Аналитическая геометрия - А.В. Грешнов / Lecture8
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„ â : 27.10.2012.
•ã箪 ¯àï¬ëå - ¯«®áª®áâ¨
• áᬮâਬ ¯àï¬ë¥ A1x + B1y + C1 = 0, A2x + B2y + C2 = 0, ¯¥à¥á¥ª î騥áï ¢ â®çª¥ M á ª®®à¤¨- â ¬¨ (x0; y0). • áᬮâਬ -¥ª®â®àãî ¯àï¬ãî A3x+B3y +C3 =
0, ®â«¨ç-ãî ®â ¯à¥¤ë¤ãé¨å, ¨ ¯®¯à®¡ã¥¬ ®â¢¥â¨âì - ¢®¯à®á: ¢ ª ª®¬ á«ãç ¥ â®çª M ¡ã¤¥â ¯à¨- ¤«¥¦ âì ¯àאַ© A3x + B3y + C3 = 0, â.¥. A3x0 + B3y0 + C3 = 0?
’¥®à¥¬ 8.1. A3x+B3y+C3 = ¸(A1x+B1y+C1)+¹(A2x+B2y+C2) ¤«ï -¥ª®â®àëå
-¥-ã«¥¢ëå ç¨á¥« ¸; ¹ , A3x0 + B3y0 + C3 = 0.
„®ª § ⥫ìá⢮. ()) Žç¥¢¨¤-®. (() ˆ§ ãá«®¢¨ï ⥮६ë 8.1 ¢ë⥪ ¥â, çâ® ¯àï¬ë¥ A1x + B1y + C1 = 0, A2x + B2y + C2 = 0 -¥ ¯ à ««¥«ì-ë, á«¥¤®¢ ⥫ì-®, ¨å - ¯à ¢«ïî騥 ¢¥ªâ®àë (B1; ¡A1) = v1, (B2; ¡A2) = v2 ®¡à §ãîâ ¡ §¨á ¯«®áª®áâ¨. ‘«¥¤®¢ ⥫ì-®, (B3; ¡A3) = ¸v1 + ¹v2 ¤«ï -¥ª®â®àëå -¥-ã«¥¢ëå ç¨á¥« ¸; ¹, â.¥.
A3x + B3y + C3 = (¸A1 + ¹A2)x + (¸B1 + ¹B2)y + C3:
ˆ¬¥¥¬
0= A3x0 + B3y0 + C3
=(¸A1 +¹A2)x0 +(¸B1 +¹B2)y0 +¸C1 +¹C2 ¡¸C1 ¡¹C2 +C3 = C3 ¡(¸C1 +¹C2):
‘«¥¤®¢ ⥫ì-®, C3 = ¸C1 + ¹C2.¥
•«®áª®áâì ¨ ¯àï¬ ï ¢ 3-¬¥à-®¬ ¯à®áâà -á⢥
• ¯®¬-¨¬, çâ® (2-¬¥à- ï) ¯«®áª®áâì ¢ ¢.¯. V ää ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ª ª £¥®¬¥âà¨ç¥- ᪮¥ ¬¥áâ® â®ç¥ª M â ª¨å, çâ®
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(8.1) ¨¬¥¥â ¢¨¤ |
8 y = y0 + sa2 + tb2; |
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(8.2) |
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x = x0 + sa1 + tb1; |
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ª®®à¤¨- âë â®ç¥ª M, M0 ᮮ⢥âá⢥--® (¯ à ¬¥âà¨ç¥áª®¥ ãà ¢-¥-¨¥ ¯«®áª®á⨠1
2
¢ 3-¬¥à-®¬ ¯à®áâà -á⢥). ’®¦¤¥á⢠|
(8.2) íª¢¨¢ «¥-âë à ¢¥-á⢠¬ |
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det |
0 y ¡ y0 |
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= 0 , det |
0 |
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a2 |
a3 |
1 |
= 0: (8.3) |
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x ¡ x0 |
a1 |
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x ¡ x0 y ¡ y0 z ¡ z0 |
A |
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b2 |
b3 |
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(x ¡ x0) det µ b2 b3 |
¶ + (y ¡ y0) det µ b3 b1 ¶ + (z ¡ z0) det |
µ b1 b2 ¶ |
a2 a3 |
a3 a1 |
a1 a2 |
= A(x ¡ x0) + B(y ¡ y0) + C(z ¡ z0) = Ax + By + Cz + D; D = ¡Ax0 ¡ By0 ¡ Cz0; |
||
|
|
(8.4) |
(®¡é¥¥ ãà ¢-¥-¨¥ ¯«®áª®á⨠¢ 3-¬¥à-®¬ ¯à®áâà -á⢥). |
|
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‡ ¬¥ç -¨¥ 8.1. „«ï ª®íää¨æ¨¥-⮢ A; B; C ¨§ (8.4) ¢á¥£¤ |
¢ë¯®«-ï¥âáï -¥à - |
|
¢¥-á⢮ A2 + B2 + C2 > 0: ¢¥ªâ®àë u1, u2 «¨-¥©-® -¥§ ¢¨á¨¬ë, ¨ ¯®í⮬ã, ª ª á«¥-
¤ã¥â ¨§ å®à®è® ¨§¢¥áâ-ëå ä ªâ®¢ «¨-¥©-®© |
«£¥¡àë, á¬. |
â ª¦¥ ã¯à ¦-¥-¨¥ 5.3, |
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ª ª®©-â® (2)-¬¨-®à ¯àאַ㣮«ì-®© ¬ âà¨æë |
µ b1 |
b2 |
b3 |
¶ ¤®«¦¥- ¡ëâì ®â«¨ç¥- |
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a1 |
a2 |
a3 |
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®â -ã«ï.
’¥®à¥¬ 8.2. ‹î¡®¥ ãà ¢-¥-¨¥ ¢¨¤ Ax + By + Cz + D = 0, A2 + B2 + C2 > 0, ®¤-®§- ç-® ®¯à¥¤¥«ï¥â -¥ª®â®àãî ¯«®áª®áâì ¢ ¯à®áâà -á⢥ V ää, dim V ää = 3.
„®ª § ⥫ìá⢮. •ãáâì, - ¯à¨¬¥à, C =6 0. • ©¤¥¬ âனªã (x0; y0; z0) â ªãî, çâ®
Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0. Œë ¨¬¥¥¬ z0 |
= ¡ |
Ax+By+D |
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C . •®¤áâ ¢«ïï ¢ ¯®á«¥¤-¥¥ |
|||||||||||||
à ¢¥-á⢮ ¢¬¥áâ® (x; y) ¯à®¨§¢®«ì-ë¥ ç¨á« |
(x0; y0), ¬ë ®¤-®§- ç-® - 室¨¬ z0, |
||||||||||||||
¯®«ãç¥-- ï âனª |
(x0; y0; z0) ®ç¥¢¨¤-® ï¥âáï à¥è¥-¨¥¬ ãà ¢-¥-¨ï Ax + By + |
||||||||||||||
Cz + D = 0. ’¥¯¥àì à áᬮâਬ ¢¥ªâ®àë |
|
|
|
|
|
|
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|
|
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(1; 0; ¡A=C); (0; 1; ¡B=C): |
||||||||||||
“à ¢-¥-¨¥ ¯«®áª®áâ¨, - âï-ã⮩ - |
|
í⨠¢¥ªâ®àë, ¯à®å®¤ï饩 ç¥à¥§ â®çªã á ª®®à- |
|||||||||||||
¤¨- â ¬¨ (x0; y0; z0), ¢ à áᬠâਢ ¥¬®© |
ää¨--®© á¨á⥬¥ ª®®à¤¨- â ¨¬¥¥â ¢¨¤ |
||||||||||||||
|
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x = x0 + s; |
|
|
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|
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8 y = y0 + t; |
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(8.5) |
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z |
0 |
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A |
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B |
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¡ tC |
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x; y; z |
) ¨§ (8.5) п¢«повбп а¥и¥-¨¥¬ |
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2 R |
. •¥á«®¦-® ¢¨¤¥âì, > |
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•à¥¤¯®«®¦¨¬, çâ® ¥áâì ª ª ï--¨¡ã¤ì âனª |
||||||||||||||
(~x; y;~ z~), ïîé ïáï ª®®à¤¨- â ¬¨ -¥ª®â®à®© â®çª¨ M, -¥ ¯à¨- ¤«¥¦ 饩 ¯«®á- ª®áâ¨, ®¯à¥¤¥«ï¥¬®© ãà ¢-¥-¨ï¬¨ (8.5), â ª ï, çâ® Ax~ + By~ + Cz~ + D = 0. ’®£¤ , ¯®áª®«ìªã M -¥ ¯à¨- ¤«¥¦¨â ¯«®áª®áâ¨, ®¯à¥¤¥«ï¥¬®© ãà ¢-¥-¨ï¬¨ (8.5), â®
det |
0 |
x~ ¡ x0 y~ ¡ y0 z~ ¡ z0 |
1 |
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1 |
0 |
¡A=C |
6= 0; |
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@ |
0 |
1 |
¡B=C A |
|
|
3
â.¥. ¢¥ªâ®àë ® = (x ¡ x0; y~ ¡ y0; z~ ¡ z0), ¯ = (1; 0; ¡A=C), ° = (0; 1; ¡B=C) «¨-¥©-® -¥§ ¢¨á¨¬ë ¢ R3, ¨ ®¡à §ãîâ â ª¨¬ ®¡à §®¬ ¡ §¨á. ’®£¤ ¤«ï «î¡®£® ¢¥ªâ®à
± 2 R3 - ©¤ãâáï ¥¤¨-á⢥--ë¥ ª®íää¨æ¨¥-âë fi, i = 1; 2; 3, â ª¨¥, çâ® ± = f1® + f2¯ + f3°. •à¨ í⮬ âனª
(x; y; z) = (x0; y0; z0) + f1® + f2¯ + f3° |
(8.6) |
ï¥âáï à¥è¥-¨¥¬ ãà ¢-¥-¨ï Ax + By + Cz + D = 0 (¬®¦-® ¯®¤áâ ¢¨âì (8.6) ¢ ãà ¢-¥-¨¥ ¨ ã¡¥¤¨âìáï ¢ í⮬). ‘ ¤à㣮© áâ®à®-ë, ¯ãáâì ± = (0; 0; C). •®¤áâ ¢«ï¥¬ (x0; y0; z0) + (0; 0; C) ¢ ¢ëà ¦¥-¨¥ Ax + By + Cz + D, ¯®«ãç ¥¬
Ax0 + By0 + C(z0 + C) + D = C2 =6 0;
â.¥. âனª (x0; y0; z0 + C) -¥ ï¥âáï à¥è¥-¨¥¬ ãà ¢-¥-¨ï Ax + By + Cz + D = 0. ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, â ª®© â®çª¨ M -¥ áãé¥áâ¢ã¥â. ¥
’¥®à¥¬ 8.3. „«ï «î¡ëå ¤¢ãå «¨-¥©-® -¥§ ¢¨á¨¬ëå ¢¥ªâ®à®¢ u; v, ¯à¨- ¤«¥¦ - é¨å ¢.¯. V ää, dim V ää = 3, ¨ «î¡®© â®çª¨ M 2 V ää á ª®®à¤¨- â ¬¨ (x0; y0; z0) áãé¥áâ¢ãîâ - ¡®à ç¨á¥« (A; B; C; D) â ª®©, çâ® ª®®à¤¨- âë «î¡®© â®çª¨ ¯«®á- ª®á⨠, ¯à®å®¤ï饩 ç¥à¥§ â®çªã M, - âï-ã⮩ - ¢¥ªâ®àë u; v, п¢«повбп а¥- и¥-¨¥¬ ¢б¥е га ¢-¥-¨© ¢¨¤ kAx + kBy + kCz + kD = 0, £¤¥ k 6= 0 | «î¡®¥ ç¨á«®. • ¡®à ç¨á¥« (A1; B1; C1; D1), ®â«¨ç-®£® ®â (kA; kB; kC; kD), k 2 R, â -
ª®£®, зв® ª®®а¤¨- вл «о¡®© в®зª¨ ¯«®бª®бв¨ п¢«повбп а¥и¥-¨¥¬ га ¢-¥-¨п A1x + B1y + kC1z + D1 = 0, -¥ áãé¥áâ¢ã¥â.
„®ª § ⥫ìá⢮. ’®, çâ® ¤«ï «î¡ëå ¤¢ãå «¨-¥©-® -¥§ ¢¨á¨¬ëå ¢¥ªâ®à®¢ u; v, ¯à¨- - ¤«¥¦ é¨å ¢.¯. V ää, dim V ää = 3, ¨ «î¡®© â®çª¨ M 2 V ää á ª®®à¤¨- â - ¬¨ (x0; y0; z0) áãé¥áâ¢ãîâ ç¨á« A; B; C; D â ª¨¥, çâ® ª®®à¤¨- âë «î¡®© â®çª¨ ¯«®áª®áâ¨, ¯à®å®¤ï饩 ç¥à¥§ â®çªã M, - âï-ã⮩ - ¢¥ªâ®àë u; v, п¢«повбп а¥- и¥-¨¥¬ -¥ª®в®а®£® га ¢-¥-¨п Ax + By + Cz + D = 0, ¯®í⮬㠨 ãà ¢-¥-¨ï kAx + kBy + kCz + kD = 0, k 2 R, ¡ë«® ¤®ª § -®, á¬. (8.4). •à¥¤¯®«®¦¨¬, çâ®
¥áâì ¤¢ ãà ¢-¥-¨ï |
½ A1x + B1y + C1z + D1 = 0; |
(8.6) |
|
||
|
Ax + By + Cz + D = 0; |
|
â ª¨å, çâ® ª®®à¤¨- âë ¯«®áª®áâ¨, ®¯à¥¤¥«ï¥¬®© â®çª®© M ¨ ¢¥ªâ®à ¬¨
u = (a1; b1; c1); v = (a2; b2; c2);
п¢«повбп а¥и¥-¨п¬¨ ®¡®¨е, ¨ ¯а¨ н⮬ -¥ бгй¥бв¢г¥в з¨б« k 2 R â ª®£®, çâ® (A1; B1; C1) = k(A; B; C). ‚¥ªâ®àë (A1; B1; C1), (A; B; C) -¥ª®««¨-¥ à-ë, ¯®íâ®- ¬ã, á¬. â ª¦¥ ã¯à ¦-¥-¨¥ 5.3, ª ª®©-â® (2 £ 2)-¬¨-®à ¯àאַ㣮«ì-®© ¬ âà¨æë
4 |
|
|
¶ |
¤®«¦¥- ¡ëâì ®â«¨ç¥- ®â -ã«ï. •ãáâì, - ¯à¨¬¥à, det |
µA1 |
|
¶ |
6= |
µA1 |
B1 |
C1 |
B1 |
|||||
A |
B |
C |
|
|
A |
B |
|
|
0. Žç¥¢¨¤-®, çâ® ¯ àë (x0 + a1; y0 + b1; z0 + c1), (x0 + a2; y0 + b2; z0 + c2) ïîâ-
áï à¥è¥-¨ï¬¨ ª ¦¤®£® ¨§ ãà ¢-¥-¨© ¨§ (8.6) (ª ª ª®®à¤¨- âë â®ç¥ª ¯«®áª®áâ¨), |
|||||||
¯®íâ®¬ã ¬ë ¨¬¥¥¬ |
8 Aa2 + Bb2 + Cc2 = 0; |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
Aa1 + Bb1 + Cc1 = 0; |
|
(8.7) |
||
|
|
|
> 1 1 + |
1 1 + |
1 1 = 0 |
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
< |
|
|
|
|
|
|
|
> A1a2 + B1b2 + Cc2 = 0: |
|
|
||
|
|
|
> A a |
B b |
C c |
; |
|
•ãáâì |
c |
1 = 0. ’®£¤ , |
> |
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
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: |
|
|
|
|
¨á¯®«ì§ãï 1-¥ ¨ 3-¥ ãà ¢-¥-¨ï ¨§ (8.7), ¬ë ¯®«ãç ¥¬
Aa1 + Bb1 = 0; |
a1 |
¶ = |
A B |
¡1 |
µ |
0 |
¶ = |
µ |
0 |
¶; |
½ A1a1 + B1b1 = 0; |
) µ b1 |
µA1 B1 |
¶ |
0 |
0 |
祣® -¥ ¬®¦¥â ¡ëâì. ’® ¦¥ á ¬®¥ ¢ á«ãç ¥, ¥á«¨ c2 = 0. ’¥¯¥àì ¯ãáâì c1 =6 0, c2 =6 0. ‚ í⮬ á«ãç ¥ -¥á«®¦-® ã¡¥¤¨âìáï ¢ ⮬, çâ® áãé¥áâ¢ãîâ ç¨á« ¸; ¹, -¥ à ¢-ë¥ -ã«î, â ª¨¥, çâ® ¸c1 + ¹c2 = 0. • áᬮâਬ ¢¥ªâ®à w = ¸u + ¹v = (w1; w2; 0). ’ ª
ª ª u, v «¨-¥©-® -¥§ ¢¨á¨¬ë, â® w 6= 0. |
•à¨ í⮬, ª ª -¥á«®¦-® ¢¨¤¥âì, âனª |
|||||||||
w = (w1; w2; 0) 㤮¢«¥â¢®àï¥â ãà ¢-¥-¨ï¬ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Aw1 + Bw2 = 0; |
w1 |
A B |
¶ |
¡1 |
µ |
0 |
¶ = |
µ |
0 |
¶; |
½ A1w1 + B1w2 = 0; |
) µw2 ¶ |
= µA1 B1 |
|
0 |
0 |
|||||
祣® -¥ ¬®¦¥â ¡ëâì. ‡- ç¨â (A1; B1; C1) = k(A; B; C). ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ¬ë ¯®«ãç¨-
«¨, çâ® á¨á⥬ (8.6) ¨¬¥¥â ¢¨¤ |
, |
½ kAx + kBy + kCz + D1 = 0: |
½ kAx + kBy + kCz + D1 = 0; |
||
Ax + By + Cz + D = 0; |
|
kAx + kBy + kCz + kD = 0; |
‚ëç¨â ï ¯¥à¢®¥ ãà ¢-¥-¨¥ ¨§ ¢â®à®£®, ¬ë ¯®«ãç ¥¬, çâ® D1 = kD. ¥
Ž¯à¥¤¥«¥-¨¥ 8.1. ‚¥ªâ®à u ª®¬¯« - à¥- ¯«®áª®áâ¨, - âï-ã⮩ - ¢¥ªâ®àë u1, u2, ¥á«¨ ¢¥ªâ®àë u, u1, u2 ª®¬¯« - à-ë.
’¥®à¥¬ 8.4. ‚¥ªâ®à u á ª®®à¤¨- â ¬¨ (»; ´; ³) ª®¬¯« - à¥- ¯«®áª®áâ¨, § ¤ -- -®© ¢ ää¨--®© á¨á⥬¥ ª®®à¤¨- â ãà ¢-¥-¨¥¬ Ax+By +Cz +D = 0, - âï-ã⮩ - ¢¥ªâ®àë ¬ u1; u2, ¯à®å®¤ï饩 ç¥à¥§ â®çªã M á ª®®à¤¨- â ¬¨ (x0; y0; z0) ,
A» + B´ + C³ = 0.
„®ª § ⥫ìá⢮. ()) •ãáâì ¢¥ªâ®àë u1; u2 ¨¬¥îâ ª®®à¤¨- âë (a1; b1; c1), (a2; b2; c2) ᮮ⢥âá⢥--®. ’®£¤ ¨§ ª®¬¯« - à-®á⨠u, u1, u2 ¢ë⥪ ¥â, çâ® áãé¥áâ¢ãîâ ç¨á« ¸; ¹ â ª¨¥, çâ®
»= ¸a1 + ¹a2;
´= ¸b1 + ¹b2;
³ = ¸c1 + ¹c2:
|
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|
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|
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5 |
’®£¤ |
âனª (x0 + ¸a1 + ¹a2; y0 + ¸b1 + ¹b2; z0 + ¸c1 + ¹c2) ï¥âáï à¥è¥-¨¥¬ |
|||||||||||||||||||||||||
ãà ¢-¥-¨ï Ax + By + Cz + D = 0, ®âªã¤ |
|
|
¢ë⥪ ¥â, çâ® A» + B¹ + C³ = 0. |
|
||||||||||||||||||||||
(() •ãáâì A» + B´ + C³ = 0. ’®£¤ |
®ç¥¢¨¤-®, çâ® â®çª |
á ª®®à¤¨- â ¬¨ (x0 + |
||||||||||||||||||||||||
»; y0 + ´; z0 + ³) 㤮¢«¥â¢®àï¥â ãà ¢-¥-¨î Ax + By + Cz + D = 0. ’®£¤ |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
8 y0 + ´ = y0 + sb1 + tb2; |
|
|
|
0 |
´ 1 = s 0 b1 1 + t 0 b2 1 |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
> |
x0 + » = x0 + sa1 + ta2; |
|
|
|
³ |
|
|
c1 |
|
|
c2 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
0 + = 0 + 1 + 2 |
, |
|
|
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|||||||||||||
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|
» |
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a1 |
|
|
a2 |
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|
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|
|
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|
@ A |
|
|
@ |
A |
|
@ |
A |
|
|
||
|
|
< z |
³ |
|
z |
|
sc |
|
tc ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
ª®â®àëå ç¨á¥« |
|
|
. |
¥ |
|
|
|
|
|
|
|
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: |
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s; t |
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’¥®à¥¬ 8.5. • áᬮâਬ ãà ¢-¥-¨ï |
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(8.8) |
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½ A1x + B1y + C1z = 0; |
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Ax + By + Cz = 0; |
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£¤¥ ¢¥ªâ®àë (A; B; C), (A1; B1; C1) -¥ ª®««¨-¥ à-ë. ’®£¤ |
à¥è¥-¨¥ á¨á⥬ë (8:8) | |
|||||||||||||||||||||||||
¯àï¬ ï á - ¯à ¢«ïî騬 ¢¥ªâ®à®¬ |
µC1 |
A1 |
¶; |
c = det µA1 |
B1 |
¶; |
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|||||||||||||||||||
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a = det |
µB1 |
C1 |
¶ |
; |
b = det |
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B |
C |
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|
C |
A |
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A |
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B |
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¤à㣨å à¥è¥-¨© -¥â. |
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0 A |
B |
C |
1 |
¯® ¢¥àå-¥© |
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„®ª § ⥫ìá⢮. |
• áªà®¥¬ ®¯à¥¤¥«¨â¥«ì ¬ âà¨æë |
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A |
B |
C |
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áâப¥, ¢ १ã«ìâ ⥠¯®«ã稬 |
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@A1 |
B1 |
C1 |
A |
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0 = det 0 A |
|
B |
C |
1 |
|
= A det |
B1 |
C1 |
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+B det |
C1 |
A1 |
¶ |
+C det |
A1 |
B1; ; |
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A1 B1 C1 |
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µ |
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¶ |
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µ |
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µ |
¶ |
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A |
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B |
C |
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B |
C |
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|
C |
A |
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A |
B |
|
@ |
|
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|
A |
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|
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(ta; tb; tc), t 2 R, ï¥âáï à¥è¥-¨¥¬ ãà ¢- |
||||||||||||||
®âªã¤ |
á«¥¤ã¥â, çâ® «î¡ ï âனª |
¢¨¤ |
||||||||||||||||||||||||
-¥-¨ï Ax + By + Cz = 0. |
’® ¦¥ á ¬®¥ ¯à®¤¥« ¥¬ á ®¯à¥¤¥«¨â¥«¥¬ ¬ âà¨æë |
|||||||||||||||||||||||||
0 A |
B |
C 1, ¢ १ã«ìâ ⥠¯®«ã稬, çâ® «î¡ ï âனª |
¢¨¤ |
(ta; tb; tc), t 2 R, |
||||||||||||||||||||||
A1 |
B1 |
C1 |
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@ |
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A |
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A x |
B y |
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C z |
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v |
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A1 B1 C1 |
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ï¥âáï à¥è¥-¨¥¬ ãà ¢-¥-¨ï |
1 |
+ |
1 |
|
|
+ |
1 |
|
= 0. |
•ãáâì | ¢¥ªâ®à á ª®®à- |
||||||||||||||||
¤¨- â ¬¨ (a; b; c). •à¥¤¯®«®¦¨¬, çâ® - ©¤¥âáï -¥-ã«¥¢®© ¢¥ªâ®à w, w 6= v, â ª®©, çâ® ¥£® ª®®à¤¨- âë (w1; w2; w3) п¢«повбп а¥и¥-¨¥¬ б¨бв¥¬л (8.8). ’®£¤ ª®®а- ¤¨- вл «о¡®£® ¢¥ªв®а ¢¨¤ ¸u + ¹w п¢«повбп а¥и¥-¨¥¬ б¨бв¥¬л (8.8). •® нв® ¯а®в¨¢®а¥з¨в в¥®а¥¬¥ 8.3. ¥
‘«¥¤á⢨¥ 8.1. • áᬮâਬ ãà ¢-¥-¨¥ ¯«®áª®á⨠Ax + By + Cz = 0, ¨ ¯ãáâì
(u1; u2; u3), (v1; v2; v3) | ¤¢ |
«¨-¥©-® -¥§ ¢¨á¨¬ëå à¥è¥-¨ï í⮣® ãà ¢-¥-¨ï. ’®- |
|||
u2 u3 |
|
u3 u1 |
u1 u2 |
¶ ¤«ï -¥ª®â®à®£® |
£¤ A = t det µ v2 v3 |
¶, B = t det µ v3 v1 |
¶, C = t det µ v1 v2 |
||
ç¨á« t 2 R.
6
„®ª § ⥫ìá⢮. Œë ¨¬¥¥¬ |
|
½ v1A + v2B + v3C = 0: |
(8.9) |
u1A + u2B + u3C = 0; |
|
•ã¤¥¬ ¢®á¯à¨-¨¬ âì á¨á⥬ã (8.9) ª ª á¨á⥬ã (8.8), £¤¥ ஫ì (A; B; C), (A1; B1; C1) |
|
¨£à îâ ᮮ⢥âá⢥--® (u1; u2; u3), (v1; v2; v3). ’®£¤ |
१ã«ìâ â á«¥¤á⢨ï 8.1 ¢ëâ¥- |
ª ¥â ¨§ ¤®ª § ⥫ìá⢠⥮६ë 8.5 á ⥬ ®â«¨ç¨¥¬, çâ® ¢ á¨âã 樨 á«¥¤á⢨ï 8.1 ç¨á« (ª®íää¨æ¨¥-âë) (A; B; C) 䨪á¨à®¢ -ë, §- ç¨â, 䨪á¨à®¢ -® ¨ ç¨á«® t ¨§
¤®ª § ⥫ìá⢠⥮६ë 8.5. ¥
‘«¥¤á⢨¥ 8.2. “à ¢-¥-¨ï
½ Ax + By + Cz = 0; |
|
A1x + B1y + C1z = 0; |
(8.10) |
¨¬¥îâ ¢ ª ç¥á⢥ à¥è¥-¨© ª®®à¤¨- âë ®¤-®© ¨ ⮩ ¦¥ ¯«®áª®á⨠,
A B C |
: |
(8.11) |
|||||
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|||
A1 = B1 = C1 |
|||||||
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||||||
„®ª § ⥫ìá⢮. ()) ¢ë⥪ ¥â ¨§ ⥮६ë 8.3. (() ®ç¥¢¨¤-®. ¥
•à¨ à áᬮâà¥-¨¨ ®â-®è¥-¨© (8.11) ¬ë à㪮¢®¤áâ¢ã¥¬áï § ¬¥ç -¨¥¬ ª ä®à¬ã- «¨à®¢ª¥ á«¥¤á⢨ï 7.1 ¨§ «¥ªæ¨¨ ü7.