Аналитическая геометрия - А.В. Грешнов / Lecture7
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„ â : 20.10.2012.
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Ž¯à¥¤¥«¥-¨¥ 7.1. k-¬¥à-ë¬ ää¨--ë¬ ¯®¤¯à®áâà -á⢮¬ ¢ ää¨--®¬ ¯à®- áâà -á⢥ A, ®¯à¥¤¥«ï¥¬ë¬ -¥ª®â®à®© â®çª®© M0 2 A ¨ k «¨-¥©-® -¥§ ¢¨á¨¬ë¬¨ ¢¥ªâ®à ¬¨ u1; : : : ; uk 2 VA, - §ë¢ ¥âáï ¬-®¦¥á⢮ â®ç¥ª M = M(¸1; : : : ; ¸k) 2 A, ¸i 2 R, i = 1; : : : ; k, â ª¨å, çâ®
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A ¨§®¬®àä-® VA ª ª ää¨--®¬ã ¯à®áâà -áâ¢ã (“⢥ত¥-¨¥ 5.6). •®í⮬㠨¬¥¥â
á¬ëá« ¯¥à¥ä®à¬ã«¨à®¢ âì ®¯à¥¤¥«¥-¨¥ 7.1 ¤«ï ¢¥ªâ®à-ëå ¯à®áâà -áâ¢, à áᬠâ- ਢ ¥¬ëå ª ª ää¨--ë¥ ¯à®áâà -á⢠.
Ž¯à¥¤¥«¥-¨¥ 7.2. A | ää¨--®¥ ¯®¤¯à®áâà -á⢮ ¢ ¢.¯. V = V ää, ¥á«¨ - ©- ¤¥âáï ¢¥ªâ®à-®¥ ¯®¤¯à®áâà -á⢮ A0 ½ V ¨ í«¥¬¥-â b 2 V ää â ª¨¥, çâ®
A = b + A0: |
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⥫ì-®, ¢ á«ãç ¥ ¢.¯. V = V ää à ¢¥-á⢠(7.2) ¨ (7.3) ®¯à¥¤¥«ïîâ ®¤¨- ¨ â®â ¦¥ |
¬ ⥬ â¨ç¥áª¨© ®¡ê¥ªâ. ‚ ¤ «ì-¥©è¥¬, ¥á«¨ á¯¥æ¨ «ì-® -¥ ®£®¢ ਢ ¥âáï, ¢ 楫ïå ã¯à®é¥-¨ï ¬ë ¡ã¤¥¬ à áᬠâਢ âì ää¨--ë¥ ¯®¤¯à®áâà -á⢠¢ ¢.¯. V = V ää.
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x1 = x1(t) = x10 + ta1;
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M0M1 ¢ á«ãç ¥, ª®£¤ t ¬®-®â®--® ¢®§à áâ ¥â - |
‘।¨ ãà ¢-¥-¨© (7.5) ¢ë¤¥«¨¬ â¥, ¤«ï ª®â®àëå ai = 0. Ž¡®§- 稬 ¬-®¦¥á⢮ ¢á¥å ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å í⮩ á¨âã 樨 ¨-¤¥ªá®¢ ç¥à¥§ N1. •ãáâì N2 = f1; : : : ; ngnN1.
Žâ¬¥â¨¬, çâ® ¢á¥£¤ |
N2 6= ; (¯®ç¥¬ã?). •ãáâì jN2j = m > 1. • áᬮâਬ ¤¢ |
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2. „«ï ¯à®áâ®âë § ¯¨á¨ ¯®« £ ¥¬, çâ® N1 = ;. ’®£¤ |
(7.9) ¯à¨-¨¬ ¥â ¢¨¤ |
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«¨-¥©-® § ¢¨á¨¬ë (¢ ¯«®áª®¬ á«ãç ¥ | ª®««¨-¥ à-ë). ˆ§ã稬 ¯®¤à®¡-¥¥ á«ãç © ¯«®áª¨å ¯àï¬ëå.
’¥®à¥¬ 7.1. 10 „«ï «î¡®© ¯àאַ© l ½ V ää, dim V ää = 2, áãé¥áâ¢ã¥â âனª ç¨á¥« (A; B; C), A2 + B2 =6 0, â ª ï, çâ® ¯ à ¬¥âà¨ç¥áª¨¥ ãà ¢-¥-¨ï ¯àאַ© l ï¥âáï à¥è¥-¨¥¬ ãà ¢-¥-¨ï kAx + kBy + kC = 0 ¤«ï «î¡®£® k 2 R, £¤¥ (x; y) | ää¨--ë¥ ª®®à¤¨- âë ¯à®áâà -á⢠V ää. •à¨ í⮬ -¥ áãé¥áâ¢ã¥â âனª¨ ç¨á¥« (A1; B1; C1), ®â«¨ç-®© ®â â஥ª ¢¨¤ (kA; kB; kC), k 2 R, â ª®©, çâ® ¯ à - ¬¥âà¨ç¥áª¨¥ ãà ¢-¥-¨ï ¯àאַ© l ï¥âáï à¥è¥-¨¥¬ ãà ¢-¥-¨ï A1x+B1y+C1 = 0;
20 «î¡®¥ ãà ¢-¥-¨¥ ¢¨¤
Ax + By + C = 0; A2 + B2 6= 0; |
(7.11) |
®¤-®§- ç-® ®¯à¥¤¥«ï¥â -¥ª®â®àãî ¯àï¬ãî ¢ ¯à®áâà -á⢥ V ää, dim V ää = 2.
„®ª § ⥫ìá⢮. 10 • áᬮâਬ ¯ à ¬¥âà¨ç¥áª¨¥ ãà ¢-¥-¨ï ¯àאַ© l: |
|
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(7.12) |
x = x0 + at; |
|
£¤¥ (a; b) 6= (0; 0), t 2 R. ’®£¤
½b(x ¡ x0) = bat; ) b(x ¡ x0) ¡ a(y ¡ y0) = 0 a(y ¡ y0) = abt;
,Ax + By + C = 0; A = ¡b; B = a; C = ¡Ax0 ¡ By0:
4
’¥¯¥àì ¯à¥¤¯®«®¦¨¬, çâ® - ©¤¥âáï ¢¥ªâ®à (A1; B1; C1), A21 + B12 =6 0, â ª®©, çâ® ¯ à (x; y), £¤¥ x; y ¨§ (7.12), п¢«повбп а¥и¥-¨¥¬ га ¢-¥-¨п A1x + B1y + C1 = 0. ˆá¯®«ì§ãï (7.12), ¯®«ãç ¥¬
A1x + B1y + C1 = A1x0 + B1y0 + C1 + t(aA1 + bB1) = 0: |
(7.13) |
•à¥¤¯®«®¦¨¬, çâ® A1x0 + B1y0 + C1 6= 0. ’®£¤ ¤«ï ¢ë¯®«-¥-¨ï à ¢¥-á⢠|
(7.13) |
¯à¨ ¢á¥å t 2 R -¥®¡å®¤¨¬®, ç⮡ë aA1 + bB1 = 0. …᫨ ¦¥ A1x0 + B1y0 + C1 = 0,
â® ¨§ (7.13) ¯®«ãç ¥¬, çâ® t(aA1 + bB1) = 0 ¯à¨ ¢á¥å t 2 R, ®âªã¤ |
aA1 + bB1 = 0. |
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0 |
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0 |
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A1x + B1y + C1 = 0 , pAx + pB1y + C1 = 0;
®âªã¤ , á ãç¥â®¬ à ¢¥-á⢠pAx + pBy + pC = 0, ¬ë ¯®«ãç ¥¬ C1 = pC1.
20 • áᬮâਬ -¥ª®â®à®¥ ãà ¢-¥-¨¥ Ax + By + C = 0, A2 + B2 =6 0. •ãáâì, - ¯à¨¬¥à, B 6= 0. ’®£¤ ¤«ï «î¡®£® ç¨á« x0 ¬ë ®¤-®§- ç-® - 室¨¬ ç¨á«® y0 =
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Ax0+C |
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B , ¨ ¯ à (x0; y0) ï¥âáï à¥è¥-¨¥¬ ãà ¢-¥-¨ï Ax + By + C = 0. |
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x = x0 + Bt; |
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A(x0 + Bt) + B(y0 ¡ At) + C = Ax0 + By0 + C = 0:
“à ¢-¥-¨ï (7.15) ®¤-®§- ç-® ®¯à¥¤¥«ïîâ -¥ª®â®àãî ¯àï¬ãî l 2 V ää | ª ª á®-
¢®ªã¯-®áâì â®ç¥ª |
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•®ª ¦¥¬, çâ® à¥è¥-¨© ãà ¢-¥-¨ï Ax + By + C = 0, ®â«¨ç-ëå ®â (7:15), -¥â.
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Ax0 + By0 + C = 0. ’®£¤ |
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y0) = 0; AB +B( A) = 0 |
|
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x0 ¡ x0 y0 ¡ y0 |
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A |
|
0 |
; |
||||||||||
¨ ¢¥ªâ®àë u1 = (x0 ¡ x0; y0 |
¡ y0), u2 = (B; ¡A) «¨-¥©-® -¥§ ¢¨á¨¬ë. ˆ§ «¨-¥©-®© |
||||||||||||||||||||||
-¥§ ¢¨á¨¬®á⨠¢¥ªâ®à®¢ u1, u2 ¢ë⥪ ¥â, á¬. ã⢥ত¥-¨¥ 5.3 («¥ªæ¨ïü5), çâ® |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
det µ |
B |
¡A |
¶ |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
x0 |
¡ x0 y0 |
¡ y0 |
|
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= 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
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¯®íâ®¬ã ¬ë ¯®«ãç ¥¬, çâ® |
µ |
B |
¡A |
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¶ |
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µ0 ¶ = |
µ0 |
¶ |
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|
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µB ¶ = |
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|
|
|
|
|
|
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|
|
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A |
x0 |
¡ x0 y0 |
¡ y0 |
|
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0 |
|
0 |
; |
|
|
|
|
|
|
|||
çâ® ¯à®â¨¢®à¥ç¨â ãá«®¢¨î A2 + B2 = 0. •®í⮬㠯 à (x0 |
; y0) -¥ áãé¥áâ¢ã¥â. |
¥ |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ž¯à¥¤¥«¥-¨¥ 7.3. “à ¢-¥-¨¥ Ax + By + C = 0, A2 + B2 =6 0, - §ë¢ ¥âáï ®¡é¨¬ ãà ¢-¥-¨¥¬ ¯àאַ© á - ¯à ¢«ïî騬 ¢¥ªâ®à®¬ (B; ¡A).
‘¢®©á⢮ 7.1. „¢¥ à §«¨ç-ë¥ ¯àï¬ë¥ - ¯«®áª®á⨠¯ à ««¥«ì-ë , ¨å - ¯à ¢- «ïî騥 ¢¥ªâ®àë ª®««¨-¥- à-ë.
„®ª § ⥫ìá⢮. ()) • áᬮâਬ ãà ¢-¥-¨ï
Ax + By + C = 0; A1x + B1y + C1 = 0; |
A2 + B2 6= 0; |
|
A12 + B12 6= 0: (7.16) |
|||||||||||
•ãáâì, - ¯à¨¬¥à, A 6= 0. ’®£¤ |
x = ¡BA y ¡ CA . •®¤áâ ¢¨¬ ¯®«ãç¥--®¥ ¢ëà ¦¥-¨¥ |
|||||||||||||
¤«ï x ¢ ãà ¢-¥-¨¥ A1x + B1y + C1 = 0, ¯®«ã稬 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
B C |
|
|
1 |
|
C |
|||||||
|
0 = A1³ ¡ |
|
y ¡ |
|
´ |
+ B1y + C1 = y³B1 ¡ |
A B |
´ |
+ C1 ¡ |
|
: |
|||
A |
A |
A |
A |
|||||||||||
…᫨ B1 ¡ |
A1B |
6= 0, â® ãà ¢-¥-¨ï (7.16) ¨¬¥îâ ®¡é¥¥ à¥è¥-¨¥. •®í⮬㠤®«¦-® |
||||||||||||
A |
||||||||||||||
¡ëâì |
|
|
|
|
|
|
|
A1B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B1 ¡ |
= 0: |
|
|
(7.17) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
…᫨ B = 0, â® ¨§ (7.17) á«¥¤ã¥â, çâ® B1 = 0, ¨ ãà ¢-¥-¨ï (7.16) ¯à¨¬ãâ ¢¨¤
Ax + C = 0; A1x + C1 = 0; A =6 0; A1 =6 0:
•® - ¯à ¢«ïî騥 ¢¥ªâ®àë ¯àï¬ëå, ®¯à¥¤¥«ï¥¬ëå ãà ¢-¥-¨ï¬¨ ¢ëè¥, ª®««¨-¥- à-ë. …᫨ B =6 0, â® (7.17) ¬®¦-® § ¯¨á âì ¢ ¢¨¤¥
B1 A1 ;
B = A
6
®âªã¤ ¢ë⥪ ¥â ª®««¨-¥ à-®áâì - ¯à ¢«ïîé¨å ¢¥ªâ®à®¢ ¯àï¬ëå, ®¯à¥¤¥«ï¥¬ëå ãà ¢-¥-¨ï¬¨ (7.16).
(() •ãáâì - ¯à ¢«ïî騥 ¢¥ªâ®àë (B; ¡A), (B1; ¡A1) ¯àï¬ëå, ®¯à¥¤¥«ï¥¬ëå
ãà ¢-¥-¨ï¬¨ (7.16), ª®««¨-¥ à-ë, â.¥. A1 = pA, B1 |
= pB ¤«ï -¥ª®â®à®£® ç¨á« |
|
p 6= 0. ’®£¤ (7.16) § ¯¨áë¢ îâáï ª ª |
|
|
Ax + By + C = 0; pAx + pBy + C1 = 0; |
A2 + B2 6= 0: |
(7.18) |
…᫨ C1 6= pC, â® ®ç¥¢¨¤-®, çâ® ãà ¢-¥-¨ï (7.18) -¥ ¨¬¥îâ ®¡é¨å à¥è¥-¨©. …᫨ ¦¥ C1 = pC, â® ä®à¬ «ì-® ¤¢ à §-ëå ãà ¢-¥-¨ï ®¯à¥¤¥«ïîâ ®¤-ã ¨ âã ¦¥ ¯àï¬ãî - ¯«®áª®áâ¨.¥
‘«¥¤á⢨¥ 7.1. „¢¥ à §«¨ç-ë¥ ¯àï¬ë¥ - ¯«®áª®áâ¨, ®¯à¥¤¥«ï¥¬ë¥ ãà ¢-¥-¨ï¬¨
Ax + By + C = 0; A1x + B1y + C1 = 0; A2 + B2 =6 0; A2 + B2 =6 0;
¯ à ««¥«ì-ë (-¥ ¯¥à¥á¥ª îâáï) , ¤«ï ç¨á¥« A; B; C; A1; B1; C1, A2 + B2 =6 0, A21 +
= 0, ®¯à¥¤¥«¥-ë ®â-®è¥-¨ï A1 |
B1 |
C1 |
|
|
|
|
|
|||
¢ R, ¨ ¯à¨ í⮬ |
|
|||||||||
B12 6 |
A , |
B , |
C |
|
||||||
|
|
A1 |
|
B1 |
6= |
C1 |
: |
(7.19) |
||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
A = |
B |
C |
‡ ¬¥ç -¨¥ ª ä®à¬ã«¨à®¢ª¥ á«¥¤á⢨ï 7.1. …᫨ ª ª ï-«¨¡® ¨§ ¯ à (A; A1), (B; B1), (C; C1) ᮢ¯ ¤ ¥â á (0; 0), â® â ªãî ¯ àã á«¥¤ã¥â ¨áª«îç¨âì ¨§ § ¯¨á¨ (7.19). • ¯à¨¬¥à, ¯ãáâì (B; B1) = (0; 0), ⮣¤ ¢ ª ç¥á⢥ (7.19) à áᬠâਢ ¥¬ á®-
®â-®è¥-¨¥ A1 |
= C1 |
|
|
||||
|
A |
6 |
C , ¨«¨ ¦¥ ¯ãáâì (C; C1) = (0; 0), ⮣¤ ¢ ª ç¥á⢥ (7.19) à áᬠâ- |
||||
ਢ ¥¬ á®®â-®è¥-¨¥ A1 B1 |
|
C1 |
|||||
|
|
|
A = B . •à¨ í⮬ §- ç¥-¨¥ ¢ëà ¦¥-¨ï C à áᬠâਢ ¥¬ ¢ |
||||
|
, â.¥. |
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
C = ½ |
|
1; C1 < 0; C = 0: |
||
|
|
|
C1 |
+ |
; C1 > 0; C = 0; |
||
|
|
|
|
|
|
¡1 |
|
|
|
|
|
|
|
‘¢®©á⢮ 7.2. •àï¬ë¥, ®¯à¥¤¥«ï¥¬ë¥ ᢮¨¬¨ ®¡é¨¬¨ ãà ¢-¥-¨ï¬¨
|
|
|
|
|
|
½ A1x + B1y + C1 = 0; |
(7.20) |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ax + By + C = 0; |
|
¯¥à¥á¥ª îâáï ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ ¤«ï ç¨á¥« A; A1; B; B1 ®¯à¥¤¥«¥-ë ®â- |
||||||||
-®è¥-¨ï A1 |
B1 |
|
|
|
|
|
|
|
R, ¨ ¯à¨ í⮬ |
|
|||||||
A , |
B ¢ |
|
||||||
|
|
|
|
A1 |
6= |
B1 |
; A2 + B2 6= 0; A12 + B12 6= 0: |
(7.21) |
|
|
|
|
A |
B |
„®ª § ⥫ìá⢮. ()) •ãáâì T = |
µA1 |
|
7 |
B1 |
¶. Š ª ¨§¢¥áâ-® ¨§ «¨-¥©-®© «£¥¡àë, |
||
|
A |
B |
|
¤«ï ⮣®, ç⮡ë á¨á⥬ (7.20) ¨¬¥« ¥¤¨-á⢥--®¥ à¥è¥-¨¥, -¥®¡å®¤¨¬® ¨ ¤®áâ - â®ç-®, ç⮡ë det T = AB1 ¡A1B 6= 0 (®â¬¥â¨¬, çâ® det T 6= 0 ) A; A1 ®¤-®¢à¥¬¥--®
-¥ ¬®£гв а ¢-пвмбп -г«о, а ¢-® ª ª ¨ B; B1). •®áª®«ìªã (7.20) | ®¡é¨¥ ãà ¢-¥-¨ï ¯àï¬ëå, â® A2 + B2 6= 0, A2 + B2 6= 0. •ãáâì, - ¯à¨¬¥à, A 6= 0, ⮣¤
B1 ¡ |
A1B |
6= 0: |
(7.22) |
|
|||
A |
|||
…᫨ B 6= 0, â® ¨§ (7.22) áà §ã ¯®«ãç ¥¬ (7.21). |
…᫨ B = 0, -® B1 6= 0, â® (7.21) |
®з¥¢¨¤-®. Žбв ¥вбп § ¬¥в¨вм, зв® ®¤-®¢а¥¬¥--® -¥ ¬®£гв ¢л¯®«-пвмбп гб«®¢¨п B = 0, B1 = 0 (¯®ç¥¬ã?).
(() …᫨ A 6= 0, B 6= 0, â® AB1 ¡ A1B 6= 0, ¨ á¨á⥬ |
(7.20), ª ª á«¥¤ã¥â ¨§ |
||||||||
ªãàá «¨-¥©-®© «£¥¡àë, ¨¬¥¥â ¥¤¨-á⢥--®¥ à¥è¥-¨¥ |
x |
|
|
1 |
C |
. ɇǬ |
|||
y |
= ¡T ¡ |
C1 |
|||||||
|
|
|
£¤ |
¶ |
1 |
µ |
= |
¶ |
1 |
= 0, ⮵ |
|||||||||
A = 0, â® B 6= 0, á¬.(7.21). •ãáâì ¯à¨ í⮬ A1 6 |
|
AA |
2 f§1g 6 |
BB 2 R. |
|||||
‘«ãç © A = A1 = 0 ¬ë -¥ à áᬠâਢ ¥¬, ¯®áª®«ìªã ¢ í⮬ á«ãç ¥ ®â-®è¥-¨¥ A1 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
-¥ ®¯à¥¤¥«¥-® ¢ |
|
. ‘«ãç ©, ª®£¤ B = 0 - «®£¨ç¥- à áᬮâà¥--®¬ã.¥ |
|
|
|
||||
R |
|
|
|
‡ ¬¥ç -¨¥ ª ¤®ª § ⥫ìáâ¢ã (() ᢮©á⢠7.2. ‘«ãç © A = A1 = 0 ᮮ⢥â-
By + C = 0; |
|
áâ¢ã¥â à áᬮâà¥-¨î á¨á⥬ë ãà ¢-¥-¨© ½ B1y + C1 = 0; |
ª®â®à ï, ª ª -¥á«®¦-® |
¢¨¤¥âì, -¥ ¨¬¥¥â ¥¤¨-á⢥--®£® à¥è¥-¨ï. |
|
’¥®à¥¬ 7.2 (® ¢§ ¨¬-®¬ à ᯮ«®¦¥-¨¨ ¯àï¬ëå - |
¯«®áª®áâ¨). „¢¥ ¯àï- |
¬ë¥ - ¯«®áª®áâ¨, ®¯à¥¤¥«ï¥¬ë¥ ᢮¨¬¨ ®¡é¨¬¨ ãà ¢-¥-¨ï¬¨
½Ax + By + C = 0; A1x + B1y + C1 = 0;
a) -¥ ¨¬¥îâ -¨ ®¤-®© ®¡é¥© â®çª¨, ¥á«¨ ¤«ï ç¨á¥« A; B; C; A1; B1; C1 ®¯à¥¤¥«¥-
-ë ®â-®è¥-¨ï A1 B1 C1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
R, ¨ ¯à¨ í⮬ |
|
|
||||||
A , B , C ¢ |
|
|
||||||
|
|
|
A1 B1 |
6= |
C1 |
; |
||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
A = B |
C |
b) ¨¬¥îâ ¥¤¨-á⢥--ãî ®¡éãî â®çªã, ¥á«¨ ¤«ï ç¨á¥« A; A1; B; B1 ®¯à¥¤¥«¥-ë
®â-®è¥-¨ï A1 |
B1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R, ¨ ¯à¨ í⮬ |
|
|
||||||||||||
A , |
B ¢ |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
A1 |
6= |
|
B1 |
; |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
A |
B |
|
|
|||||
c) ᮢ¯ ¤ îâ, ¥á«¨ ¤«ï ç¨á¥« A; B; C; A1; B1; C1 ®¯à¥¤¥«¥-ë ®â-®è¥-¨ï A1 |
B1 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A , |
B , |
C1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C ¢ R, ¨ ¯à¨ í⮬ |
|
|
A1 B1 C1 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
: |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
A = B = C |
|
8
„®ª § ⥫ìá⢮. •ã-ªâë a), b) ¤®ª § -ë ¢ ᢮©á⢠å 7.1, 7.2, ¯ã-ªâ c) ¤®áâ â®ç-® âਢ¨ «¥-, ¥£® ¤®ª § ⥫ìá⢮ ¬ë ®áâ ¢«ï¥¬ ¤«ï á ¬®áâ®ï⥫ì-®© à ¡®âë.¥
‡ ¬¥ç -¨¥ 7.1. •ãáâì ¢ ®¡é¥¬ ãà ¢-¥-¨¨ ¯àאַ© B 6= 0. ’®£¤ ®-® § ¯¨áë¢ ¥âáï |
|||||
¢ íª¢¨¢ «¥-â-®¬ ¢¨¤¥ |
|
A C |
|||
|
|
||||
|
y = ¡ |
|
x ¡ |
|
= kx + b: |
|
B |
B |
•â® ãà ¢-¥-¨¥ ¨§¢¥áâ-® ᮠ誮«ë, ª®íää¨æ¨¥-â k §¤¥áì - §ë¢ ¥âáï ª®íää¨æ¨¥-- ⮬ - ª«®- ¯àאַ©.
‘®£« è¥-¨¥ 7.1. ‚ ¤ «ì-¥©è¥¬ ¤«ï 㤮¡á⢠¢¬¥á⮠⮣®, çâ®¡ë £®¢®à¨âì ý¯àï- ¬ ï l, ª®â®à ï ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ᢮¨¬ ®¡é¨¬ ãà ¢-¥-¨¥¬ Ax + By + C = 0 ¢ ää¨--
-®© á¨á⥬¥ ª®®à¤¨- â (x; y) ¯à®áâà -á⢠V ää, dim V ää = 2þ, ¡ã¤¥¬ £®¢®à¨âì ý¯àï¬ ï Ax + By + C = 0þ (â® ¦¥ ª á ¥âáï ¨ ¯ à ¬¥âà¨ç¥áª®£®, ¨ ª -®-¨ç¥áª¨å
ãà ¢-¥-¨© ¯àאַ©). •®âï ¢á¥£¤ á«¥¤ã¥â ¯®¬-¨âì, çâ® ¯àï¬ ï | íâ® ¯à¥¦¤¥ ¢á¥£® £¥®¬¥âà¨ç¥áª®¥ ¬¥áâ® â®ç¥ª ¯à®áâà -á⢠.
Ž¯à¥¤¥«¥-¨¥ 7.4. • áᬮâਬ ¯àï¬ãî Ax + By + C = 0. ’®çª¨ M1, M2, -¥ ¯à¨- ¤«¥¦ 騥 ¯àאַ© Ax+By +C = 0 (, Ax1 +By1 +C 6= 0, Ax2 +By2 +C 6= 0),
¡¡¡¡!
- §®¢¥¬ -¥à §¤¥«¥--묨 ¯àאַ© Ax + By + C = 0, ¥á«¨ ®â१®ª M1M2 (¨«¨, çâ®
¡¡¡¡!
®¤-® ¨ â® ¦¥, | ®â१®ª M2M1) -¥ ¨¬¥¥â ®¡é¨å â®ç¥ª á ¯àאַ© Ax + By + C = 0.
“⢥ত¥-¨¥ 7.1. ’®çª¨ M1(x1; y1), M2(x2; y2) | -¥à §¤¥«¥--ë¥ ¯àאַ© Ax + |
|
By + C = F (x; y) = 0 , F (x1; y1)F (x2; y2) > 0. |
|
„®ª § ⥫ìá⢮. • áᬮâਬ ¯ à ¬¥âà¨ç¥áª¨¥ ãà ¢-¥-¨ï ®â१ª ¡¡¡¡! |
|
M1M2: |
|
x(t) = x1(1 ¡ t) + x2t; y(t) = y1(1 ¡ t) + y2t; t 2 [0; 1]: |
(7.23) |
¡¡¡¡!
„«ï ⮣®, çâ®¡ë ¢ëïá-¨âì, ª®£¤ M2M1 ¨¬¥¥â ®¡é¨¥ â®çª¨ á ¯àאַ© Ax+By+C = 0, ¯®¤áâ ¢¨¬ ãà ¢-¥-¨ï (7.23) ¢ ãà ¢-¥-¨¥ F (x; y) = 0, ¢ १ã«ìâ ⥠¯®«ã稬
A(x1(1¡t)+x2t)+B(y1(1¡t)+y2t)+C((1¡t)+t) = (1¡t)F (x1; y1)+tF (x2; y2) = 0;
®âªã¤ |
F (x1; y1) |
|
|
|
t = |
: |
(7.24) |
||
|
||||
F (x1; y1) ¡ F (x2; y2) |
Œë å®â¨¬ §- âì, ª®£¤ t ¨§ (7.27) ¯à¨- ¤«¥¦¨â (0; 1) (íâ® ®ç¥¢¨¤-® ᮮ⢥âáâ¢ã¥â
¡¡¡¡!
á¨âã 樨, ª®£¤ M2M1 ¨¬¥¥â ®¡é¨¥ â®çª¨ á ¯àאַ© Ax + By + C = 0 ¯à¨ ãá«®¢¨¨, çâ® â®çª¨ M1, M2 -¥ ¯à¨- ¤«¥¦ â ¯àאַ© Ax + By + C = 0). •¥è¨¬ -¥à ¢¥-á⢮
0 < |
F (x1; y1) |
< 1: |
(7.25) |
F (x1; y1) ¡ F (x2; y2) |
9
•ãáâì, - ¯à¨¬¥à, F (x1; y1) > 0, ⮣¤ ¤«ï ¢ë¯®«-¥-¨ï «¥¢®£® -¥à ¢¥-á⢠¨§ (7.25) -¥®¡å®¤¨¬®, ç⮡ë F (x1; y1) ¡ F (x2; y2) > 0. ’®£¤ ¨á¯®«ì§ã¥¬ ¯à ¢®¥ -¥à ¢¥-á⢮ ¨§ (7.25), ¯®«ãç ¥¬
F (x1; y1) ¡ F (x2; y2) < F (x1; y1) ¡ F (x2; y2) , F (x2; y2) < 0:
€- «®£¨ç-® à áᬠâਢ ¥âáï á«ãç © F (x1; y1) < 0. ’.¥. â®çª¨ M1(x1; y1), M2(x2; y2) à §¤¥«¥-ë ¯àאַ© Ax+By +C = 0 ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ F (x1; y1)F (x2; y2) < 0, ᮮ⢥âá⢥--®, â®çª¨ M1(x1; y1), M2(x2; y2) -¥ à §¤¥«¥-ë ¯àאַ© Ax+By+C = 0 ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ F (x1; y1)F (x2; y2) > 0. ¥
’ ª¨¬ ®¡à §®¬, «î¡ ï ¯àï¬ ï Ax + By + C = 0 ¤¥«¨â ¯«®áª®áâì - ¤¢ -¥¯¥à¥- ᥪ îé¨åáï ¬-®¦¥áâ¢
P + f[M(x; y) j Ax + By + C > 0g | ¯®«®¦¨â¥«ì- ï ¯®«ã¯«®áª®áâì;
A;B =
PA;B¡ = f[M(x; y) j Ax + By + C < 0g | ®âà¨æ ⥫ì- ï ¯®«ã¯«®áª®áâì:
•®-ïâ-®, çâ® â¥à¬¨-ë ý¯®«®¦¨â¥«ì- ïþ, ý®âà¨æ ⥫ì- ïþ §¤¥áì -®áïâ ãá«®¢-ë© å à ªâ¥à: ¤®áâ â®ç-® ã¬-®¦¨âì ®¡¥ ç áâ¨ à ¢¥-á⢠Ax + By + C = 0 - ¡1, ¨
э¯®«®¦¨в¥«м- п ¯®«г¯«®бª®бвмю бв -¥в э®ва¨ж в¥«м-®© ¯®«г¯«®бª®бвмою.
’¥®à¥¬ 7.3 (ªà¨â¥à¨© ý¯®«®¦¨â¥«ì-®áâ¨þ ¯®«ã¯«®áª®áâ¨). Š®-¥æ ¢¥ªâ®- à (A; B) á - ç «®¬ ¢ â®çª¥ (x0; y0), £¤¥ Ax0 + By0 + C = 0, ¢á¥£¤ ¯à¨- ¤«¥¦¨â
¬-®¦¥áâ¢ã P +
A;B.
„®ª § ⥫ìá⢮. •®¤áâ ¢¨¬ â®çªã (x0 + A; y0 + B) ¢ ¢ëà ¦¥-¨¥ Ax + By + C, ¢ १ã«ìâ ⥠¯®«ã稬 A(x0 + A) + B(y0 + B) + C = A2 + B2 > 0. ¥
Ž¯à¥¤¥«¥-¨¥ 7.5. ‚¥ªâ®à |
p |
|
A |
|
; |
p |
B |
|
- §ë¢ ¥âáï ¯®«®¦¨â¥«ì-®© (¢-¥è- |
||||||||
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A2+B2 |
A2+B2 |
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+ |
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+ |
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= 0, ¢¥ªâ®à |
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A |
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B |
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- §ë¢ ¥âáï |
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-¥©) -®à¬ «ìî ª ¯àאַ© Ax ¡By |
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C |
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¢ |
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¡ pA2+B2 |
; ¡pA2+B2 |
¢ |
|||||||
®âà¨æ ⥫ì-®© (¢-ãâà¥--¥©) -®à¬ «ìî ª ¯àאַ©¡Ax + By + C = 0. |
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‚¢¥¤¥¬ ®¡®§- ç¥-¨ï
P + f[M(x; y) j Ax + By + C ¸ 0g | § ¬ª-ãâ ï ¯®«®¦¨â¥«ì- ï ¯®«ã¯«®áª®áâì;
A;B =
PA;B¡ = f[M(x; y) j Ax + By + C · 0g | § ¬ª-ãâ ï ®âà¨æ ⥫ì- ï ¯®«ã¯«®áª®áâì:
“⢥ত¥-¨¥ 7.2. |
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+ |
M |
0( 0 |
0) â ª®¢ , çâ® |
Ax |
0 + |
By |
0 + |
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•ãáâì M1(x1; y1) 2 PA;B, |
x ; y |
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¡¡¡¡! |
½ |
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A;B. |
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C = F (x0; y0) = 0. ’®£¤ M0M1 |
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P + |
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„®ª § ⥫ìá⢮. • áᬮâਬ ¯ à ¬¥âà¨ç¥áª¨¥ ãà ¢-¥-¨ï ®â१ª ¡¡¡¡! |
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M0M1: |
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x(t) = x0(1 ¡ t) + x1t; |
y(t) = y0(1 ¡ t) + y1t; |
t 2 [0; 1]: |
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(7.26) |
10
•®¤áâ ¢¨¬ ãà ¢-¥-¨ï (7.26) ¢ ¢ëà ¦¥-¨¥ F (x; y), ¢ १ã«ìâ ⥠¯®«ã稬
A(x0(1 ¡ t) + x1t) + B(y0(1 ¡ t) + y1t) + C((1 ¡ t) + t) = (1 ¡ t)F (x0; y0) + tF (x1; y1)
= tF (x1; y1) ¸ 0;
çâ® ¨ ¤®ª §ë¢ ¥â ã⢥ত¥-¨¥ 7.2. ¥
‘«¥¤á⢨¥ 7.2. •ãáâì 4ABC | âà¥ã£®«ì-¨ª á ¢¥àè¨- ¬¨ A; B; C. «¥¦ 騩 - ¯«®áª®áâ¨. ’®£¤ 4ABC ¡ã¤¥â 楫¨ª®¬ ¯à¨- ¤«¥¦ âì ⮩ § ¬ª-ã⮩ ¯®«ã¯«®á- ª®áâ¨, ®¯à¥¤¥«ï¥¬®© ¯®á।á⢮¬ ¯àאַ©, ¯à®å®¤ï饩 ç¥à¥§ â®çª¨ A; B, ª®â®à®© ¯à¨- ¤«¥¦¨â ¢¥àè¨- C.