Аналитическая геометрия - А.В. Грешнов / Lecture11
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„ â : 17.11.2012.
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Ž¯à¥¤¥«¥-¨¥ 11.1. • §¨áë fe1; : : : ; eng, |
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dim V = n, - §ë¢ îâáï ®¤-®¨¬¥--묨, ¥á«¨ det C > 0, £¤¥ C = |
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Ž¯à¥¤¥«¥-¨¥ 11.2. €ää¨--ë¥ á¨áâ¥¬ë ª®®à¤¨- â (O; e1; : : : ; en), (O1; e~1; : : : ; e~n) ®¤-®£® ¨ ⮣® ¦¥ V ää, dim V ää = n, - §ë¢ îâáï ®¤-®¨¬¥--묨 (à §-®¨¬¥--ë- ¬¨), ¥á«¨ ®¤-®¨¬¥--ë (à §-®¨¬¥--ë) ¡ §¨áë fe1; : : : ; eng, fe~1; : : : ; e~ng.
Ž¯à¥¤¥«¥-¨¥ 11.3. Š« ááë ®¤-®¨¬¥--ëå ¡ §¨á®¢ (ª®®à¤¨- â-ëå á¨á⥬) - §ë- ¢ îâáï ®à¨¥-â æ¨ï¬¨ ¢.¯. V ( ää¨--®£® ¯à®áâà -á⢠V ää).
‘¢®©á⢮ 11.1. Ž¤-®¨¬¥--®áâì ¡ §¨á®¢ | íâ® ®â-®è¥-¨¥ íª¢¨¢ «¥-â-®áâ¨.
„®ª § ⥫ìá⢮. |
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¡§¨áã fe1; : : : ; eng C > 0 (á¬. «¥ªæ¨î ü10).
30 (âà -§¨â¨¢-®áâì). …᫨ ¡ §¨áë fe1; : : : ; eng, fe~1; : : : ; e~ng ®¤-®¨¬¥--ë, (¬ âà¨- æ ¯¥à¥å®¤ A, det A > 0), ¡ §¨áë fe~1; : : : ; e~ng, fe^1; : : : ; e^ng ®¤-®¨¬¥--ë, (¬ âà¨æ
¯¥à¥å®¤ |
B, det B > 0), â® ¡ §¨áë fe1; : : : ; eng ®¤-®¨¬¥--ë á ¡ §¨á®¬ fe^1; : : : ; e^ng |
(¬ âà¨æ |
¯¥à¥å®¤ AB, det AB = det A det B > 0). ¥ |
•®-ïâ-®, çâ® áãé¥áâ¢ãîâ ⮫쪮 ¤¢¥ ®à¨¥-â 樨: ¡ §¨áë (ª®®à¤¨- â-ë¥ á¨áâ¥- ¬ë), ¯à¨- ¤«¥¦ 騥 ®¤-®© ®à¨¥-â 樨, ®¤-®¨¬¥--ë, à §-ë¬ | à §-®¨¬¥--ë.
Ž¡ëç-® ¯à¨å®¤¨âáï ®¯à¥¤¥«ïâì ®¤-®¨¬¥--®áâì ¨«¨ à §-®¨¬¥--®áâì ¡ §¨á®¢
fa1; : : : ; ang; fb1; : : : ; bng;
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¢¥ªâ®àë ª®â®àëå § ¤ -ë ¨å ª®®à¤¨- â ¬¨ ¢ -¥ª®â®à®¬ âà¥â쥬 (ª -®-¨ç¥áª®¬) ¡ §¨á¥ fe1; : : : ; eng. •ãáâì A; B | ¬ âà¨æë ¯¥à¥å®¤ ®â ¡ §¨á fe1; : : : ; eng ª ¡ -
§¨á ¬ fa1; : : : ; ang, fb1; : : : ; bng ᮮ⢥âá⢥--®. ‚ ¤ --®© á¨âã 樨 ®à¨¥-â æ¨ï ¨
®¤-®¨¬¥--®áâì ¡ §¨á®¢ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬.
Ž¯à¥¤¥«¥-¨¥ 11.4. • §¨á fa1; : : : ; ang ¯®«®¦¨â¥«ì-® (®âà¨æ ⥫ì-®) ®à¨¥-â¨à®- ¢ - , det A > 0 (det A < 0).
Ž¯à¥¤¥«¥-¨¥ 11.5. • §¨áë fa1; : : : ; ang, fb1; : : : ; bng ®¤-®¨¬¥--ë (à §-®¨¬¥--ë) , det A det B > 0 (det A det B < 0).
Žâ¬¥â¨¬, çâ® ¢ á¨âã 樨 ¢ë¡®à ª -®-¨ç¥áª®£® ¡ §¨á fe1; : : : ; eng á ¬ ⥬ â¨-
ç¥áª®© â®çª¨ §à¥-¨ï áãé¥áâ¢ã¥â ¯à®¨§¢®«. ’ ª, - ¯à¨¬¥à, - ¯àאַ© ¢ë¡®à ®à¨- ¥-â 樨 | íâ® ¢ë¡®à ®¤-®£® ¨§ ¤¢ãå ¢®§¬®¦-ëå - ¯à ¢«¥-¨© ¤¢¨¦¥-¨ï (®¡ëç-®
¯®«®¦¨â¥«ì-®¥ | ¤¢¨¦¥-¨¥ á«¥¢ - ¯à ¢®), ¢ R2 ª -®-¨ç¥áª¨© ¡ §¨á e1; e2 | íâ®
â ª®© ¡ §¨á, çâ®, ¡ã¤ãç¨ ¯à¨«®¦¥--묨 ª ®¤-®© â®çª¥, ¯ã⥬ ¯®¢®à®â ¯à®â¨¢ ç - ᮢ®© áâ५ª¨ ¯® ªà âç ©è¥¬ã ¯ã⨠¬ë ¬®¦¥¬ ᮢ¬¥áâ¨âì ¢¥ªâ®à e1 á ¢¥ªâ®à®¬
e2. •¥-ã«¥¢ë¥ -¥ª®¬¯« - à-ë¥ ¢¥ªâ®àë fe1; e2; e3g ¢ R3, ¯à¨«®¦¥--ë¥ ª ®¤-®© â®çª¥, - §ë¢ îâáï ¯à ¢®© âனª®©, ¥á«¨ ¯®¢®à®â ¢¥ªâ®à e1, ᮢ¬¥é î騩 ¥£® ¯® ªà âç ©è¥¬ã ¯ãâ¨ á ¢¥ªâ®à®¬ e2, ᮢ¥àè ¥âáï ¯à®â¨¢ ç ᮢ®© áâ५ª¨ ¤«ï - ¡«î- ¤ ⥫ï, £« § ª®â®à®£® ¯®¬¥é ¥âáï - ª®-æ¥ ¢¥ªâ®à e3. •à ¢ ï âனª ®¡ëç-® ¨ à áᬠâਢ ¥âáï ¢ ª ç¥á⢥ ª -®-¨ç¥áª®£® ¡ §¨á ¢ R3.
•ãáâì ¢ ¢.¯. V , dim V = 3, ¡ §¨á fa; b; cg ¯®«®¦¨â¥«ì-® ®à¨¥-â¨à®¢ -. •¥á«®¦- -® ¯à®¢¥à¨âì, çâ® ¢ í⮬ á«ãç ¥ âனª¨ ¢¥ªâ®à®¢ fb; c; ag, fc; a; bg ¯®«®¦¨â¥«ì- -® ®à¨¥-â¨à®¢ -ë, âனª¨ fb; a; cg, fa; c; bg, fc; b; ag ®âà¨æ ⥫ì-® ®à¨¥-â¨à®¢ -
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â®à®¬ ¢.¯. ¡ §¨á fa1; : : : ; ak; ak+1; : : : ; ang ¯®«®¦¨â¥«ì-® ®à¨¥-â¨à®¢ -, â® ¡ §¨á fa1; : : : ; ak+1; ak; : : : ; ang ®âà¨æ ⥫ì-® ®à¨¥-â¨à®¢ - (í⮠ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ⮬ã, çâ®
¢ ¬ âà¨æ¥ ¯¥à¥å®¤ |
®â ¡ §¨á fa1; : : : ; ak; ak+1; : : : ; ang ª ª -®-¨ç¥áª®¬ã ¡ §¨áã |
fe1; : : : ; eng ᤥ« - |
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Žâ-®è¥-¨¥ íª¢¨¢ «¥-â-®á⨠¡ §¨á®¢ (¨ ¯®-ï⨥ ®à¨¥-â 樨) ¢ ¢.¯. V ¬®¦-® ®¯¨á âì ¨ ¤à㣨¬ ᯮᮡ®¬, -¥ á¢ï§ --ë¬ -¥¯®á।á⢥--® á ¬ âà¨æ ¬¨ ¯¥à¥å®¤ .
Ž¯à¥¤¥«¥-¨¥ 11.6. ‚¥ªâ®à-äã-ªæ¨ï f(t) -¥¯à¥àë¢- , ¥á«¨ ¢ ª®®à¤¨- â-®¬ ¯à¥¤- áâ ¢«¥-¨¨ f(t) = Pn fi(t)ei : [a; b] ! V äã-ªæ¨¨ fi(t), i = 1; : : : ; n, -¥¯à¥àë¢-ë.
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‘¢®©á⢮ 11.2. Ž¯à¥¤¥«¥-¨¥ -¥¯à¥àë¢-®á⨠-¥ § ¢¨á¨â ®â ¢ë¡®à ¡ §¨á .
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„®ª § ⥫ìá⢮. • áᬮâਬ -¥¯à¥àë¢-ãî ¢¥ªâ®à-äã-ªæ¨î f(t) = f~i(t)~ei. •ãáâì
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Ž¡®§- 稬 ç¥à¥§ BV ¬-®¦¥á⢮ ¢á¥å ¡ §¨á®¢ ¢.¯. V .
Ž¯à¥¤¥«¥-¨¥ 11.7. „¥ä®à¬ æ¨ï ¡ §¨á®¢ X; Y 2 BV | íâ® ¯ãâì (-¥¯à¥àë¢-®¥ ®â®¡à ¦¥-¨¥) F : [®; ¯] ! BV â ª®©, çâ® f(®) = X, f(¯) = Y .
Ž¯à¥¤¥«¥-¨¥ 11.8. Žâ®¡à ¦¥-¨¥ F : [®; ¯] ! BV -¥¯à¥àë¢-®, ¥á«¨ ª®íää¨æ¨¥--
âë ¬ âà¨æë ¯¥à¥å®¤ |
®â ¡ §¨á fe1; : : : ; eng ª ¡ §¨áã F (t) -¥¯à¥àë¢-ë¥ äã-ªæ¨¨. |
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¢¬¥áâ® ®â®¡à ¦¥-¨ï F , ®¯à¥¤¥«¥--®£® - [®; ¯] ¬®¦-® à á- |
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ᬠâਢ âì ®â®¡à ¦¥-¨¥ F , ®¯à¥¤¥«¥--®¥ - [0; 1]: F = F (® + t(¯ ¡ ®)). |
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‘¢®©á⢮ 11.3. Žâ-®èe¥-¨¥ ¤¥ä®à¬¨à㥬®á⨠¡e§¨á®¢ | ®â-®è¥-¨¥ íª¢¨¢ - |
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¤¥ä®à¬ æ¨ï ¡ §¨á |
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€ ª ª ¯®áâநâì ¤¥ä®à¬ æ¨î ¡ §¨á X ¢ ¡ §¨á W , ®¯à¥¤¥- |
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«¥--ãî - [0; 1], ¥á«¨ § ¤ -ë ¤¥ä®à¬ 樨 F; G; P ¡ §¨á®¢ X ¢ Y , Y ¢ Z, Z ¢ W , ®¯à¥¤¥«¥--ë¥ - [0; 1]? • áᬮâਬ ¤¥ä®à¬ æ¨î H ¨§ ¯ã-ªâ 30 ᢮©á⢠11.3,
¯®á«¥ ¤¥ä®à¬ æ¨î |
H(2t); t [0; 1=2]; |
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T (t) = ½ P (2t ¡ 1); |
2 t 2 [1=2; 1]; |
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¡ §¨á X ¢ ¡ §¨á W , ®¯à¥¤¥«¥--ãî - [0; 1].
’¥®à¥¬ 11.1. •ãáâì áãé¥áâ¢ã¥â ¤¥ä®à¬ æ¨ï ¡ §¨á®¢ A; B 2 BV . ’®£¤ ¡ §¨áë A; B ®¤-®¨¬¥--ë.
„®ª § ⥫ìá⢮. •ãáâì °(t) : [0; 1] ! BV , °(0) = A, °(1) = B, | ¤¥ä®à¬ æ¨ï ¡ §¨á A ¢ ¡ §¨á B. Ž¡®§- 稬 ç¥à¥§ ¬ âà¨æã ¯¥à¥å®¤ ®â ¡ §¨á A ª ¡ §¨áã °(t). •®-ïâ-®, çâ® ¤«ï ª ¦¤®£® t ¢ë¯®«-ï¥âáï det C°(t) =6 0; á ¤à㣮© áâ®à®-ë, äã-ªæ¨ï det C°(t) -¥¯à¥àë¢- - [0; 1], ¨ ¥á«¨ ¡ë â ª á«ã稫®áì, çâ® det C°(1) < 0, â® ¯®
⥮६¥ Š®è¨ ® ¯à®¬¥¦ãâ®ç-ëå §- ç¥-¨ïå ¤«ï -¥¯à¥àë¢-®© äã-ªæ¨¨ - è« áì ¡ë â®çª t0 2 (0; 1) â ª ï, çâ® det C°(t0) = 0, ç⮠ï¥âáï ¯à®â¨¢®à¥ç¨¥¬. ‡- ç¨â,
¬ âà¨æ ¯¥à¥å®¤ ®â ¡ §¨á A ª ¡ §¨áã B ¨¬¥¥â ¯®«®¦¨â¥«ì-ë© ®¯à¥¤¥«¨â¥«ì, ¨ ¯®í⮬㠡 §¨áë A; B ®¤-®¨¬¥--ë. ¥
‚ ¤ «ì-¥©è¥¬ - ¬ ¡ã¤¥â ¯à®é¥ ®¯¥à¨à®¢ âì -¥ á ¡ §¨á ¬¨, á -¥¢ë஦¤¥--ë- ¬¨ ¬ âà¨æ ¬¨. •â® á¢ï§ -® á ⥬, çâ®, 䨪á¨àãï -¥ª®â®àë© (ª -®-¨ç¥áª¨©) ¡ §¨á
fe1; : : : ; eng, «î¡®© ¡ §¨á fa1; : : : ; ang ¢.¯. V ¯®«-®áâìî å à ªâ¥à¨§ã¥âáï ¬ âà¨æ¥© ¯¥à¥å®¤ A ®â ¡ §¨á fe1; : : : ; eng ª ¡ §¨áã fa1; : : : ; ang. ‘ í⮩ â®çª¨ §à¥-¨ï ¬ë ¬®¦¥¬ £®¢®à¨âì ® ¤¥ä®à¬ 樨 ¡ §¨á fa1; : : : ; ang ¢ ¡ §¨á fb1; : : : ; bng ª ª ® ¤¥ä®à- ¬ 樨 ¬ âà¨æ ¯¥à¥å®¤ A; B ¡ §¨á fe1; : : : ; eng ¢ ¡ §¨áë fa1; : : : ; ang, fb1; : : : ; bng ᮮ⢥âá⢥--® ¢ £à㯯¥ -¥¢ë஦¤¥--ëå ¬ âà¨æ GL(n).
’¥®à¥¬ 11.2. •ãáâì A 2 GL(n), det A > 0. ’®£¤ áãé¥áâ¢ã¥â ¤¥ä®à¬ æ¨ï °(t) : [0; 1] ! GL(n) â ª ï, çâ® °(0) = A, °(1) = E (¥¤¨-¨ç- ï ¬ âà¨æ ), det °(t) > 0
8t 2 [0; 1]. |
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