Аналитическая геометрия - А.В. Грешнов / Lecture15
.pdf‹…Š–ˆŸ ü15
„ â : 15.12.2012
Ž¡ê¥ªâ®¬ - è¨å ¤ «ì-¥©è¨å à áᬮâà¥-¨© ¡ã¤¥â ¥¢ª«¨¤®¢® ¯à®áâà -á⢮ Rn
á ¥áâ¥á⢥--묨 ®¯¥à æ¨ï¬¨ á«®¦¥-¨ï ¨ ã¬-®¦¥-¨ï - ç¨á«®, ª®â®à®¥ ¬ë â ª¦¥ ¡ã¤¥¬ à áᬠâਢ âì ¨ ª ª ää¨--®¥ ¯à®áâà -á⢮, á® áâ -¤ àâ-ë¬ áª «ïà-ë¬
¯à®¨§¢¥¤¥-¨¥¬ h¢; ¢i.
Ž¯à¥¤¥«¥-¨¥ 15.1. ‘â -¤ àâ-®¥ ¥¢ª«¨¤®¢® à ááâ®ï-¨¥ ¬¥¦¤ã ¤¢ã¬ï â®çª ¬¨
a; b ¥¢ª«¨¤®¢ ¯à®áâà -á⢠|
Rn ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¯® ä®à¬ã«¥ |
|
|
|||
|
|
|
|
n |
´ |
|
|
hb ¡ a; b ¡ ai |
j¡!j |
X |
; |
||
|
³ i=1 bi ¡ ai |
|||||
d(a; b) = |
|
|
1=2 = ab = |
( |
|
1=2 |
|
|
)2 |
|
|||
£¤¥ (a1; : : : ; an), (b1; : : : ; bn) | ª®®à¤¨- âë â®ç¥ª a, b ᮮ⢥âá⢥--®.
‡ ¬¥ç -¨¥ 15.1. ’ ª®¥ à ááâ®ï-¨¥ ¢ Rn (¡¥§®â-®á¨â¥«ì-® ª ᪠«ïà-®¬ã ¯à®¨§¢¥- ¤¥-¨î) à áᬠâਢ «®áì - ¬¨ ¢ «¥ªæ¨¨ ü2 (¨ ®¡®§- ç «®áì â ¬ d2).
Ž¯à¥¤¥«¥-¨¥ 15.2. •ãáâì X ½ Rn | -¥ª®â®à®¥ ¬-®¦¥á⢮. • ááâ®ï-¨¥ dX(a; X) ¬¥¦¤ã â®çª®© a 2 Rn ¨ ¬-®¦¥á⢮¬ X ½ Rn ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¯® ä®à¬ã«¥
dX(a; X) = inf d(x; y):
x2X
• бᬮва¨¬ б«¥¤гойго |
ää¨--ãî § ¬¥-ã ª®®à¤¨- â ¢ ¥¢ª«¨¤®¢®¬ ¯à®áâà -- |
á⢥ Rn | ᤢ¨£. •®«¥¥ ª®-ªà¥â-®, - àï¤ã á ¨á室-®© ää¨--®© á¨á⥬®© ª®®à¤¨- |
|
- â (O; e1; : : : ; en), £¤¥ â®çª |
O | â®çª á ª®®à¤¨- â ¬¨ (0; : : : ; 0), ¬ë à áᬮâਬ |
ää¨--ãî á¨á⥬㠪®®à¤¨- â (O1; e1; : : : ; en), £¤¥ â®çª O1 ¨¬¥¥â ¢ á¨á⥬¥ ª®- ®à¤¨- â (O; e1; : : : ; en) ª®®à¤¨- âë (°1; : : : ; °n) (¬ë ᤢ¨-㫨 - ç «® ª®®à¤¨- â ¢ â®çªã O1). ’®£¤ , á«¥¤ãï ¯à ¢¨«ã ää¨--®© § ¬¥-ë ª®®à¤¨- â, á¬. «¥ªæ¨î ü10, ¬ë ¯®«ãç ¥¬, çâ® ¥á«¨ -¥ª®â®à ï â®çª M ¨¬¥« ¢ ää¨--®© á¨á⥬¥ ª®®à¤¨- â ¥¢ª«¨¤®¢ ¯à®áâà -á⢠Rn ¨¬¥« ª®®à¤¨- âë (®1; : : : ; ®n), â® ¢ á¨á⥬¥ ª®®à¤¨- â (O1; e1; : : : ; en) â®çª M ¨¬¥¥â ª®®à¤¨- âë (®1 ¡ °1; : : : ; ®n ¡ °n).
‹¥¬¬ 15.1. •à¨ ᤢ¨£¥ áâ -¤ àâ-®¥ ¥¢ª«¨¤®¢® à ááâ®ï-¨¥ ¬¥¦¤ã â®çª ¬¨ ¥¢ª«¨¤®¢ ¯à®áâà -á⢠Rn -¥ ¬¥-ï¥âáï.
„®ª § ⥫ìá⢮. • áᬮâਬ â®çª¨ A; B á ª®®à¤¨- â ¬¨ (a1; : : : ; an), (b1; : : : ; bn) ¢ á¨á⥬¥ ª®®à¤¨- â (O; e1; : : : ; en). ’®£¤ ¢ á¨á⥬¥ ª®®à¤¨- â (O1; e1; : : : ; en) ª®®à- ¤¨- â- ï § ¯¨áì â®ç¥ª A; B ᮮ⢥âáâ¢ã¥â (a1 ¡°1; : : : ; an ¡°n), (b1 ¡°1; : : : ; bn ¡°n). •ãáâì d | áâ -¤ àâ-®¥ ¥¢ª«¨¤®¢® à ááâ®ï-¨¥ ¥¢ª«¨¤®¢ ¯à®áâà -á⢠Rn á á¨áâ¥-
¬®© ª®®à¤¨- â (O; e1; : : : ; en), d0 | áâ -¤ àâ-®¥ ¥¢ª«¨¤®¢® à ááâ®ï-¨¥ ¥¢ª«¨¤®¢ 1
2
¯à®áâà -á⢠Rn á á¨á⥬®© ª®®à¤¨- â (O1; e1; : : : ; en). Žç¥¢¨¤-® ¨¬¥¥¬
|
n |
2 |
n |
´1=2 |
= d0(A; B): |
d(A; B) = ³ i=1(bi ¡ ai)2´1= |
= |
³ i=1((bi ¡ °i) ¡ (ai ¡ °i))2 |
|||
|
X |
|
X |
|
|
¥ |
|
|
|
|
|
’¥®à¥¬ 15.1. |
•ãáâì | k-¬¥à- ï ¯«®áª®áâì ¥¢ª«¨¤®¢ |
¯à®áâà -á⢠Rn, |
|||
y 2 Rn | -¥ª®â®à ï â®çª . ’®£¤ |
- ©¤¥âáï â®çª x 2 â ª ï, çâ® d (y; ) = |
||||
d(x; y). |
|
|
|
|
|
„®ª § ⥫ìá⢮. |
•® ®¯à¥¤¥«¥-¨î |
ää¨--®£® ¯®¤¯à®áâà -á⢠|
¬ë ¨¬¥¥¬ = |
||
a + 0, £¤¥ 0 | -¥ª®â®à ï k-¬¥à- ï ¯«®áª®áâì ¥¢ª«¨¤®¢ ¯à®áâà -á⢠Rn, ¯à®- 室ïé ï ç¥à¥§ - ç «® ª®®à¤¨- â, a 2 Rn | -¥ª®â®à ï â®çª . ‘¤¢¨-¥¬ - ç «® ª®®à¤¨- â ¢ â®çªã a. “ç¨âë¢ ï «¥¬¬ã 15.1, ¬ë ¬®¦¥¬ à¥è âì ¯®áâ ¢«¥--ãî § -
¤ çã ¤«ï k-¬¥à-®© ¯«®áª®á⨠0 ¨ â®çª¨ y0 = y ¡ a. Œë ¨¬¥¥¬ Rn = 0 © ?0 . ’®£¤ ¯® ⥮६¥ 6.2 ® ¯ à ««¥«ì-®¬ ¯à®¥ªâ¨à®¢ -¨¨ ¨§ «¥ªæ¨¨ ü6 ¬ë ¨¬¥¥¬
y0 = p + p? = Pr 0 (y0) + Pr ?(y0), £¤¥ p | ®à⮣®- «ì- ï ¯à®¥ªæ¨ï â®çª¨ y0 - 0. |
|||||
0 |
|
0, z = p. Œë ¨¬¥¥¬ |
y~0p; pz~ |
|
= 0. ‘ ¤à㣮© |
• áᬮâਬ ¯à®¨§¢®«ì-ãî â®çªã z |
2 |
i |
|||
|
6 |
h |
|
||
áâ®à®-ë, ¯® ᢮©áâ¢ã 14.1 (⥮६ |
•¨ä£®à ) «¥ªæ¨¨ ü14 ¬ë ¨¬¥¥¬ |
||||
jy~0zj2 = jy~0p + pz~j2 = jy~0pj2 + jpz~j2 > jy~0pj2:
’ª¨¬ ®¡à §®¬, d 0 (y0; 0) = d(p; y0). ¥
‚ª®-⥪á⥠¤®ª § ⥫ìá⢠⥮६ë 15.1 ¢¥ªâ®à y~0p - §ë¢ ¥âáï ¯¥à¯¥-¤¨ªã«ï-
஬ ª k-¬¥à-®© ¯«®áª®áâ¨, ¢ë¯ãé¥--®© ¨§ â®çª¨ y.
‘«¥¤á⢨¥ 15.1. • ááâ®ï-¨¥ ®â â®çª¨ ¤® k-¬¥à-®© ¯«®áª®á⨠| ¤«¨- ¯¥à¯¥-- ¤¨ªã«ïà , ®¯ãé¥--®£® ¨§ â®çª¨ - k-¬¥à-ãî ¯«®áª®áâì.
‘«¥¤á⢨¥ 15.2. • ááâ®ï-¨¥ ®â â®çª¨ y 2 Rn á ª®®à¤¨- â ¬¨ (y1; : : : ; yn) ¤® £¨¯¥à¯«®áª®á⨠, ®¯à¥¤¥«ï¥¬®© ãà ¢-¥-¨¥¬ A1x1 + ¢ ¢ ¢ + Anxn + D = 0, à ¢-®
d (y; ) = |
¯ |
|
A |
|
¢ ¢ ¢ + An |
¯ |
: |
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
¯ |
p |
|
12 + |
2 |
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
„®ª § ⥫ìá⢮. • áᬮâਬ ¯à®¨§¢®«ì-ë¥ â®çª¨, ¯à¨- ¤«¥¦ 騥 £¨¯¥à¯«®áª®- á⨠, á ª®®à¤¨- â ¬¨ (a1; : : : ; an), (z1; : : : ; zn) ᮮ⢥âá⢥--®. Œë ¨¬¥¥¬
½
A1a1 + ¢ ¢ ¢ + Anan + D = 0; ) A1(a1 ¡ z1) + ¢ ¢ ¢ + An(an ¡ zn) = 0; A1z1 + ¢ ¢ ¢ + Anzn + D = 0;
3
á«¥¤®¢ ⥫ì-®, «î¡ ï ¯àï¬ ï á - ¯à ¢«ïî騬 ¢¥ªâ®à®¬ (A1; : : : ; An) = ~n ®à⮣®-
- «ì- |
. • áᬮâਬ ¯àï¬ãî y + t~n = (y1 + tA1; : : : ; yn + tAn). • ©¤¥¬ §- ç¥-¨¥ |
||||||||||||||||||||||||||
¯ à ¬¥âà |
t, ᮮ⢥âáâ¢ãî饥 ¯¥à¥á¥ç¥-¨î í⮩ ¯àאַ© á £¨¯¥à¯«®áª®áâìî: |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
A1(y1 + t0A1) + |
¢ ¢ ¢ |
+ A |
(y |
|
+ t0A |
) + D = 0 |
) |
t0 |
= |
¡ |
A1y1 + ¢ ¢ ¢ + Anyn + D |
: |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
n |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
A12 + |
¢ ¢ ¢ |
+ A2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
•ãáâì b | â®çª |
¯¥à¥á¥ç¥-¨ï ¯àאַ© y + t~n ¨ £¨¯¥à¯«®áª®á⨠. ’®£¤ |
d (y; ) = |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
j jp |
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
p |
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
||
j j |
j |
j |
|
|
¢ ¢ ¢ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
A1 |
¢¢¢ An |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
¥ |
= t0~n |
= t0 |
A12 + + A2 = |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
yb~ |
¯ |
A1y1+¢¢¢+Anyn+D |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
2+ |
+ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
‘«¥¤á⢨¥ 15.3. •ãáâì x(s) = x0 + s® | ¯ à ¬¥âà¨ç¥áª®¥ ãà ¢-¥-¨¥ ¯àאַ©, ¯à®å®¤ï饩 ç¥à¥§ â®çªã x0, ¯à¨- ¤«¥¦ éãî £¨¯¥à¯«®áª®á⨠, ®¯à¥¤¥«ï¥¬®© ãà ¢-¥-¨¥¬ A1x1 + ¢ ¢ ¢ + Anxn + D = 0. ’®£¤
d (x(s); ) = d (x( s); ) = s |
|
¯i=1 ®iAi¯ |
; |
|||||
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
n |
|
¯ |
|
|
¡ |
j j |
|
|
|
|
|
||
|
|
p |
A¯ |
|
¢ ¢ ¢ |
¯An |
||
£¤¥ (®1; : : : ; ®n) | ª®®à¤¨- âë ¢¥ªâ®à |
®. |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||
„®ª § ⥫ìá⢮. •àאַ«¨-¥©-®¥ ¯à¨¬¥-¥-¨¥ á«¥¤á⢨ï 15.3.¥
‘«¥¤á⢨¥ 15.4. • ááâ®ï-¨¥ ¬¥¦¤ã ¤¢ã¬ï ¯ à ««¥«ì-묨 £¨¯¥à¯«®áª®áâﬨ,
e
®¯à¥¤¥«ï¥¬ë¬¨ ãà ¢-¥-¨ï¬¨ A1x1 + ¢ ¢ ¢+ Anxn + D = 0, A1x1 + ¢ ¢ ¢+ Anxn + D = 0, à ¢-®
p
„®ª § ⥫ìá⢮. •®-ïâ-®, çâ® - ¬ -ã¦-® - ©â¨ ¤«¨-ã ®¡é¥£® ¯¥à¯¥-¤¨ªã«ï- à , à ᯮ«®¦¥--®£® ¬¥¦¤ã £¨¯¥à¯«®áª®áâﬨ. •ãáâì â®çª x0 á ª®®à¤¨- â ¬¨
0 |
1 |
x |
1 + |
¢ ¢ ¢ |
+ |
Anxn |
+ |
D |
= 0. • ©¤¥¬ §- - |
(x10; : : : ; xn) ¯à¨- ¤«¥¦¨â £¨¯¥à¯«®áª®á⨠A |
|
|
|
|
|||||
ç¥-¨¥ ¯ à ¬¥âà s, ᮮ⢥âáâ¢ãî饣® ¯¥à¥á¥ç¥-¨î ¯àאַ© (x10 + sA1; : : : ; x0 + sAn) |
|||||||||||
|
|
¢ ¢ ¢ |
|
Anxn |
e |
|
|
|
n |
|
|
á £¨¯¥à¯«®áª®áâìî A1x1 + |
|
+ |
|
+ D = 0. Œë ¨¬¥¥¬ |
|
|
|
||||
= x10A1 + + x0¢A¢n¢ + Dn |
D + s0A12 + e |
+ s0A2 + D s0 = |
D ¡ D |
|
; |
||||||
0 = (x10 + s0A1)A1 + + (x0 + s0An)An + D |
|
e ) |
A12 + ¢ ¢ ¢ e |
|
|
||||||
¢ ¢ ¢ |
n |
|
¡ |
|
|
¢ ¢ ¢ |
n |
An |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
+ |
2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
®âªã¤ ¨ á«¥¤ã¥â âà¥¡ã¥¬ë© à¥§ã«ìâ â.¥
‡ ¤ ç . • ©â¨ à ááâ®ï-¨¥ ¬¥¦¤ã 2-¬ï ¯ à ««¥«ì-묨 ¯àï¬ë¬¨ ¢ ¥¢ª«¨¤®¢®¬ ¯à®áâà -á⢥ Rn.
¢ ¢ ¢ + anxn = 0, ¯¥à¯¥-¤¨ªã«ïà-ãî x(s). • ©¤¥¬ §- ç¥-¨¥ ¯ à - ¬¥âà s, ᮮ⢥âáâ¢ãî饥 â®çª¥ ¯¥à¥á¥ç¥-¨ï ¯àאַ© ¨ ¯«®áª®áâ¨, ¯®¤áâ ¢¨¢ ãà ¢- -¥-¨ï ¯àאַ© ¢ ãà ¢-¥-¨¥ ¯«®áª®áâ¨, ®¡®§- 稬 ¯®«ãç¥--®¥ §- ç¥-¨¥ ç¥à¥§ s0. ’®£¤ ¨áª®¬®¥ à ááâ®ï-¨¥ à ¢-® jx(s0)j.
•àאַ㣮«ì- ï á¨á⥬ ª®®à¤¨- â ¢ ¥¢ª«¨¤®¢®¬ ¯à®áâà -á⢥ R2
‘â -¤ àâ-®¥ ᪠«ïà-®¥ ¯à®¨§¢¥¤¥-¨¥ ¢ ¥¢ª«¨¤®¢®¬ ¯à®áâà -á⢥ R2 ¤¢ãå ¢¥ªâ®- ஢ u; v, ¨¬¥îé¨å ª®®à¤¨- âë (x1; y1), (x2; y2) ᮮ⢥âá⢥--®, à ¢-® hu; vi = x1x2+
y1y2, áâ -¤ àâ-®¥ ¥¢ª«¨¤®¢® à ááâ®ï-¨¥ ¬¥¦¤ã â®çª ¬¨ a = (a1; a2), b = (b1; b2) |
||||||
á⢠R2 | ¢¥ |
¡ |
e |
; |
e |
¢ |
; |
à ¢-® d(a; b) = |
(a1 ¡ b1)2 + (a2 ¡ b2)2 |
1=2: ‘â -¤ àâ-ë© ¡ §¨á ¥¢ª«¨¤®¢ ¯à®áâà -- |
||||
ªâ®àë |
1 |
= (1 0), |
2 |
= (0 1). ‘â -¤ àâ- ï ®à¨¥-â æ¨ï §¤¥áì â ª®- |
||
¢ | ¯¥à¥å®¤ ®â ¢¥ªâ®à |
e1 ª ¢¥ªâ®àã e2 ®áãé¥á⢫ï¥âáï ¯®¢®à®â®¬ ¯à®â¨¢ ç ᮢ®© |
|||||
áâ५ª¨; ¯®-¤à㣮¬ã, ¢¥ªâ®àë u1; u2, ¨¬¥î騥 ª®®à¤¨- âë (x1; y1), (x2; y2) ᮮ⢥â- |
||||||||
á⢥--®, ¯®«®¦¨â¥«ì-® ®à¨¥-â¨à®¢ -ë, ¥á«¨ det |
µ y1 |
y2 |
¶ |
= det |
µx2 |
y2 |
¶ |
> 0. |
|
x1 |
x2 |
|
|
x1 |
y1 |
|
|
…¢ª«¨¤®¢® ¯à®áâà -á⢮ R2 á® áâ -¤ àâ-묨 ᪠«ïà-ë¬ ¯à®¨§¢¥¤¥-¨¥¬ ¨ ®à¨¥--
â 樥© ¡ã¤¥¬ - §ë¢ âì ¥¢ª«¨¤®¢®© ¯«®áª®áâìî. • ç «® ª®®à¤¨- â (â®çªã á ª®®à- ¤¨- â ¬¨ (0; 0) ¡ã¤¥¬ ®¡®§- ç âì ᨬ¢®«®¬ O. ‚®®¡é¥, âà ¤¨æ¨®--® áâ -¤ àâ- ï
¥¢ª«¨¤®¢ á¨á⥬ ª®®à¤¨- â - ¯«®áª®á⨠®¡®§- ç ¥âáï XOY , (x; y) | ª®®à¤¨- - âë ¯à®¨§¢®«ì-®© â®çª¨ ¯«®áª®áâ¨, ®áì á - ¯à ¢«ïî騬 ¢¥ªâ®à®¬ e1 ®¡®§- ç ¥âáï ᨬ¢®«®¬ OX ¨ - §ë¢ ¥âáï ®áìî ¡æ¨áá, ᮮ⢥âá⢥--® ¯¥à¢ ï ª®®à¤¨- â â®çª¨ - §ë¢ ¥âáï ¡æ¨áᮩ â®çª¨, ®áì á - ¯à ¢«ïî騬 ¢¥ªâ®à®¬ e2 ®¡®§- ç ¥âáï ᨬ- ¢®«®¬ OY ¨ - §ë¢ ¥âáï ®áìî ®à¤¨- â, ᮮ⢥âá⢥--® ¢â®à ï ª®®à¤¨- â â®çª¨ - §ë¢ ¥âáï ®à¤¨- ⮩ â®çª¨.
…¤¨-¨ç- ï ®ªàã¦-®áâì S1 - ¥¢ª«¨¤®¢®© ¯«®áª®á⨠| ¬-®¦¥á⢮ â®ç¥ª, ¨¬¥î- é¨å ª®®à¤¨- âë (x; y) â ª¨¥, çâ® x2 + y2 = 1. „«¨- ¥¤¨-¨ç-®© ®ªàã¦-®áâ¨ à ¢- 2¼. ’®çª á ª®®à¤¨- â ¬¨ A = (1; 0) ®ç¥¢¨¤-® ¯à¨- ¤«¥¦¨â ¥¤¨-¨ç-®© ®ªàã¦-®- áâ¨. •ã¤¥¬ ¡¥§®áâ -®¢®ç-® ¤¢¨£ âìáï ¯® ¥¤¨-¨ç-®© ®ªàã¦-®á⨠®â â®çª¨ A ¯à®â¨¢ ç ᮢ®© áâ५ª¨. —¥à¥§ -¥ª®â®à®¥ ¢à¥¬ï ¬ë ®¯ïâì ¢¥à-¥¬áï ¢ â®çªã A, ¯à¨ í⮬
ª ¦¤ãî â®çªã ¥¤¨-¨ç-®© ®ªàã¦-®áâ¨, ¢ ᨫ㠡¥§®áâ -®¢®ç-®á⨠¤¢¨¦¥-¨ï, ¬ë ¯à®©¤¥¬ ¢á¥£® ®¤¨- à §. • è¥ ¤¢¨¦¥-¨¥ ¯à®¨á室¨â ¯à®â¨¢ ç ᮢ®© áâ५ª¨, ¨
5
¬ë ¡ã¤¥¬ ¢®á¯à¨-¨¬ âì ¥£® ª ª ¤¢¨¦¥-¨¥ ¢ ¯®«®¦¨â¥«ì-®¬ - ¯à ¢«¥-¨¨. ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ¢®§-¨ª ¥â -¥ª®â®à®¥ ®â®¡à ¦¥-¨¥ °(') : [0; 2¼) ! S1, °(0) = A, ᮯ®-
áâ ¢«ïî饥 ª ¦¤®© â®çª¥ °(') 2 S1 ¤«¨-ã ¯ã⨠(¤ã£¨ ®ªàã¦-®áâ¨), à ¢-ãî ',
' 2 (0; 2¼), ª®â®àãî ¬ë ¯à®è«¨ ®â â®çª¨ A ¤® â®çª¨ °(') = B'. ‘®¢¥à訢 ¯®«-
-ë© ®¡®à®â, ¯à®¤®«¦¨¬ ¤¢¨¦¥-¨¥ ¢ ¯®«®¦¨â¥«ì-®¬ - ¯à ¢«¥-¨¨; ¯®-ïâ-®, çâ®, ¯à®©¤ï ¥é¥ à § ®â â®çª¨ A ¤«¨-ã ¯ãâ¨, à ¢-ãî ', ¬ë á-®¢ ¯®¯ ¤¥¬ ¢ â®çªã B',
¨ â. ¤. ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ®â®¡à ¦¥-¨¥ °(') ¥áâ¥á⢥--ë¬ ®¡à §®¬ ¯à®¤®«¦ ¥âáï - [0; 1) á ¯¥à¨®¤®¬ 2¼, â. ¥. °(') = °(' + 2¼n), n 2 N. ’ ª¦¥ ¬ë ¬®¦¥¬ ¡¥§- ®áâ -®¢®ç-® ¤¢¨£ âìáï ¯® ¥¤¨-¨ç-®© ®ªàã¦-®á⨠®â â®çª¨ A ¯® ç ᮢ®© áâ५ª¥
(¤¢¨¦¥-¨¥ ¢ ®âà¨æ ⥫ì-®¬ - ¯à ¢«¥-¨¨), â ª¨¬ ®¡à §®¬ ¯à®¤®«¦ ï ®â®¡à ¦¥-¨¥ °(') 㦥 - (¡1; 0) á ¯¥à¨®¤®¬ 2¼, â.¥. B' = °(' + 2¼n), £¤¥ ¡n 2 N. ‚ á¢ï§¨ á
¢ëè¥áª § --ë¬ ¥áâ¥á⢥--® ¯®« £ âì, çâ® ¢¥«¨ç¨- 㣫 , - ª®â®àë© ¯®¢¥à-ã«áï |
|
¢¥ªâ®à ¡! |
¡! |
OA, £¤¥ O | - ç «® ª®®à¤¨- â (-¥¯®¤¢¨¦-®¥ - ç «® ¢¥ªâ®à |
OA), ¯à¨ |
¤¢¨¦¥-¨¨ ¢¤®«ì S1 ¥£® -¥§ ªà¥¯«¥--®£® ª®-æ ¤® â®çª¨ °('), à ¢- |
'. •ãáâì |
°(') = (x('); y(')), x2(') + y2(') = 1. ˆ§ ¢ëè¥áª § --®£® á«¥¤ã¥â, çâ® äã-ªæ¨¨ |
|
x('), y(') 2¼-¯¥à¨®¤¨ç¥áª¨¥; ªà®¬¥ ⮣®, ®ç¥¢¨¤-®, çâ®
x(') = x(¡') (ç¥â- ï äã-ªæ¨ï);
¡y(') = y(¡') (-¥ç¥â- ï äã-ªæ¨ï):
Ž¡ëç-® ¢¬¥áâ® x(') ¨á¯®«ì§ãîâ ®¡®§- ç¥-¨¥ cos ', ¢¬¥áâ® y(') | ®¡®§- ç¥-¨¥
sin '. ’.¥. ®à⮣®- «ì- ï ¯à®¥ªæ¨ï ¢¥ªâ®à |
|
á - ç «®¬ ¢ â®çª¥ O ¨ ª®-殬 ¢ â®çª¥ |
||||||||||||||
° |
' |
|
OX |
|
¡¡! |
|
|
|
|
A |
|
|
; |
|
' |
|
( |
|
) - ®áì |
|
¥áâì ¢¥ªâ®à OA1, £¤¥ â®çª |
|
|
1 ¨¬¥¥â ª®®à¤¨- âë (0 |
|
cos ), |
®à- |
||||||
⮣®- «ì- ï ¯à®¥ªæ¨ï - |
|
|
|
|
¡¡! |
A2 ¨¬¥¥â ª®®à¤¨- âë |
||||||||||
®áì OY | ¢¥ªâ®à OA2, £¤¥ â®çª |
||||||||||||||||
(sin '; 0). |
|
|
¡! |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
•à¨ ¯®¢®à®â¥ ¢¥ªâ®à |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
OA - 㣮« ¼ (ç⮠ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ⮬ã, çâ® ¬ë ¯à®è«¨ |
|||||||||||
஢-® ç¥â¢¥àâì ¥¤¨-¨ç-®© ®ªàã¦-®á⨠¢ ¯®«®¦¨â¥«ì-®¬ - ¯à ¢«¥-¨¨) â®çª |
A |
|||||||||||||||
¯®¯ ¤ ¥â ¢ â®çªã á ª®®à¤¨- â ¬¨ (0 |
|
1) = |
|
|
. •®áª®«ìªã ¢¥ªâ®àë OA, |
¡¡! ®àâ®- |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
; |
|
A0 |
|
|
¡! |
OA0 |
|
|||
£®- «ì-ë (¯¥à¯¥-¤¨ªã«ïà-ë) ¤à㣠¤àã£ã, ¥áâ¥á⢥--® - §ë¢ âì 㣮« ¼ ¯àï¬ë¬,
2
à áᬠâਢ ¥¬ãî - ¬¨ á¨á⥬㠪®®à¤¨- â ¯àאַ㣮«ì-®©.
“£®« ¬¥¦¤ã ¢¥ªâ®à ¬¨ - ¯«®áª®áâ¨
—â®¡ë ®¯à¥¤¥«¨âì 㣮« ¬¥¦¤ã -¥ª®««¨-¥ à-묨 ¢¥ªâ®à ¬¨ a, b, ᮢ¬¥á⨬ ¨å
- ç « ¯à¨ ¯®¬®é¨ ¯ à ««¥«ì-®£® ¯¥à¥-®á . •¥ 㬥-ìè ï ®¡é-®áâ¨, ¯®« £ ¥¬, çâ® ¨å ®¡é¥¥ - ç «® ᮢ¯ ¤ ¥â á - ç «®¬ ª®®à¤¨- â. •ãáâì jaj = jbj = 1, (x1; y1) =
(cos '1; sin '1) | ª®®à¤¨- âë ¢¥ªâ®à a, (x2; y2) = (cos '2; sin '2) | ª®®à¤¨- âë
6
¢¥ªâ®à |
b, £¤¥ '1 |
, '2 | ã£«ë ¬¥¦¤ã ¢¥ªâ®à ¬¨ e1 ¨ a, e1 ¨ b ᮮ⢥âá⢥--®. ¨ |
||
det |
µ y1 |
y2 |
¶ > 0; â. ¥. ¡ §¨á fa; bg ¯®«®¦¨â¥«ì-® ®à¨¥-â¨à®¢ -. |
(15.1) |
|
x1 |
x2 |
|
|
•ãáâì ' | 㣮« ¬¥¦¤ã a, b, â. ¥. ' = '2 ¡ '1. •®«®¦¨â¥«ì- ï ®à¨¥-â æ¨ï ¡ - §¨á fa; bg íª¢¨¢ «¥-â- ⮬ã, çâ® ªà âç ©è¨© ¯®¢®à®â a ¢®ªà㣠®¡é¥£® - ç « ¢¥ªâ®à®¢, ᮢ¬¥é î騩 a á b, ¯à®¨á室¨â ¯à®â¨¢ ç ᮢ®© áâ५ª¨.
• ©¤¥¬ §- ç¥-¨ï cos ', sin '. ˆ§ ®¯à¥¤¥«¥-¨ï äã-ªæ¨© cos; sin ¢ë⥪ ¥â, çâ®
¤«ï í⮣® ¤®áâ â®ç-® - ©â¨ ®à⮣®- «ì-ãî ¯à®¥ªæ¨î ¢¥ªâ®à |
b - ¯àï¬ãî á - - |
¯à ¢«ïî騬 ¢¥ªâ®à®¬ a, â ª¦¥ ®à⮣®- «ì-ãî ¯à®¥ªæ¨î b - |
¯àï¬ãî á - ¯à ¢- |
«ïî騬 ¢¥ªâ®à®¬ a?, ha; a?i = 0, £¤¥ ¡ §¨á fa; a?g ¯®«®¦¨â¥«ì-® ®à¨¥-â¨à®¢ -,
¯à®å®¤ïéãî ç¥à¥§ ª®-¥æ ¢¥ªâ®à |
b. |
Œë ¨¬¥¥¬ a? = ( |
¡ |
y1; x1); ¤¥©á⢨⥫ì-®, |
||
h(x1; y1); (¡y1; x1)i = 0, det µ¡y1 |
x1 |
¶ = x12 + y12 > 0. Ž¯ãá⨬ ¨§ â®çª¨ (x2; y2) |
||||
|
x1 |
y1 |
|
|
|
|
¯¥à¯¥-¤¨ªã«ïà (x2 ¡ sy1; y2 + sx1) - |
¯àï¬ãî (tx1; ty1). •¥à¥á¥ç¥-¨î íâ¨å ¤¢ãå |
|||||
¯àï¬ëå ᮮ⢥âáâ¢ã¥â á¨á⥬ |
½ y2 + sx1 |
= ty1: |
|
(15.2) |
||
|
|
|||||
|
|
x2 ¡ sy1 |
= tx1; |
|
|
|
Œë ¯®«ã稬 cos ' = t, sin ' = ¡s (§- ª ¬¨-ãá áâ ¢¨âáï ¯®â®¬ã, çâ® ¤¢¨¦¥-¨¥ ®â â®çª¨ (x2; y2) ª ¯àאַ© (tx1; ty1) ¯à®¨á室¨â ¢ ®âà¨æ ⥫ì-®¬ á â®çª¨ §à¥-¨ï
¢ë¡à --®© ®à¨¥-â 樨 - ¯à ¢«¥-¨¨). •¥è ¥¬ á¨á⥬ã (15.2), ¯®«ãç ¥¬, çâ® |
|
sin ' = x1y2 ¡ y1x2; cos ' = x1x2 + y1y2: |
(15.3) |
ˆá¯®«ì§ãï (15.3) ¨ â®â ä ªâ, çâ® ' = '2 ¡ '1, ¬ë ¯®«ãç ¥¬ å®à®è® ¨§¢¥áâ-ë¥ âਣ®-®¬¥âà¨ç¥áª¨¥ ä®à¬ã«ë
cos('2 ¡ '1) = cos '1 cos '2 + sin '1 sin '2; sin('2 ¡ '1) = cos '1 sin '2 ¡ sin '1 cos '2:
…᫨ ¢¥ªâ®àë a; b â ª®¢ë, çâ® ¡ §¨á fa; bg ®âà¨æ ⥫ì-® ®à¨¥-â¨à®¢ -, â.¥. ªà â- ç ©è¨© ¯®¢®à®â a ¢®ªà㣠®¡é¥£® - ç « ¢¥ªâ®à®¢, ᮢ¬¥é î騩 a á b, ¯à®¨á室¨â
¯® ç ᮢ®© áâ५ª¥, â® ¢ ᨫã ç¥â-®á⨠äã-ªæ¨¨ cos ¨ -¥ç¥â-®á⨠äã-ªæ¨¨ sin ¬ë ¨¬¥¥¬
sin ' = x2y1 ¡ y2x1; cos ' = x1x2 + y1y2:
ˆ§ ¢ëè¥áª § --®£® ¢ë⥪ ¥â, çâ® ª®á¨-ãá 㣫 \ab ¬¥¦¤ã «î¡ë¬¨ -¥ª®««¨-¥-
à-묨 ¢¥ªâ®à ¬¨ a; b à ¢¥- |
hjajjbij : |
|
cos ¡\a; b¢ = |
(15.4) |
|
|
a; b |
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
Žà¨¥-â æ¨ï ¡ §¨á |
fa; bg ¢«¨ï¥â - §- ª á¨-ãá |
| ¡ §¨á fa; bg ¯®«®¦¨â¥«ì-® (®â- |
|||||
|
…᫨ ¢¥ |
|
¡ a; b |
¢ |
|
\ab |
|
à¨æ ⥫ì-®) ®à¨¥-â¨à®¢ -, sin |
\a; b |
> 0(< 0). |
|
|
|
||
‡ ¬¥ç -¨¥ 15.2. |
|
ªâ®àë |
ª®««¨-¥ à-ë, â® ª®á¨-ãá 㣫 |
|
à ¢¥- 1, |
||
¥á«¨ a; b á®- ¯à ¢«¥-ë, ¨ à ¢¥- -1, ¥á«¨ a; b à §-®- ¯à ¢«¥-ë. |
|
|
|||||
|
“£®« ¬¥¦ã ¯àï¬ë¬¨ - |
¯«®áª®á⨠|
|
|
|||
• áᬮâਬ ¯àï¬ë¥ l1; l2 á - ¯à ¢«ïî騬¨ ¢¥ªâ®à ¬¨ a; b. “£®« ¬¥¦¤ã ¯àï- ¬ë¬¨ l1; l2 | í⮠㣮« ¢¥ªâ®à ¬¨ a; b. •ãáâì ¯àï¬ë¥ l1; l2 § ¤ -ë ãà ¢-¥-¨ï¬¨ Ax + By + C = 0, A1 + B1y + C1 = 0. ’®£¤ - ¯à ¢«ïî騥 ¢¥ªâ®àë ¯àï¬ëå l1; l2 | ¢¥ªâ®àë (¡B; A), (¡B1; A1) ᮮ⢥âá⢥--®, á«¥¤®¢ ⥫ì-®, ¢ í⮬ á«ãç ¥ 㣮« \l1l2 ¬¥¦¤ã ¯àï¬ë¬¨ l1; l2 ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¨§ ä®à¬ã«ë
AA1 + BB1
cos(\l1l2) = pA2 + B2pA21 + B12 :
Žà¨¥-â¨à®¢ -- ï ¯«®é ¤ì ¯ à ««¥«®£à ¬¬
•à¥¦¤¥ ¢á¥£® - ¯®¬-¨¬, çâ® ¯«®é ¤ì ¯ à ««¥«®£à ¬¬ | ¯à®¨§¢¥¤¥-¨¥ ®á-®¢ - -¨ï - ¢ëá®âã. ‘âண®¥ ®¡®á-®¢ -¨¥ í⮣® ä ªâ ¡ã¤¥â ¤ -® ¢ ªãàᥠ¬ ⥬ â¨ç¥áª®-
£® |
- «¨§ ¯à¨ ¨§ãç¥-¨¨ ¤¢®©-®£® ¨-â¥£à « . Œë ¡ã¤¥¬ ¨á¯®«ì§®¢ âì ¤ --ë© ä ªâ |
|||||
ª ª |
¯à¨®à-ë© ¯à¨ ¢ë¢®¤¥ ä®à¬ã«ë ®à¨¥-â¨à®¢ --®© ¯«®é ¤¨ ¯ à ««¥«®£à ¬¬ . |
|||||
„«ï ®¯à¥¤¥«¥-¨ï ®à¨¥-â¨à®¢ --®© ¯«®é ¤¨ ¯ à ««¥«®£à ¬¬ |
à áᬮâਬ «¨-¥©- |
|||||
-® -¥§ ¢¨á¨¬ë¥ ¢¥ªâ®àë ¡! |
¡! |
f |
|
g |
|
|
|
AB = a, AC = b â ª¨¥, çâ® ¡ §¨á |
|
a; b |
|
®¤-®¨¬¥-¥- á |
|
¡ §¨á®¬ fe1; e2g. ’®£¤ ¯®« £ ¥¬, çâ® - ¯à ¢«¥-- ï ¯«®é ¤ì ¯ à ««¥«®£à ¬¬ á ®á-®¢ -¨¥¬ a ¨ ¢ëá®â®©, ®¯ãé¥--®© ¨§ â®çª¨ C - ¯àï¬ãî, ᮤ¥à¦ éãî ¢¥ªâ®à a, à ¢- S(a; b) = jajjhbj, £¤¥ hb | ¢¥ªâ®à, ¯¥à¥¯¥-¤¨ªã«ïà-ë© ¯àאַ©, ᮤ¥à¦ 饩 ¢¥ªâ®à a, á - ç «®¬ - í⮩ ¯àאַ© ¨ ª®-殬 ¢ â®çª¥ C (®à⮣®- «ì- ï ¯à®¥ªæ¨ï ¢¥ªâ®à b - - ¯à ¢«¥-¨¥, ¯¥à¯¥-¤¨ªã«ïà-®¥ ¢¥ªâ®àã a). •®áª®«ìªã fa; bg ®¤-®- ¨¬¥-¥- á ¡ §¨á®¬ fe1; e2g, á¨-ãá 㣫 ¬¥¦¤ã ¢¥ªâ®à ¬¨ a, hb à ¢¥- 1 (¢¥ªâ®à a | ¯¥à¢ë©, ¢¥ªâ®à hb | ¢â®à®©). …᫨ ¦¥ ¡ §¨á fa; bg à §-®¨¬¥-¥- á ¡ §¨á®¬ fe1; e2g, â® - ¯à ¢«¥-- ï ¯«®é ¤ì ¯ à ««¥«®£à ¬¬ á ®á-®¢ -¨¥¬ a ¨ ¢ëá®â®©, ®¯ãé¥--®©
¨§ â®çª¨ C - ¯àï¬ãî, ᮤ¥à¦ éãî ¢¥ªâ®à a, à ¢- S(a; b) = ¡jajjhbj. •®-ï⨥ - -
¯à ¢«¥--®© ¯«®é ¤¨ íª¢¨¢ «¥-â-® á«¥¤ãî饩 § ¤ ç¥: ¬ë å®â¨¬ - ©â¨ ª®«¨ç¥á⢮ ¦¨¤ª®áâ¨, ¢ë⥪ î饩 ç¥à¥§ ®á-®¢ -¨¥ a ¢ - ¯à ¢«¥-¨¨ b § ¥¤¨-¨æ㠢६¥-¨. ˆ§
¥áâ¥á⢥--ëå á®®¡à ¦¥-¨© ¯®-ïâ-®, çâ® ª®«¨ç¥á⢮ ¦¨¤ª®áâ¨ à ¢-® ¯«®é ¤¨ ¯ - à ««¥«®£à ¬¬ , - âï-ã⮣® - fa; bg, -® ¯à¨ í⮬ -¥®¡å®¤¨¬® à §«¨ç âì á¨âã 樨
ý¢ë⥪ -¨ïþ ¦¨¤ª®á⨠ç¥à¥§ a ¨ ý¢â¥ª -¨ïþ ¦¨¤ª®á⨠ç¥à¥§ a. •â® ª®-¥ç-® ¦¥ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ⥬, ªã¤ - ¯à ¢«¥- ⮪ ¦¨¤ª®á⨠b ¯® ®â-®è¥-¨î ª ®á-®¢ -¨î a.
8
‘ ¬ ⥬ â¨ç¥áª®© â®çª¨ §à¥-¨ï íâ® ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ®¤-®¨¬¥--®áâìî (à §-®¨¬¥--®- áâìî) ¡ §¨á®¢ fa; bg ¨ fe1; e2g.
’¥¯¥àì à áᬮâਬ ¯ à ««¥«®£à ¬¬, - âï-ãâë© - ¢¥ªâ®àë fa; ¡bg. •«®é ¤ì
â ª®£® ¯ à ««¥«®£à ¬¬ ¯® ¯®-ïâ-ë¬ ¯à¨ç¨- ¬ ç¨á«¥--® à ¢- ¯«®é ¤¨ ¯ à «- «¥«®£à ¬¬ , - âï-ã⮣® - ¢¥ªâ®àë fa; bg, ®¤- ª® ¡ §¨á fa; ¡bg à §-®¨¬¥-¥- á ¡ -
§¨á®¬ fa; bg, ¯®í⮬ã S(a; ¡b) = ¡S(a; b).
…᫨ ¬ë ¬¥-塞 ஫ﬨ a, b, â.¥. b áâ -®¢¨âáï ®á-®¢ -¨¥¬, â® ¡ §¨á fb; ag à §-®- ¨¬¥-¥- á ¡ §¨á®¬ fa; bg, ¨ ¯®í⮬ã S(a; b) = ¡S(b; a), â.¥. ®à¨¥-â¨à®¢ -- ï ¯«®é ¤ì
ª®á®á¨¬¬¥âà¨ç- .
• áᬮâਬ ¢¥«¨ç¨-ã S(a; b1+b2). Œë ¨¬¥¥¬ S(a; b1+b2) = jajjhb1+b2 j, ¥á«¨ ¡ §¨á fa; b1 + b2g ®¤-®¨¬¥-¥- á ¡ §¨á®¬ fe1; e2g, ¨«¨ ¦¥ S(a; b1 + b2) = ¡jajjhb1+b2 j, ¥á«¨ ¡ §¨á fa; b1 +b2g à §-®¨¬¥-¥- á ¡ §¨á®¬ fe1; e2g. ‘ ¤à㣮© áâ®à®-ë, ®à⮣®- «ì- ï
¯à®¥ªæ¨ï hb1+b2 ¢¥ªâ®à b1 + b2 - |
- ¯à ¢«¥-¨¥, ¯¥à¯¥-¤¨ªã«ïà-®¥ - ¯à ¢«¥-¨î |
a, ®ç¥¢¨¤-® à ¢- á㬬¥ hb1 +hb2 |
®à⮣®- «ì-ëå ¯à®¥ªæ¨© ¢¥ªâ®à®¢ b1; b2 - - - |
¯à ¢«¥-¨¥, ¯¥à¯¥-¤¨ªã«ïà-®¥ - ¯à ¢«¥-¨î a, á«¥¤®¢ ⥫ì-®, ¢¥«¨ç¨-ã S(a; b1 +b2) ¬®¦-® à áᬠâਢ âì ª ª á㬬ã 2-å - ¯à ¢«¥--ëå ¯«®é ¤¥© á ®á-®¢ -¨¥¬ a á ¢ë- á®â ¬¨ hb1 ¨ hb2 ᮮ⢥âá⢥--®, â.¥. S(a; b1 + b2) = S(a; b1) + S(a; b2).
ˆ§ í«¥¬¥-â à-ëå £¥®¬¥âà¨ç¥áª¨å à áᬮâà¥-¨© á«¥¤ã¥â, çâ® jhtbj = jtjjhbj. •ãáâì ¡ §¨á fa; bg ¯®«®¦¨â¥«ì-® ®à¨¥-â¨à®¢ -. ’®£¤ : ¥á«¨ t > 0, â® ¡ §¨á fa; tbg, ¯®«®- ¦¨â¥«ì-® ®à¨¥-â¨à®¢ -) S(a; tb) = jajjtjjhbj = tS(a; b); ¥á«¨ t < 0, â® ¡ §¨á fa; tbg ®âà¨æ ⥫ì-® ®à¨¥-â¨à®¢ - ) S(a; tb) = ¡jajjhtbj = tjajjhbj = tS(a; b). •ãáâì ¡ §¨á fa; bg ®âà¨æ ⥫ì-® ®à¨¥-â¨à®¢ -. ’®£¤ : ¥á«¨ t > 0, â® ¡ §¨á fa; tbg ®âà¨æ ⥫ì-® ®à¨¥-â¨à®¢ -) S(a; tb) = ¡jajjtjjhbj = tS(a; b); ¥á«¨ t < 0, â® ¡ §¨á fa; tbg ¯®«®¦¨- ⥫ì-® ®à¨¥-â¨à®¢ - ) S(a; tb) = jajjhtbj = ¡tjajjhbj = tS(a; b).
’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ¬ë ¯®ª § «¨, çâ® ®à¨¥-â¨à®¢ -- ï ¯«®é ¤ì «¨-¥©- ¯® 2-¬ã à£ã¬¥-âã, â.¥.
S(a; t1b1 + t2b2) = t1S(a; b1) + t2S(a; b2):
€ ¯®áª®«ìªã ®à¨¥-â¨à®¢ -- ï ¯«®é ¤ì ª®á®á¨¬¬¥âà¨ç- , â®
S(a; b1 + b2) = ¡S(b1 + b2; a) = ¡S(b1; a) ¡ S(b2; a)
) S(b1 + b2; a) = S(b1; a) + S(b2; a);
S(a; tb) = ¡S(tb; a) = ¡tS(b; a) ) S(tb; a) = tS(b; a);
®âªã¤ á«¥¤ã¥â, çâ® ®à¨¥-â¨à®¢ -- ï ¯«®é ¤ì «¨-¥©- ¨ ¯® ¯¥à¢®¬ã à£ã¬¥-âã.
‡ ¬¥â¨¬, çâ® S(e1; e2) = 1 (¯«®é ¤ì ¥¤¨-¨ç-®£® ª¢ ¤à â à ¢- ¥¤¨-¨æ¥).
9
’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ¯® ã⢥ত¥-¨î 14.1 S(a; b) | ®à¨¥-â¨à®¢ -- ï ä®à¬ ®¡ê¥¬ ¢ R2. ’.¥. ¥á«¨ (a1; a2) | ª®®à¤¨- âë ¢¥ªâ®à a, (b1; b2) | ª®®à¤¨- âë ¢¥ªâ®à b, â®
S(a; b) = a1b2 ¡ a2b1: |
(15.5) |
“ç¨âë¢ ï ä®à¬ã«ã ¤«ï á¨-ãá ¨§ (15.3), ¯®«ãç ¥¬, çâ® |
|
S(a; b) = jajjbj sin ¡\ab¢: |
(15.6) |
ˆá¯®«ì§ãï ä®à¬ã«ã (15.5), ¬ë ¯®«ãç ¥¬ ä®à¬ã«ã ¤«ï ¢ëç¨á«¥-¨ï ¯«®é ¤¨ ¯ - à ««¥«®£à ¬¬ (¡¥§®â-®á¨â¥«ì-® ⮣®, ª ª ®à¨¥-â¨à®¢ - ¡ §¨á fa; bg):
|
jS(a; b)j = sdet |
b1 b2 |
a2 |
b2 |
|
= sdet |
ha; bi |
hb; bi |
: |
||||
|
|
|
|
µ |
a1 a2 |
¶µ |
|
¶ |
|
|
µ h i |
h i ¶ |
|
|
|
|
|
|
a1 b1 |
|
|
|
a; a |
a; b |
|
||
|
|
|
|
•®«ïà- ï á¨á⥬ |
ª®®à¤¨- â |
|
|
||||||
•®«ïà- ï á¨á⥬ ª®®à¤¨- â - |
¥¢ª«¨¤®¢®© ¯«®áª®á⨠¢¢®¤¨âáï ¯à¨ ¯®¬®é¨ |
||||||||||||
ä®à¬ã« |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
x = r cos '; |
y = r sin '; |
|
|
(15.6) |
|||||
•ˆ…!!!! |
à ¤¨ãá-¢¥ªâ®à â®çª¨ (x; y), ' = arctg y |
|
|||||||||||
£¤¥ r = |
x2 + y2 | ¤«¨- |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x . (‚•ˆŒ€- |
|
|
‘«¥¤ã¥â § ¯®¬-¨âì à § ¨ - ¢á¥£¤ , çâ® ¢ ¤«¨- |
à ¤¨ãá-¢¥ªâ®à |
| ¢á¥£¤ |
||||||||||
-¥®âà¨æ ⥫ì-®¥ ç¨á«®.) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
ˆ§ ®¯à¥¤¥«¥-¨ï ¯®«ïà-®© á¨áâ¥¬ë ª®®à¤¨- â á«¥¤ã¥â, çâ® ¤«ï «î¡®© â®çª¨ á ª®- ®à¤¨- â ¬¨ (x; y), x2 + y2 =6 0, - ©¤ãâáï ¥¤¨-á⢥--ë¥ ç¨á« r 2 (0; 1), ' 2 [0; 2¼)
в ª¨¥, з⮠⮦¤¥бв¢ (15.6) ¢л¯®«-повбп. • з «г ª®®а¤¨- в (0; 0) -¥«ì§ï ®¤-®- §- ç-® ᮯ®áâ ¢¨âì §- ç¥-¨¥ '. “£®« ' - §ë¢ ¥âáï ¯®«ïà-ë¬ ã£«®¬, ¨«¨ ¬¯«¨- â㤮©, r | ¯®«ïà-ë¬ à ¤¨ãᮬ. ˆ-®£¤ ¡ë¢ ¥â 楫¥á®®¡à §-® à áᬠâਢ âì ¯®-
«ïà-ë© ã£®«, ¯à¨-¨¬ î騩 §- ç¥-¨¥ - ¢á¥© ¢¥é¥á⢥--®© ®á¨. € ¨¬¥--®, 䨪- á¨à㥬 â®çªã O (¯®«îá) ¨ ¢ë¯ã᪠¥¬ ¨§ -¥¥ -¥ª®â®àë© «ãç (¯®«ïà- ï ®áì), -
ª®â®à®© ®¯à¥¤¥«¥- ¥¤¨-¨æ ¨§¬¥à¥-¨ï ¤«¨-ë. ’®£¤ â®çª M - ¯«®áª®áâ¨ á ¯®«ïà-묨 ª®®à¤¨- â ¬¨ ('; r) áâநâáï á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬: ¢à é ï ¯®«ïà-ãî ®áì ¯à®â¨¢ ç ᮢ®© áâ५ª¨, ¥á«¨ ' > 0 (¯® ç ᮢ®© áâ५ª¥, ¥á«¨ ' < 0), - 室¨¬ ᮮ⢥âáâ¢ãî騩 㣫ã ', ' 2 R, «ãç, - ª®â®à®¬ ®âª« ¤ë¢ ¥¬ ®â१®ª ¤«¨-ë r; ¥£® ª®-¥æ | â®çª M.
ˆá¯®«ì§ãï ¢ëè¥áª § --®¥, ¬ë - áâ®ï⥫ì-® ४®¬¥-¤ã¥¬ ¯®áâநâì ¢ á奬 â¨- ç¥áª¨¥ £à 䨪¨ äã-ªæ¨© r = ' (á¯¨à «ì €à娬¥¤ ), r = sin 2' (¤¢ã«¨áâ-¨ª).