Аналитическая геометрия - В.М. Гордиенко / Lecture 1-9
.pdf
Векторное произведение в ортонормированном базисе
Пусть i; j; k ортонормированный положит. ориентирован. базис.
Если a = a1i + a2j + a3k ; b = b1i + b2j + b3k , то
|
|
|
i |
j |
|
k |
|
= |
b2 |
b3 |
i |
b1 |
b3 j + |
b1 |
|
||||||
a b = b1 |
b2 |
|
b3 |
|
|||||||||||||||||
|
|
1 |
2 |
|
3 |
|
|
|
a2 |
a3 |
|
|
|
a1 |
a3 |
|
|
a1 |
|
||
|
|
a |
a |
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Или, если |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2a3b1 |
a1b33 |
|
|||||||
a = |
2a23 |
; b = |
2b23; то a b = |
, |
|||||||||||||||||
|
a1 |
|
|
|
|
b1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
a2b3 |
a3b2 |
|
||||
|
4a35 |
|
|
|
4b35 |
|
0 |
|
|
|
4a1b2 a2b15 |
|
|||||||||
а также |
a b = |
2 a3 |
|
|
a1 |
3 2b2 |
3: |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
a3 |
a2 |
|
|
b1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 a2 |
|
a1 |
|
0 |
5 4b35 |
|
|
|
|
|
|||||
a2 .
k b2
Аналитическая геометрия (1-ый сем.) |
Лекция 9 |
29 октября 2011 г. |
31 / 35 |
Смешанное произведение в ортонормированном базисе
Пусть i; j; k ортонормированный |
||||
положительно ориентированный базис и |
||||
a = a1i + a2j + a3k ; b = b1i + b2j + b3k ; |
||||
c = c1i + c2j + c3k |
тогда , |
|||
(a; b; c) = det 2a2 |
b2 |
c2 |
3. |
|
a1 |
b1 |
c1 |
5 |
|
4a3 |
b3 |
c3 |
|
|
ha; bi = 0 |
() |
векторы a и b перпендикулярны |
a b = 0 |
() |
векторы a и b коллинеарны |
(a; b; c) = 0 |
() |
векторы a; b; c компланарны |
Аналитическая геометрия (1-ый сем.) |
Лекция 9 |
29 октября 2011 г. |
32 / 35 |
Двойное векторное произведение
Замечание
Векторное произведение неассоциативно: a b c 6= a b c
Утверждение
a b c = b ha; ci c ha; bi.
Утверждение (тождество Якоби)
a b c + b c a + c a b = 0 .
Утверждение |
hb; ci |
hb; di |
|
" |
|
|
|
#. |
ha b ; c di = det |
= det |
b |
c |
d |
||||
|
h i |
h i |
|
|
|
|
|
|
|
a; c |
a; d |
|
|
a |
|
|
|
Аналитическая геометрия (1-ый сем.) |
Лекция 9 |
29 октября 2011 г. |
33 / 35 |
Некоторое тело проектируют на три взаимно перпендикулярные плоскости и в качестве проекций получают квадраты. Обязательно ли проектируемое тело является кубом?
Аналитическая геометрия (1-ый сем.) |
Лекция 9 |
29 октября 2011 г. |
34 / 35 |
посмотрим фильм¾Тени¿
Аналитическая геометрия (1-ый сем.) |
Лекция 9 |
29 октября 2011 г. |
35 / 35 |