® § ¢¨á¨¬ë. •®«ãç¥--®¥ ¯à®â¨¢®à¥ç¨¥ ¯®ª §ë¢ ¥â, çâ® fa1; : : : ; ang | ¡ §¨á V ) V = V1.¥
‘¢®©á⢮ 6.1. •ãáâì V1 µ V | ¢¥ªâ®à-®¥ ¯®¤¯à®áâà -á⢮ ¢.¯. V , fe1; : : : ; emg | ¡ §¨á V1. ’®£¤ V1 = Lfe1; : : : ; emg.
„®ª § ⥫ìá⢮ ¢ë⥪ ¥â ¨§ ã¯à ¦-¥-¨ï 6.2 ¨ ã⢥ত¥-¨ï 5.2 (¨á¯®«ì§ãï ®¯à¥- ¤¥«¥-¨¥ ¯®¤¯à®áâà -á⢠, ᢮©á⢮ 6.1 -¥á«®¦-® ¯à®¢¥à¨âì -¥¯®á।á⢥--®).¥
‘¢®©á⢮ 6.2. •ãáâì A = fa1; : : : ; akg ½ V . ’®£¤ L(A) | ¢¥ªâ®à-®¥ ¯®¤¯à®- áâà -á⢮ ¨§ ¢.¯. V , dim L(A) · dim V .
„®ª § ⥫ìá⢮. fa1; : : : ; akg | ¯®«- ï á¨á⥬ ¢¥ªâ®à®¢ ¢ L(A) (¢ë⥪ ¥â ¨§ ®¯à¥- ¤¥«¥-¨ï L(A)). Œ¥â®¤®¬ ¤®ª § ⥫ìá⢠«¥¬¬ë E ¥¥ ¢á¥£¤ ¬®¦-® ý㬥-ìè¨âìþ ¤®
«¨-¥©-® -¥§ ¢¨á¨¬®© á¨áâ¥¬ë ¢¥ªâ®à®¢ fai1 ; : : : ; aim g, £¤¥ fi1; : : : ; img ½ f1; : : : ; kg, £¤¥ k | ¬ ªá¨¬ «ì-®¥. ’®£¤ fai1 ; : : : ; aim g | ¡ §¨á L(A). ˆ§ ®¯à¥¤¥«¥-¨ï 5.2 «¨-¥©-®© ®¡®«®çª¨ ¢ë⥪ ¥â, çâ® L(A) | ¢¥ªâ®à-®¥ ¯®¤¯à®áâà -á⢮ ¢ V . ’®£¤
᢮©á⢮ 6.2 ¢ë⥪ ¥â ¨§ «¥¬¬ë 6.1.¥
1
2
“¯à ¦-¥-¨¥ 6.3. •ãáâì A; B ½ V | -¥ª®â®àë¥ ª®-¥ç-ë¥ ¬-®¦¥á⢠¨§ ¢.¯. V â ª¨¥, çâ® A ½ B. „®ª § âì, çâ® L(A) µ L(B).
“¯à ¦-¥-¨¥ 6.4. •ãáâì ¢¥ªâ®àë fb1; : : : ; blg = B «¨-¥©-® ¢ëà ¦ îâáï ç¥à¥§ ¢¥ªâ®àë fa1; : : : ; amg = A. „®ª § âì, çâ® L(B) µ L(A).
•¥à¥á¥ç¥-¨¥ ¨ á㬬 |
¯®¤¯à®áâà -á⢠|
|
Ž¯à¥¤¥«¥-¨¥ 6.3. •ãáâì V1; V2 |
| ¢¥ªâ®à-ë¥ ¯®¤¯à®áâà -á⢠¢¥ªâ®à-®£® ¯à®- |
|
áâà -á⢠V . ’®£¤ |
|
|
V1 \ V2 = fa 2 V j a 2 V1; |
a 2 V2g |
(¯¥à¥á¥ç¥-¨¥ ¯®¤¯à®áâà -áâ¢); |
V1 + V2 = fu 2 V j u = a + b; |
a 2 V1; |
b 2 V2g (á㬬 ¯®¤¯à®áâà -áâ¢): |
“¯à ¦-¥-¨¥ 6.5. „®ª § âì, çâ® V1 \V2, V1 +V2 | ¢¥ªâ®à-ë¥ ¯®¤¯à®áâà -á⢠¢¥ªâ®à-®£® ¯à®áâà -á⢠V .
’¥®à¥¬ 6.1. •ãáâì X; Y | ¢¥ªâ®à-ë¥ ¯®¤¯à®áâà -á⢠¢¥ªâ®à-®£® ¯à®áâà -- á⢠V . ’®£¤ dim(X + Y ) = dim X + dim Y ¡ dim(X \ Y ).
„®ª § ⥫ìá⢮. •ãáâì fa1; : : : ; akg | ¡ §¨á X \Y , fa1; : : : ; ak; bk+1; : : : ; blg | ¡ §¨á
X, fa1; : : : ; ak; ck+1; : : : ; cmg | ¡ §¨á Y . ’®£¤ ¤«ï «î¡®£® u 2 X + Y ¢ë¯®«-ï¥âáï
u = |
³ i=1 |
¸iai + i=k+1 ¸ibi´ |
+ |
³ i=1 |
¹iai + i=k+1 ¹ici´ |
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k |
l |
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k |
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m |
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X |
X |
|
X |
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X |
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k |
l |
i |
m |
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|
= |
X |
X |
X |
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|
(¸i + ¹i)ai + |
¸ibi + |
|
¹ici; |
|
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|
i=1 |
i=k+1 |
|
=k+1 |
®âªã¤ |
¢ë⥪ ¥â, çâ® á¨á⥬ |
|
¢¥ªâ®à®¢ fa1; : : : ; ak; bk+1; : : : ; bl; ck+1; : : : ; cmg ¯®«- |
||||||
¢ X + Y ; ¤®ª ¦¥¬ ¥¥ «¨-¥©-ãî -¥§ ¢¨á¨¬®áâì. ‡ ¬¥â¨¬, çâ® - ¡®àë ¢¥ªâ®à®¢ fa1; : : : ; akg, fbk+1; : : : ; blg «¨-¥©-® -¥§ ¢¨á¨¬ë ¤à㣠®â ¤à㣠; - ¡®àë fa1; : : : ; akg, fck+1; : : : ; cmg «¨-¥©-® -¥§ ¢¨á¨¬ë ¤à㣠®â ¤à㣠. •®ª ¦¥¬, çâ® - ¡®àë fbk+1; : : : ; blg,
|
|
|
¢¨á¨¬ë ¤à㣠®â ¤à㣠. •à¥¤¯®«®¦¨¬, çâ® ¤«ï |
|||||
fck+1; : : : ; cmg â ª¦¥ «¨-¥©-® -¥§ m |
|
|
|
|
|
|||
-¥ª®â®à®£® -¥-ã«¥¢®£® ¢¥ªâ®à |
=k+1 |
'ici - ©¤ãâáï ç¨á« Ãi, i |
= k + 1; : : : ; l, -¥ |
|||||
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|
|
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m |
|
l |
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|
|
P |
i |
P |
|
|
|
à ¢-ë¥ ¢á¥ -ã«î ®¤-®¢à¥¬¥--®, â ª¨¥, çâ® i=k+1 |
'ici = |
=k+1 |
Ãibi. ’®£¤ ¯®«ãç ¥¬, |
|||||
i |
m |
|
m |
|
l |
|
k |
|
X |
X |
|
X |
|
X |
|||
|
'ici 2 X ) |
|
'ici 2 X \ Y ) |
Ãibi = |
Aiai |
|||
|
=k+1 |
i=k+1 |
|
i=k+1 |
|
i=1 |
||
¤«ï -¥ª®â®àëå ª®-áâ -â Ai, i = 1; : : : ; k, -¥ à ¢-ëå -ã«î ®¤-®¢à¥¬¥--®. •® íâ® ¯à®â¨¢®à¥ç¨â ⮬ã, çâ® - ¡®àë ¢¥ªâ®à®¢ fa1; : : : ; akg, fbk+1; : : : ; blg «¨-¥©-® -¥§ - ¢¨á¨¬ë ¤à㣠®â ¤à㣠. ‘«¥¤®¢ ⥫ì-®, - ¡®àë ¢¥ªâ®à®¢ fa1; : : : ; akg, fbk+1; : : : ; blg,
3
fck+1; : : : ; cmg «¨-¥©-® -¥§ ¢¨á¨¬ë ¤à㣠®â ¤àã£, ¯®í⮬ã á¨á⥬ ¢¥ªâ®à®¢
fa1; : : : ; ak; bk+1; : : : ; bl; ck+1; : : : ; cmg
«¨-¥©-® -¥§ ¢¨á¨¬ ¢ X + Y , ïïáì â ª¨¬ ®¡à §®¬ ¡ §¨á®¬ ¢ X + Y . ’®£¤
dim(X + Y ) = k + l ¡ k + m ¡ k = l + m ¡ k = dim X + dim Y ¡ dim(X \ Y ):
¥
•àï¬ ï á㬬 ¯®¤¯à®áâà -áâ¢
Ž¯à¥¤¥«¥-¨¥ 6.4. •ãáâì ¯®¤¯à®áâà -á⢠X; Y ¢¥ªâ®à-®£® ¯à®áâà -á⢠V â - ª®¢ë, çâ® X \ Y = 0. ’®£¤ á㬬ã X + Y ®¡®§- ç îâ X © Y ¨ - §ë¢ îâ ¯àאַ© á㬬®© ¯®¤¯à®áâà -á⢠X; Y .
’¥®à¥¬ 6.2 (® ¯ à ««¥«ì-®¬ ¯à®¥ªâ¨à®¢ -¨¨). •ãáâì ¢.¯. V â ª®¢®, çâ®
V = X © Y . ’®£¤ ¤«ï «î¡®£® v 2 V 9!vX = PrX(v) 2 X 9!vY = PrY (v) 2 Y â ª, çâ® v = vX + vY . •à¨ í⮬
(1) PrX(¸u + ¹v) = ¸PrX(u) + ¹PrX(v); |
PrY (¸u + ¹v) = ¸PrY (u) + ¹PrY (v) |
(«¨-¥©-®áâì ¯à®¥ªæ¨©); |
u 2 Y , PrX(u) = 0 , PrY (u) = u. |
(2) u 2 X , PrX(u) = u , PrY (u) = 0, |
„®ª § ⥫ìá⢮. •ãáâì v 2 X © Y . ’®£¤ v = x + y, x 2 X, y 2 Y . •à¥¤¯®«®¦¨¬, çâ® - ©¤ãâáï ®â«¨ç-ë¥ ®â x; y ¢¥ªâ®àë x0 2 X, y0 2 Y â ª¨¥, çâ® v = x0 ’®£¤ x + y = x0 + y0 , x ¡ x0 = y0 ¡ y, -® X \ Y = 0, §- ç¨â x ¡ x0 = y0 ¡ y = 0 , x = x0; y = y0. ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, - ¬¨ ãáâ -®¢«¥- ¥¤¨-á⢥--®áâì à §«®¦¥-¨ï v = x + y, £¤¥ x 2 X, y 2 Y . •г-ªвл (1), (2) п¢«повбп б«¥¤бв¢¨¥¬ ¥¤¨-бв¢¥--®бв¨ а §«®¦¥-¨п. •а®¢¥а¨¬, - ¯а¨¬¥а, (1). ˆ¬¥¥¬ ¸u+¹v = ¸(uX +uY )+¹(vX +vY ) = (¸uX +¹vX)+(¸uY +¹vY ), ®âªã¤ PrX(¸u+¹v) = (¸uX +¹vX) = ¸PrX(u)+¹PrX(v)
ãáâ - ¢«¨¢ ¥âáï - «®£¨ç-®).¥
‘㬬 ¯®¤¬-®¦¥á⢠¢¥ªâ®à-®£® ¯à®áâà -á⢠Ž¯à¥¤¥«¥-¨¥ 6.5. •ãáâì A; B | -¥ª®â®àë¥ ¯®¤¬-®¦¥á⢠¢.¯. V . ’®£¤
A + B = fa + b j 8a 2 A 8b 2 Bg; ¸A = f¸a j 8a 2 Ag; ¸ 2 R:
‘¢®©á⢮ 6.3.
(1) A ½ V | ¢¥ªâ®à-®¥ ¯®¤¯à®áâà -á⢮ ¢.¯. V , A + A ½ A, ¸A ½ A 8¸ 2 R,
(2) A ½ A0, B ½ B0 ) A + B ½ A0 + B0, ¸A ½ ¸A0 ¸ 2 R,
(3) A + B = B + A, (A + B) + C = A + (B + C), ¸(A + B) = ¸A + ¸B.
4
„®ª § ⥫ìá⢮. (1) „ --®¥ ᢮©á⢮ íª¢¨¢ «¥-â-® ®¯à¥¤¥«¥-¨î 6.2. (2) •ãáâì a 2 A ) a 2 A0, b 2 B ) b 2 B0. ’®£¤ ¬ë ¨¬¥¥¬ a + b 2 A + B, a + b 2 A0 + B0.
•ãáâì a 2 A ) ¸a 2 ¸A, ¨ ¯à¨ í⮬ a 2 A0 ) ¸a 2 ¸A0. •ã-ªâ (3) ¤®ª §ë¢ ¥âáï - «®£¨ç-®.¥
“¯à ¦-¥-¨¥ 6.5. Š ª®¥ ¨§ ¢ª«îç¥-¨© 2A ½ A + A, A + A ½ 2A «®¦-®?
Ž¯à¥¤¥«¥-¨¥ 6.6. •ãáâì A | -¥ª®â®à®¥ (-¥ ®¡ï§ ⥫ì-® ª®-¥ç-®¥) ¯®¤¬-®¦¥- á⢮ ¢.¯. V . Œ-®¦¥á⢮ L(A) ¢á¥¢®§¬®¦-ëå «¨-¥©-ëå ª®¬¡¨- 権 à §«¨ç-ëå ª®-¥ç-ëå - ¡®à®¢ ¢¥ªâ®à®¢ ¨§ A - §ë¢ ¥âáï «¨-¥©-®© ®¡®«®çª®© ¬-®¦¥á⢠A.
“⢥ত¥-¨¥ 6.1. •ãáâì A | -¥ª®â®à®¥ (-¥ ®¡ï§ ⥫ì-® ª®-¥ç-®¥) ¯®¤¬-®¦¥- á⢮ ¢.¯. V . ’®£¤ L(A) µ V | ¢¥ªâ®à-®¥ ¯®¤¯à®áâà -á⢮.
„®ª § ⥫ìá⢮. ˆ§ ®¯à¥¤¥«¥-¨ï L(A) ¢ë⥪ ¥â, çâ® ¥á«¨ u; v 2 L(A), â® ¸u + ¹v 2
L(A) 8¸; ¹ 2 R.
‘«¥¤á⢨¥ 6.1. …᫨ A = L(A), â® A | ¢¥ªâ®à-®¥ ¯®¤¯à®áâà -á⢮ ¢ ¢.¯. V .
“¯à ¦-¥-¨¥ 6.6. „®ª ¦¨â¥, çâ® L(A) | ¯¥à¥á¥ç¥-¨¥ ¢á¥å «¨-¥©-ëå ¯®¤¯à®- áâà -á⢠¨§ ¢.¯. V , ᮤ¥à¦ é¨å A.