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„ â : 20.10.2012.

€ää¨--ë¥ ¯®¤¯à®áâà -áâ¢

Ž¯à¥¤¥«¥-¨¥ 7.1. k-¬¥à-ë¬ ää¨--ë¬ ¯®¤¯à®áâà -á⢮¬ ¢ ää¨--®¬ ¯à®- áâà -á⢥ A, ®¯à¥¤¥«ï¥¬ë¬ -¥ª®â®à®© â®çª®© M0 2 A ¨ k «¨-¥©-® -¥§ ¢¨á¨¬ë¬¨ ¢¥ªâ®à ¬¨ u1; : : : ; uk 2 VA, - §ë¢ ¥âáï ¬-®¦¥á⢮ â®ç¥ª M = M(¸1; : : : ; ¸k) 2 A, ¸i 2 R, i = 1; : : : ; k, â ª¨å, çâ®

 

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M0M = ¸1u1 + ¸2u2 ®¯à¥¤¥«ï¥â (2-¬¥à-ãî) ¯«®áª®áâì ¢

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(7.1)

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(7.2)

 

 

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OM = OM0 +

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‚ «¥ªæ¨¨ ü5 ¬ë ¢ëïá-¨«¨, çâ® «î¡®¥ ¢.¯.V ¥áâ¥á⢥--ë¬ ®¡à §®¬ ï¥âáï ä- ä¨--ë¬ ¯à®áâà -á⢮¬ V ää (“⢥ত¥-¨¥ 5.4), ¨ «î¡®¥ ää¨--®¥ ¯à®áâà -á⢮

A ¨§®¬®àä-® VA ª ª ää¨--®¬ã ¯à®áâà -áâ¢ã (“⢥ত¥-¨¥ 5.6). •®í⮬㠨¬¥¥â

á¬ëá« ¯¥à¥ä®à¬ã«¨à®¢ âì ®¯à¥¤¥«¥-¨¥ 7.1 ¤«ï ¢¥ªâ®à-ëå ¯à®áâà -áâ¢, à áᬠâ- ਢ ¥¬ëå ª ª ää¨--ë¥ ¯à®áâà -á⢠.

Ž¯à¥¤¥«¥-¨¥ 7.2. A | ää¨--®¥ ¯®¤¯à®áâà -á⢮ ¢ ¢.¯. V = V ää, ¥á«¨ - ©- ¤¥âáï ¢¥ªâ®à-®¥ ¯®¤¯à®áâà -á⢮ A0 ½ V ¨ í«¥¬¥-â b 2 V ää â ª¨¥, çâ®

A = b + A0:

(7.3)

•®«ì ý- ç « ª®®à¤¨- âþ ää¨--®© á¨áâ¥¬ë ª®®à¤¨- â ¢ V ää ¨£à ¥â -ã«¥¢®©

í«¥¬¥-â, ¢ í⮬ á«ãç ¥ ¬ë â ª¦¥ ¡ã¤¥¬ ¨á¯®«ì§®¢ âì ®¡®§- ç¥-¨¥ O.

‘«¥¤®¢ -

⥫ì-®, ¢ á«ãç ¥ ¢.¯. V = V ää à ¢¥-á⢠(7.2) ¨ (7.3) ®¯à¥¤¥«ïîâ ®¤¨- ¨ â®â ¦¥

¬ ⥬ â¨ç¥áª¨© ®¡ê¥ªâ. ‚ ¤ «ì-¥©è¥¬, ¥á«¨ á¯¥æ¨ «ì-® -¥ ®£®¢ ਢ ¥âáï, ¢ 楫ïå ã¯à®é¥-¨ï ¬ë ¡ã¤¥¬ à áᬠâਢ âì ää¨--ë¥ ¯®¤¯à®áâà -á⢠¢ ¢.¯. V = V ää.

1

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•àï¬ë¥ ¢ ää¨--ëå á¨á⥬ å ª®®à¤¨- â

•à¨ ¯®¬®é¨ à ¢¥-á⢠(7.2) ¯àï¬ ï l ¢ ¢.¯. V = V ää, ¯à®å®¤ïé ï ç¥à¥§ â®çªã M0 2 V ää, ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ª ª ¬-®¦¥á⢮ ¢á¥å â®ç¥ª M 2 V ää â ª¨å, çâ®

¡¡! ¡¡!

2 R

(7.4)

OM = OM0 + ta; t

 

 

(- ¯®¬-¨¬, çâ® ¯®-ï⨥ ¯àאַ© ¢ Rn ¢®§-¨ª «® ã - á ¢ «¥ªæ¨¨ ü2). ‚¥ªâ®à a 2 V , a =6 0, - §ë¢ ¥âáï - ¯à ¢«ïî騬 ¢¥ªâ®à®¬ ¯àאַ© l. ˆá¯®«ì§ãï ää¨--ãî á¨á⥬㠪®®à¤¨- â ¯à®áâà -á⢠V ää, à ᯨ襬 (7.4) ý¯®ª®®à¤¨- â-®þ:

x1 = x1(t) = x10 + ta1;

: : :

(7.5)

xn = xn(t) = x0

+ tan;

n

 

£¤¥ (a1; : : : ; an) | ª®®à¤¨- âë - ¯à ¢«ïî饣® ¢¥ªâ®à a, (x10; : : : ; x0 ) | ª®®à¤¨- -

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

âë â®çª¨ M0. “à ¢-¥-¨ï (7.5) - §ë¢ îâáï ¯ à ¬¥âà¨ç¥áª¨¬ ãà ¢-¥-¨ï¬¨ ¯àאַ©

á - ¯à ¢«ïî騬 ¢¥ªâ®à®¬ a, ¯à®å®¤ï饩 ç¥à¥§ â®çªã M0.

 

“¯à ¦-¥-¨¥ 7.1. „®ª ¦¨â¥, çâ® § ¬¥-

¢ á®®â-®è¥-¨ïå (7.5) ¢¥ªâ®à a - ¢¥ªâ®à

¸a, ¸ 2 R, ¸ 6= 0, -¥ ¬¥-ï¥â £¥®¬¥âà¨ç¥áª®£® ¬¥áâ

â®ç¥ª ¯àאַ© ¢ ¯à®áâà -á⢥.

 

 

 

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1 á ª®®à¤¨- â ¬¨

•ãáâì (a1; : : : ; an) = (x11¡x10; : : : ; xn¡xn) ¤«ï -¥ª®â®à®© â®çª¨ M

 

(x11; : : : ; x1

(7.5) ¬®¦-® ¯¥à¥¯¨á âì ¢ ¢¨¤¥

 

n). ’®£¤ à ¢¥-áâ¢

 

x1 = x1(t) = x10(1 ¡ t) + tx11;

 

 

 

 

 

 

: : :

 

 

 

(7.6)

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0

 

) + 1

 

 

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xn(1 ¡ t

 

txn;

 

• ¢¥-á⢠(7.6) | íâ® ãà ¢-¥-¨ï ¯àאַ©, ¯à®å®¤ï饩 ç¥à¥§ â®çª¨ M0(x10; : : : ; x0

 

n),

M1(x11; : : : ; x1

t ¯à®¡¥£ ¥â § ¬ª-ãâë© ¨-â¥à¢ «

n). ‚ á«ãç ¥, ª®£¤ ¢ (7.6) ¯ à ¬¥âà

 

[0; 1], ¬ë ¯®«ãç ¥¬ ãà ¢-¥-¨¥ ®â१ª , ᮥ¤¨-ïî饣® â®çª¨ M0 ¨ M1 (®â१ª

¡¡¡¡!

[0; 1]).

M0M1 ¢ á«ãç ¥, ª®£¤ t ¬®-®â®--® ¢®§à áâ ¥â -

‘।¨ ãà ¢-¥-¨© (7.5) ¢ë¤¥«¨¬ â¥, ¤«ï ª®â®àëå ai = 0. Ž¡®§- 稬 ¬-®¦¥á⢮ ¢á¥å ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å í⮩ á¨âã 樨 ¨-¤¥ªá®¢ ç¥à¥§ N1. •ãáâì N2 = f1; : : : ; ngnN1.

Žâ¬¥â¨¬, çâ® ¢á¥£¤

N2 6= ; (¯®ç¥¬ã?). •ãáâì jN2j = m > 1. • áᬮâਬ ¤¢

¯à®¨§¢®«ì-ëå ãà ¢-¥-¨ï

 

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xj + taj;

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¡ xj1 = ¢ ¢ ¢ = xjk ¡ xjk = 0; fj1; : : : ; jkg = N1:

 

“à ¢-¥-¨ï (7.8) - §ë¢ îâáï ª -®-¨ç¥áª¨¬¨ ãà ¢-¥-¨ï¬¨ ¯àאַ© l. •ãáâì

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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(a1; : : : ; an) = (x11 ¡ x01; : : : ; xn

¡ xn) ¤«ï -¥ª®â®à®© â®çª¨ M

 

x ; : : : ; xn).

à ¢¥-áâ¢

(7.8) ¬®¦-® ¯¥à¥¯¨á âì ¢ ¢¨¤¥

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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¡ xj1 = ¢ ¢ ¢

 

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¡ xjk = 0; fj

N :

 

• áᬮâਬ ãà ¢-¥-¨ï (7.9) ¤«ï ¯«®áª®£® á«ãç ï (¤«ï ¯«®áª®áâ¨), â.¥. dim V ää =

2. „«ï ¯à®áâ®âë § ¯¨á¨ ¯®« £ ¥¬, çâ® N1 = ;. ’®£¤

(7.9) ¯à¨-¨¬ ¥â ¢¨¤

 

x1 ¡ x0 = y1 ¡ y0 ,

 

µx1 ¡ x0 y1 ¡ y0

 

x ¡ x0

 

y ¡ y0

 

det

x ¡ x0

y ¡ y0

= 0:

(7.10)

 

 

•®á«¥¤-¥¥ à ¢¥-á⢮ ¨§ (7.10) ®§- ç ¥â, çâ® ¢¥ªâ®àë (x¡x0; y¡y0), (x1 ¡x0; y1 ¡y0)

«¨-¥©-® § ¢¨á¨¬ë (¢ ¯«®áª®¬ á«ãç ¥ | ª®««¨-¥ à-ë). ˆ§ã稬 ¯®¤à®¡-¥¥ á«ãç © ¯«®áª¨å ¯àï¬ëå.

’¥®à¥¬ 7.1. 10 „«ï «î¡®© ¯àאַ© l ½ V ää, dim V ää = 2, áãé¥áâ¢ã¥â âனª ç¨á¥« (A; B; C), A2 + B2 =6 0, â ª ï, çâ® ¯ à ¬¥âà¨ç¥áª¨¥ ãà ¢-¥-¨ï ¯àאַ© l ï¥âáï à¥è¥-¨¥¬ ãà ¢-¥-¨ï kAx + kBy + kC = 0 ¤«ï «î¡®£® k 2 R, £¤¥ (x; y) | ää¨--ë¥ ª®®à¤¨- âë ¯à®áâà -á⢠V ää. •à¨ í⮬ -¥ áãé¥áâ¢ã¥â âனª¨ ç¨á¥« (A1; B1; C1), ®â«¨ç-®© ®â â஥ª ¢¨¤ (kA; kB; kC), k 2 R, â ª®©, çâ® ¯ à - ¬¥âà¨ç¥áª¨¥ ãà ¢-¥-¨ï ¯àאַ© l ï¥âáï à¥è¥-¨¥¬ ãà ¢-¥-¨ï A1x+B1y+C1 = 0;

20 «î¡®¥ ãà ¢-¥-¨¥ ¢¨¤

Ax + By + C = 0; A2 + B2 6= 0;

(7.11)

®¤-®§- ç-® ®¯à¥¤¥«ï¥â -¥ª®â®àãî ¯àï¬ãî ¢ ¯à®áâà -á⢥ V ää, dim V ää = 2.

„®ª § ⥫ìá⢮. 10 • áᬮâਬ ¯ à ¬¥âà¨ç¥áª¨¥ ãà ¢-¥-¨ï ¯àאַ© l:

 

½ y = y0 + bt;

(7.12)

x = x0 + at;

 

£¤¥ (a; b) 6= (0; 0), t 2 R. ’®£¤

½b(x ¡ x0) = bat; ) b(x ¡ x0) ¡ a(y ¡ y0) = 0 a(y ¡ y0) = abt;

,Ax + By + C = 0; A = ¡b; B = a; C = ¡Ax0 ¡ By0:

4

’¥¯¥àì ¯à¥¤¯®«®¦¨¬, çâ® - ©¤¥âáï ¢¥ªâ®à (A1; B1; C1), A21 + B12 =6 0, â ª®©, çâ® ¯ à (x; y), £¤¥ x; y ¨§ (7.12), п¢«повбп а¥и¥-¨¥¬ га ¢-¥-¨п A1x + B1y + C1 = 0. ˆá¯®«ì§ãï (7.12), ¯®«ãç ¥¬

A1x + B1y + C1 = A1x0 + B1y0 + C1 + t(aA1 + bB1) = 0:

(7.13)

•à¥¤¯®«®¦¨¬, çâ® A1x0 + B1y0 + C1 6= 0. ’®£¤ ¤«ï ¢ë¯®«-¥-¨ï à ¢¥-áâ¢

(7.13)

¯à¨ ¢á¥å t 2 R -¥®¡å®¤¨¬®, ç⮡ë aA1 + bB1 = 0. …᫨ ¦¥ A1x0 + B1y0 + C1 = 0,

â® ¨§ (7.13) ¯®«ãç ¥¬, çâ® t(aA1 + bB1) = 0 ¯à¨ ¢á¥å t 2 R, ®âªã¤

aA1 + bB1 = 0.

’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ¬ë ¨¬¥¥¬

µA1

 

¶µ b

=

µ

0

:

 

aA + bB = 0; aA1 + bB1 = 0 ,

B1

(7.14)

 

A

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a

 

 

0

 

 

•à¥¤¯®«®¦¨¬, çâ® ª¢ ¤à â-®© áâப¨ ¬ âà¨æë ¨§ (7.14) «¨-¥©-® -¥§ ¢¨á¨¬ë, â®- £¤ ¬ë ¯®«ãç ¥¬, çâ®

a

A B

¡1

µ

0

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µ

0

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µ b

= µA1 B1

 

0

0

祣® -¥ ¬®¦¥â ¡ëâì. ‡- ç¨â, A1 = pA, B1 = pB ¤«ï -¥ª®â®à®£® ç¨á« p =6 0. ’®£¤

A1x + B1y + C1 = 0 , pAx + pB1y + C1 = 0;

®âªã¤ , á ãç¥â®¬ à ¢¥-á⢠pAx + pBy + pC = 0, ¬ë ¯®«ãç ¥¬ C1 = pC1.

20 • áᬮâਬ -¥ª®â®à®¥ ãà ¢-¥-¨¥ Ax + By + C = 0, A2 + B2 =6 0. •ãáâì, - ¯à¨¬¥à, B 6= 0. ’®£¤ ¤«ï «î¡®£® ç¨á« x0 ¬ë ®¤-®§- ç-® - 室¨¬ ç¨á«® y0 =

¡

Ax0+C

 

 

B , ¨ ¯ à (x0; y0) ï¥âáï à¥è¥-¨¥¬ ãà ¢-¥-¨ï Ax + By + C = 0.

’¥¯¥àì

à áᬮâਬ äã-ªæ¨¨

x = x0 + Bt;

 

 

 

 

 

 

½ y = y0 ¡ At;

(7.15)

£¤¥ t 2 R. •®¤áâ ¢¨¬ (7:15) ¢ ãà ¢-¥-¨¥ Ax + By + C = 0, ¢ १ã«ìâ ⥠¯®«ã稬

A(x0 + Bt) + B(y0 ¡ At) + C = Ax0 + By0 + C = 0:

“à ¢-¥-¨ï (7.15) ®¤-®§- ç-® ®¯à¥¤¥«ïîâ -¥ª®â®àãî ¯àï¬ãî l 2 V ää | ª ª á®-

¢®ªã¯-®áâì â®ç¥ª

M

 

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ää, 㤮¢«¥â¢®àïîé¨å à ¢¥-áâ¢ã OM = OM0 + ®t, £¤¥

 

 

 

 

 

® 2 V | ¢¥ªâ®à á ª®®à¤¨- â ¬¨ (B; ¡A); â ª¨¬ ®¡à §®¬ ãà ¢-¥-¨ï (7:15) ï-

îâáï ¯ à ¬¥âà¨ç¥áª¨¬¨ ãà ¢-¥-¨ï¬¨ ¯àאַ© l ¢

ää¨--®© á¨á⥬¥ ª®®à¤¨- â.

•®ª ¦¥¬, çâ® à¥è¥-¨© ãà ¢-¥-¨ï Ax + By + C = 0, ®â«¨ç-ëå ®â (7:15), -¥â.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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•à¥¤¯®«®¦¨¬, çâ® áãé¥áâ¢ã¥â ¯ à

(x0; y0) = (x0 + Bt; y0

¡

At)

8

t

2 R

â ª ï, çâ®

Ax0 + By0 + C = 0. ’®£¤

 

 

 

 

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x0)+B(y0

 

y0) = 0; AB +B( A) = 0

 

 

 

x0 ¡ x0 y0 ¡ y0

 

A

 

0

;

¨ ¢¥ªâ®àë u1 = (x0 ¡ x0; y0

¡ y0), u2 = (B; ¡A) «¨-¥©-® -¥§ ¢¨á¨¬ë. ˆ§ «¨-¥©-®©

-¥§ ¢¨á¨¬®á⨠¢¥ªâ®à®¢ u1, u2 ¢ë⥪ ¥â, á¬. ã⢥ত¥-¨¥ 5.3 («¥ªæ¨ïü5), çâ®

 

 

 

 

 

 

det µ

B

¡A

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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¡ x0 y0

¡ y0

 

 

= 0;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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B

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¡ x0 y0

¡ y0

 

 

 

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0

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çâ® ¯à®â¨¢®à¥ç¨â ãá«®¢¨î A2 + B2 = 0. •®í⮬㠯 à (x0

; y0) -¥ áãé¥áâ¢ã¥â.

¥

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ž¯à¥¤¥«¥-¨¥ 7.3. “à ¢-¥-¨¥ Ax + By + C = 0, A2 + B2 =6 0, - §ë¢ ¥âáï ®¡é¨¬ ãà ¢-¥-¨¥¬ ¯àאַ© á - ¯à ¢«ïî騬 ¢¥ªâ®à®¬ (B; ¡A).

‘¢®©á⢮ 7.1. „¢¥ à §«¨ç-ë¥ ¯àï¬ë¥ - ¯«®áª®á⨠¯ à ««¥«ì-ë , ¨å - ¯à ¢- «ïî騥 ¢¥ªâ®àë ª®««¨-¥- à-ë.

„®ª § ⥫ìá⢮. ()) • áᬮâਬ ãà ¢-¥-¨ï

Ax + By + C = 0; A1x + B1y + C1 = 0;

A2 + B2 6= 0;

 

A12 + B12 6= 0: (7.16)

•ãáâì, - ¯à¨¬¥à, A 6= 0. ’®£¤

x = ¡BA y ¡ CA . •®¤áâ ¢¨¬ ¯®«ãç¥--®¥ ¢ëà ¦¥-¨¥

¤«ï x ¢ ãà ¢-¥-¨¥ A1x + B1y + C1 = 0, ¯®«ã稬

 

 

 

 

 

 

B C

 

 

1

 

C

 

0 = A1³ ¡

 

y ¡

 

´

+ B1y + C1 = y³B1 ¡

A B

´

+ C1 ¡

 

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A

A

A

A

…᫨ B1 ¡

A1B

6= 0, â® ãà ¢-¥-¨ï (7.16) ¨¬¥îâ ®¡é¥¥ à¥è¥-¨¥. •®í⮬㠤®«¦-®

A

¡ëâì

 

 

 

 

 

 

 

A1B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B1 ¡

= 0:

 

 

(7.17)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

…᫨ B = 0, â® ¨§ (7.17) á«¥¤ã¥â, çâ® B1 = 0, ¨ ãà ¢-¥-¨ï (7.16) ¯à¨¬ãâ ¢¨¤

Ax + C = 0; A1x + C1 = 0; A =6 0; A1 =6 0:

•® - ¯à ¢«ïî騥 ¢¥ªâ®àë ¯àï¬ëå, ®¯à¥¤¥«ï¥¬ëå ãà ¢-¥-¨ï¬¨ ¢ëè¥, ª®««¨-¥- à-ë. …᫨ B =6 0, â® (7.17) ¬®¦-® § ¯¨á âì ¢ ¢¨¤¥

B1 A1 ;

B = A

6

®âªã¤ ¢ë⥪ ¥â ª®««¨-¥ à-®áâì - ¯à ¢«ïîé¨å ¢¥ªâ®à®¢ ¯àï¬ëå, ®¯à¥¤¥«ï¥¬ëå ãà ¢-¥-¨ï¬¨ (7.16).

(() •ãáâì - ¯à ¢«ïî騥 ¢¥ªâ®àë (B; ¡A), (B1; ¡A1) ¯àï¬ëå, ®¯à¥¤¥«ï¥¬ëå

ãà ¢-¥-¨ï¬¨ (7.16), ª®««¨-¥ à-ë, â.¥. A1 = pA, B1

= pB ¤«ï -¥ª®â®à®£® ç¨á«

p 6= 0. ’®£¤ (7.16) § ¯¨áë¢ îâáï ª ª

 

 

Ax + By + C = 0; pAx + pBy + C1 = 0;

A2 + B2 6= 0:

(7.18)

…᫨ C1 6= pC, â® ®ç¥¢¨¤-®, çâ® ãà ¢-¥-¨ï (7.18) -¥ ¨¬¥îâ ®¡é¨å à¥è¥-¨©. …᫨ ¦¥ C1 = pC, â® ä®à¬ «ì-® ¤¢ à §-ëå ãà ¢-¥-¨ï ®¯à¥¤¥«ïîâ ®¤-ã ¨ âã ¦¥ ¯àï¬ãî - ¯«®áª®áâ¨.¥

‘«¥¤á⢨¥ 7.1. „¢¥ à §«¨ç-ë¥ ¯àï¬ë¥ - ¯«®áª®áâ¨, ®¯à¥¤¥«ï¥¬ë¥ ãà ¢-¥-¨ï¬¨

Ax + By + C = 0; A1x + B1y + C1 = 0; A2 + B2 =6 0; A2 + B2 =6 0;

¯ à ««¥«ì-ë (-¥ ¯¥à¥á¥ª îâáï) , ¤«ï ç¨á¥« A; B; C; A1; B1; C1, A2 + B2 =6 0, A21 +

= 0, ®¯à¥¤¥«¥-ë ®â-®è¥-¨ï A1

B1

C1

 

 

 

 

 

¢ R, ¨ ¯à¨ í⮬

 

B12 6

A ,

B ,

C

 

 

 

A1

 

B1

6=

C1

:

(7.19)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A =

B

C

‡ ¬¥ç -¨¥ ª ä®à¬ã«¨à®¢ª¥ á«¥¤á⢨ï 7.1. …᫨ ª ª ï-«¨¡® ¨§ ¯ à (A; A1), (B; B1), (C; C1) ᮢ¯ ¤ ¥â á (0; 0), â® â ªãî ¯ àã á«¥¤ã¥â ¨áª«îç¨âì ¨§ § ¯¨á¨ (7.19). • ¯à¨¬¥à, ¯ãáâì (B; B1) = (0; 0), ⮣¤ ¢ ª ç¥á⢥ (7.19) à áᬠâਢ ¥¬ á®-

®â-®è¥-¨¥ A1

= C1

 

 

 

A

6

C , ¨«¨ ¦¥ ¯ãáâì (C; C1) = (0; 0), ⮣¤ ¢ ª ç¥á⢥ (7.19) à áᬠâ-

ਢ ¥¬ á®®â-®è¥-¨¥ A1 B1

 

C1

 

 

 

A = B . •à¨ í⮬ §- ç¥-¨¥ ¢ëà ¦¥-¨ï C à áᬠâਢ ¥¬ ¢

 

, â.¥.

 

 

 

 

 

 

R

 

 

C = ½

 

1; C1 < 0; C = 0:

 

 

 

C1

+

; C1 > 0; C = 0;

 

 

 

 

 

 

¡1

 

 

 

 

 

 

‘¢®©á⢮ 7.2. •àï¬ë¥, ®¯à¥¤¥«ï¥¬ë¥ ᢮¨¬¨ ®¡é¨¬¨ ãà ¢-¥-¨ï¬¨

 

 

 

 

 

 

½ A1x + B1y + C1 = 0;

(7.20)

 

 

 

 

 

 

 

Ax + By + C = 0;

 

¯¥à¥á¥ª îâáï ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ ¤«ï ç¨á¥« A; A1; B; B1 ®¯à¥¤¥«¥-ë ®â-

-®è¥-¨ï A1

B1

 

 

 

 

 

 

 

R, ¨ ¯à¨ í⮬

 

A ,

B ¢

 

 

 

 

 

A1

6=

B1

; A2 + B2 6= 0; A12 + B12 6= 0:

(7.21)

 

 

 

 

A

B

„®ª § ⥫ìá⢮. ()) •ãáâì T =

µA1

 

7

B1

. Š ª ¨§¢¥áâ-® ¨§ «¨-¥©-®© «£¥¡àë,

 

A

B

 

¤«ï ⮣®, ç⮡ë á¨á⥬ (7.20) ¨¬¥« ¥¤¨-á⢥--®¥ à¥è¥-¨¥, -¥®¡å®¤¨¬® ¨ ¤®áâ - â®ç-®, ç⮡ë det T = AB1 ¡A1B 6= 0 (®â¬¥â¨¬, çâ® det T 6= 0 ) A; A1 ®¤-®¢à¥¬¥--®

-¥ ¬®£гв а ¢-пвмбп -г«о, а ¢-® ª ª ¨ B; B1). •®áª®«ìªã (7.20) | ®¡é¨¥ ãà ¢-¥-¨ï ¯àï¬ëå, â® A2 + B2 6= 0, A2 + B2 6= 0. •ãáâì, - ¯à¨¬¥à, A 6= 0, ⮣¤

B1 ¡

A1B

6= 0:

(7.22)

 

A

…᫨ B 6= 0, â® ¨§ (7.22) áà §ã ¯®«ãç ¥¬ (7.21).

…᫨ B = 0, -® B1 6= 0, â® (7.21)

®з¥¢¨¤-®. Žбв ¥вбп § ¬¥в¨вм, зв® ®¤-®¢а¥¬¥--® -¥ ¬®£гв ¢л¯®«-пвмбп гб«®¢¨п B = 0, B1 = 0 (¯®ç¥¬ã?).

(() …᫨ A 6= 0, B 6= 0, â® AB1 ¡ A1B 6= 0, ¨ á¨á⥬

(7.20), ª ª á«¥¤ã¥â ¨§

ªãàá «¨-¥©-®© «£¥¡àë, ¨¬¥¥â ¥¤¨-á⢥--®¥ à¥è¥-¨¥

x

 

 

1

C

. ɇǬ

y

= ¡T ¡

C1

 

 

 

£¤

1

µ

=

1

= 0, ⮵

A = 0, â® B 6= 0, á¬.(7.21). •ãáâì ¯à¨ í⮬ A1 6

 

AA

2 f§1g 6

BB 2 R.

‘«ãç © A = A1 = 0 ¬ë -¥ à áᬠâਢ ¥¬, ¯®áª®«ìªã ¢ í⮬ á«ãç ¥ ®â-®è¥-¨¥ A1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

-¥ ®¯à¥¤¥«¥-® ¢

 

. ‘«ãç ©, ª®£¤ B = 0 - «®£¨ç¥- à áᬮâà¥--®¬ã.¥

 

 

 

R

 

 

 

‡ ¬¥ç -¨¥ ª ¤®ª § ⥫ìáâ¢ã (() ᢮©á⢠7.2. ‘«ãç © A = A1 = 0 ᮮ⢥â-

By + C = 0;

 

áâ¢ã¥â à áᬮâà¥-¨î á¨á⥬ë ãà ¢-¥-¨© ½ B1y + C1 = 0;

ª®â®à ï, ª ª -¥á«®¦-®

¢¨¤¥âì, -¥ ¨¬¥¥â ¥¤¨-á⢥--®£® à¥è¥-¨ï.

 

’¥®à¥¬ 7.2 (® ¢§ ¨¬-®¬ à ᯮ«®¦¥-¨¨ ¯àï¬ëå -

¯«®áª®áâ¨). „¢¥ ¯àï-

¬ë¥ - ¯«®áª®áâ¨, ®¯à¥¤¥«ï¥¬ë¥ ᢮¨¬¨ ®¡é¨¬¨ ãà ¢-¥-¨ï¬¨

½Ax + By + C = 0; A1x + B1y + C1 = 0;

a) -¥ ¨¬¥îâ -¨ ®¤-®© ®¡é¥© â®çª¨, ¥á«¨ ¤«ï ç¨á¥« A; B; C; A1; B1; C1 ®¯à¥¤¥«¥-

-ë ®â-®è¥-¨ï A1 B1 C1

 

 

 

 

 

 

 

 

R, ¨ ¯à¨ í⮬

 

 

A , B , C ¢

 

 

 

 

 

A1 B1

6=

C1

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A = B

C

b) ¨¬¥îâ ¥¤¨-á⢥--ãî ®¡éãî â®çªã, ¥á«¨ ¤«ï ç¨á¥« A; A1; B; B1 ®¯à¥¤¥«¥-ë

®â-®è¥-¨ï A1

B1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R, ¨ ¯à¨ í⮬

 

 

A ,

B ¢

 

 

 

 

 

 

 

 

A1

6=

 

B1

;

 

 

 

 

 

 

 

 

A

B

 

 

c) ᮢ¯ ¤ îâ, ¥á«¨ ¤«ï ç¨á¥« A; B; C; A1; B1; C1 ®¯à¥¤¥«¥-ë ®â-®è¥-¨ï A1

B1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A ,

B ,

C1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C ¢ R, ¨ ¯à¨ í⮬

 

 

A1 B1 C1

 

 

 

 

 

 

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A = B = C

 

8

„®ª § ⥫ìá⢮. •ã-ªâë a), b) ¤®ª § -ë ¢ ᢮©á⢠å 7.1, 7.2, ¯ã-ªâ c) ¤®áâ â®ç-® âਢ¨ «¥-, ¥£® ¤®ª § ⥫ìá⢮ ¬ë ®áâ ¢«ï¥¬ ¤«ï á ¬®áâ®ï⥫ì-®© à ¡®âë.¥

‡ ¬¥ç -¨¥ 7.1. •ãáâì ¢ ®¡é¥¬ ãà ¢-¥-¨¨ ¯àאַ© B 6= 0. ’®£¤ ®-® § ¯¨áë¢ ¥âáï

¢ íª¢¨¢ «¥-â-®¬ ¢¨¤¥

 

A C

 

 

 

y = ¡

 

x ¡

 

= kx + b:

 

B

B

•â® ãà ¢-¥-¨¥ ¨§¢¥áâ-® ᮠ誮«ë, ª®íää¨æ¨¥-â k §¤¥áì - §ë¢ ¥âáï ª®íää¨æ¨¥-- ⮬ - ª«®- ¯àאַ©.

‘®£« è¥-¨¥ 7.1. ‚ ¤ «ì-¥©è¥¬ ¤«ï 㤮¡á⢠¢¬¥á⮠⮣®, çâ®¡ë £®¢®à¨âì ý¯àï- ¬ ï l, ª®â®à ï ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ᢮¨¬ ®¡é¨¬ ãà ¢-¥-¨¥¬ Ax + By + C = 0 ¢ ää¨--

-®© á¨á⥬¥ ª®®à¤¨- â (x; y) ¯à®áâà -á⢠V ää, dim V ää = 2þ, ¡ã¤¥¬ £®¢®à¨âì ý¯àï¬ ï Ax + By + C = 0þ (â® ¦¥ ª á ¥âáï ¨ ¯ à ¬¥âà¨ç¥áª®£®, ¨ ª -®-¨ç¥áª¨å

ãà ¢-¥-¨© ¯àאַ©). •®âï ¢á¥£¤ á«¥¤ã¥â ¯®¬-¨âì, çâ® ¯àï¬ ï | íâ® ¯à¥¦¤¥ ¢á¥£® £¥®¬¥âà¨ç¥áª®¥ ¬¥áâ® â®ç¥ª ¯à®áâà -á⢠.

Ž¯à¥¤¥«¥-¨¥ 7.4. • áᬮâਬ ¯àï¬ãî Ax + By + C = 0. ’®çª¨ M1, M2, -¥ ¯à¨- ¤«¥¦ 騥 ¯àאַ© Ax+By +C = 0 (, Ax1 +By1 +C 6= 0, Ax2 +By2 +C 6= 0),

¡¡¡¡!

- §®¢¥¬ -¥à §¤¥«¥--묨 ¯àאַ© Ax + By + C = 0, ¥á«¨ ®â१®ª M1M2 (¨«¨, çâ®

¡¡¡¡!

®¤-® ¨ â® ¦¥, | ®â१®ª M2M1) -¥ ¨¬¥¥â ®¡é¨å â®ç¥ª á ¯àאַ© Ax + By + C = 0.

“⢥ত¥-¨¥ 7.1. ’®çª¨ M1(x1; y1), M2(x2; y2) | -¥à §¤¥«¥--ë¥ ¯àאַ© Ax +

By + C = F (x; y) = 0 , F (x1; y1)F (x2; y2) > 0.

 

„®ª § ⥫ìá⢮. • áᬮâਬ ¯ à ¬¥âà¨ç¥áª¨¥ ãà ¢-¥-¨ï ®â१ª ¡¡¡¡!

 

M1M2:

 

x(t) = x1(1 ¡ t) + x2t; y(t) = y1(1 ¡ t) + y2t; t 2 [0; 1]:

(7.23)

¡¡¡¡!

„«ï ⮣®, çâ®¡ë ¢ëïá-¨âì, ª®£¤ M2M1 ¨¬¥¥â ®¡é¨¥ â®çª¨ á ¯àאַ© Ax+By+C = 0, ¯®¤áâ ¢¨¬ ãà ¢-¥-¨ï (7.23) ¢ ãà ¢-¥-¨¥ F (x; y) = 0, ¢ १ã«ìâ ⥠¯®«ã稬

A(x1(1¡t)+x2t)+B(y1(1¡t)+y2t)+C((1¡t)+t) = (1¡t)F (x1; y1)+tF (x2; y2) = 0;

®âªã¤

F (x1; y1)

 

 

t =

:

(7.24)

 

F (x1; y1) ¡ F (x2; y2)

Œë å®â¨¬ §- âì, ª®£¤ t ¨§ (7.27) ¯à¨- ¤«¥¦¨â (0; 1) (íâ® ®ç¥¢¨¤-® ᮮ⢥âáâ¢ã¥â

¡¡¡¡!

á¨âã 樨, ª®£¤ M2M1 ¨¬¥¥â ®¡é¨¥ â®çª¨ á ¯àאַ© Ax + By + C = 0 ¯à¨ ãá«®¢¨¨, çâ® â®çª¨ M1, M2 -¥ ¯à¨- ¤«¥¦ â ¯àאַ© Ax + By + C = 0). •¥è¨¬ -¥à ¢¥-á⢮

0 <

F (x1; y1)

< 1:

(7.25)

F (x1; y1) ¡ F (x2; y2)

9

•ãáâì, - ¯à¨¬¥à, F (x1; y1) > 0, ⮣¤ ¤«ï ¢ë¯®«-¥-¨ï «¥¢®£® -¥à ¢¥-á⢠¨§ (7.25) -¥®¡å®¤¨¬®, ç⮡ë F (x1; y1) ¡ F (x2; y2) > 0. ’®£¤ ¨á¯®«ì§ã¥¬ ¯à ¢®¥ -¥à ¢¥-á⢮ ¨§ (7.25), ¯®«ãç ¥¬

F (x1; y1) ¡ F (x2; y2) < F (x1; y1) ¡ F (x2; y2) , F (x2; y2) < 0:

€- «®£¨ç-® à áᬠâਢ ¥âáï á«ãç © F (x1; y1) < 0. ’.¥. â®çª¨ M1(x1; y1), M2(x2; y2) à §¤¥«¥-ë ¯àאַ© Ax+By +C = 0 ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ F (x1; y1)F (x2; y2) < 0, ᮮ⢥âá⢥--®, â®çª¨ M1(x1; y1), M2(x2; y2) -¥ à §¤¥«¥-ë ¯àאַ© Ax+By+C = 0 ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ F (x1; y1)F (x2; y2) > 0. ¥

’ ª¨¬ ®¡à §®¬, «î¡ ï ¯àï¬ ï Ax + By + C = 0 ¤¥«¨â ¯«®áª®áâì - ¤¢ -¥¯¥à¥- ᥪ îé¨åáï ¬-®¦¥áâ¢

P + f[M(x; y) j Ax + By + C > 0g | ¯®«®¦¨â¥«ì- ï ¯®«ã¯«®áª®áâì;

A;B =

PA;B¡ = f[M(x; y) j Ax + By + C < 0g | ®âà¨æ ⥫ì- ï ¯®«ã¯«®áª®áâì:

•®-ïâ-®, çâ® â¥à¬¨-ë ý¯®«®¦¨â¥«ì- ïþ, ý®âà¨æ ⥫ì- ïþ §¤¥áì -®áïâ ãá«®¢-ë© å à ªâ¥à: ¤®áâ â®ç-® ã¬-®¦¨âì ®¡¥ ç áâ¨ à ¢¥-á⢠Ax + By + C = 0 - ¡1, ¨

э¯®«®¦¨в¥«м- п ¯®«г¯«®бª®бвмю бв -¥в э®ва¨ж в¥«м-®© ¯®«г¯«®бª®бвмою.

’¥®à¥¬ 7.3 (ªà¨â¥à¨© ý¯®«®¦¨â¥«ì-®áâ¨þ ¯®«ã¯«®áª®áâ¨). Š®-¥æ ¢¥ªâ®- à (A; B) á - ç «®¬ ¢ â®çª¥ (x0; y0), £¤¥ Ax0 + By0 + C = 0, ¢á¥£¤ ¯à¨- ¤«¥¦¨â

¬-®¦¥áâ¢ã P +

A;B.

„®ª § ⥫ìá⢮. •®¤áâ ¢¨¬ â®çªã (x0 + A; y0 + B) ¢ ¢ëà ¦¥-¨¥ Ax + By + C, ¢ १ã«ìâ ⥠¯®«ã稬 A(x0 + A) + B(y0 + B) + C = A2 + B2 > 0. ¥

Ž¯à¥¤¥«¥-¨¥ 7.5. ‚¥ªâ®à

p

 

A

 

;

p

B

 

- §ë¢ ¥âáï ¯®«®¦¨â¥«ì-®© (¢-¥è-

 

 

 

A2+B2

A2+B2

 

+

 

 

+

 

= 0, ¢¥ªâ®à

 

 

A

 

 

B

 

- §ë¢ ¥âáï

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-¥©) -®à¬ «ìî ª ¯àאַ© Ax ¡By

 

C

 

 

 

¢

 

¡ pA2+B2

; ¡pA2+B2

¢

®âà¨æ ⥫ì-®© (¢-ãâà¥--¥©) -®à¬ «ìî ª ¯àאַ©¡Ax + By + C = 0.

 

‚¢¥¤¥¬ ®¡®§- ç¥-¨ï

P + f[M(x; y) j Ax + By + C ¸ 0g | § ¬ª-ãâ ï ¯®«®¦¨â¥«ì- ï ¯®«ã¯«®áª®áâì;

A;B =

PA;B¡ = f[M(x; y) j Ax + By + C · 0g | § ¬ª-ãâ ï ®âà¨æ ⥫ì- ï ¯®«ã¯«®áª®áâì:

“⢥ত¥-¨¥ 7.2.

 

 

 

+

M

0( 0

0) â ª®¢ , çâ®

Ax

0 +

By

0 +

 

•ãáâì M1(x1; y1) 2 PA;B,

x ; y

 

 

 

 

 

¡¡¡¡!

½

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A;B.

 

 

 

 

 

 

 

 

C = F (x0; y0) = 0. ’®£¤ M0M1

 

P +

 

 

 

 

 

 

 

 

„®ª § ⥫ìá⢮. • áᬮâਬ ¯ à ¬¥âà¨ç¥áª¨¥ ãà ¢-¥-¨ï ®â१ª ¡¡¡¡!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M0M1:

 

 

x(t) = x0(1 ¡ t) + x1t;

y(t) = y0(1 ¡ t) + y1t;

t 2 [0; 1]:

 

 

(7.26)

10

•®¤áâ ¢¨¬ ãà ¢-¥-¨ï (7.26) ¢ ¢ëà ¦¥-¨¥ F (x; y), ¢ १ã«ìâ ⥠¯®«ã稬

A(x0(1 ¡ t) + x1t) + B(y0(1 ¡ t) + y1t) + C((1 ¡ t) + t) = (1 ¡ t)F (x0; y0) + tF (x1; y1)

= tF (x1; y1) ¸ 0;

çâ® ¨ ¤®ª §ë¢ ¥â ã⢥ত¥-¨¥ 7.2. ¥

‘«¥¤á⢨¥ 7.2. •ãáâì 4ABC | âà¥ã£®«ì-¨ª á ¢¥àè¨- ¬¨ A; B; C. «¥¦ 騩 - ¯«®áª®áâ¨. ’®£¤ 4ABC ¡ã¤¥â 楫¨ª®¬ ¯à¨- ¤«¥¦ âì ⮩ § ¬ª-ã⮩ ¯®«ã¯«®á- ª®áâ¨, ®¯à¥¤¥«ï¥¬®© ¯®á।á⢮¬ ¯àאַ©, ¯à®å®¤ï饩 ç¥à¥§ â®çª¨ A; B, ª®â®à®© ¯à¨- ¤«¥¦¨â ¢¥àè¨- C.

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