Аналитическая геометрия - В.М. Гордиенко / Lecture 1-9
.pdf
Доказательство в "лоб"
ha b; c di = a2b3 a3b2 c2d3 c3d2 +
+ a3b1 a1b3 c3d1 c1d3 +
+ a1b2 a2b1 c1d2 c2d1 ,
|
a; c |
a; d |
= a1c1 + a2c2 + a3c3 |
b1d1 + b2d2 |
det |
hhb; cii |
hhb; dii |
b1c1 + b2c2 + b3c3 a1d1 + a2d2
+ b3d3
+ a3d3 .
Аналитическая геометрия (1-ый сем.) |
Лекция 9 |
29 октября 2011 г. |
21 / 35 |
Утверждение (тождество Якоби)
a b c + b c a + c a b = 0.
Ja b c = bha; ci cha; bi
b c a = cha; bi ahb; ci
|
I |
c a b = ahb; ci bha; ci. |
|
Как уже отмечалось, a b c |
a b c 6= 0 . |
В силу тождества Якоби,
a b c a b c = c a b = ahb; ci ha; bic .
Аналитическая геометрия (1-ый сем.) |
Лекция 9 |
29 октября 2011 г. |
22 / 35 |
Упр. |
Доказать что |
2ha2 |
; b1i |
ha2 |
; b2i |
ha2 |
; b3i3 . |
(a1; a2 |
; a3)(b1; b2; b3) = det |
||||||
|
|
a1 |
; b1 |
a1 |
; b2 |
a1 |
; b3 |
|
|
6ha3 |
; b1i |
ha3 |
; b2i |
ha3 |
; b3i7 |
|
|
4h |
i |
h |
i |
h |
i5 |
Аналитическая геометрия (1-ый сем.) |
Лекция 9 |
29 октября 2011 г. |
23 / 35 |
О псевдовекторах и псевдоскалярах
Векторное произведение c = a b является вектором, но вектором не обычным.
Векторное произведение вектор c = a b зависит от ориентации пространства и меняет направление при смене ориентации пространства.
Такие векторы называются аксильными или псевдовекторами.
Обычные векторы называются полярными или истинными , они не зависят от ориентации пространства.
По разному происходит преобразование координат истинных векторов и псевдовекторов,
если ¾старый¿ и ¾новый¿ базисы по разному ориентированы.
Так при переходе от базиса [ e1 e2 e3 ] к базису [ e1 e2 e3 ] координаты истинных векторов меняются на противоположные, а координаты псевдовекторов векторов не меняются.
Аналитическая геометрия (1-ый сем.) |
Лекция 9 |
29 октября 2011 г. |
24 / 35 |
Итак, векторное произведение двух истинных векторов является псевдовектором.
Легко убедиться в том что, векторное произведение истинного вектора и псевдовектора является истинным вектором.
А векторное произведение двух псевдовекторов также псевдовектор.
Аналитическая геометрия (1-ый сем.) |
Лекция 9 |
29 октября 2011 г. |
25 / 35 |
Скалярное произведение векторов ha; bi является скаляром.
И смешанное произведение векторов (a; b; c) = h[a b]; ci является скаляром.
Но если скалярное произведение не зависит от ориентации пространства,
то смешанное произведение зависит от ориентации пространства и меняет знак при смене ориентации пространства.
Скалярное произведение векторов ha; bi является истинным скаляром.
А смешанное произведение векторов (a; b; c) = h[a b]; ci является псевдоскаляром.
Аналитическая геометрия (1-ый сем.) |
Лекция 9 |
29 октября 2011 г. |
26 / 35 |
Резюме
Площадь параллелограмма, построенного на паре векторов
s |
|
|
|
|
S a; b = det |
|
|
|
|
a; a |
a; b |
|||
hha; bii |
hhb; bii . |
|||
V евклидовое , ориентированное , dim V = 3, a; b 2 V.
Определение
Векторным произведением неколлинеарных векторов a и b
называется вектор c |
такой, что: |
c ? a ; c ? b |
т.е., hc; ai = hc; bi = 0 , |
векторы a; b; c |
образуют базис ориентированный |
положительно , |
|
jcj = S a; b = jaj jbj sin ' . Если a и b коллинеарны, то c = 0 .
Обозначение: c = a b = a b = a; b .
Аналитическая геометрия (1-ый сем.) |
Лекция 9 |
29 октября 2011 г. |
27 / 35 |
Свойства векторного произведения
2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) |
ka b = k a b = a kb |
||||||||
|
b |
|
a = |
|
a |
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3) |
a b = |
0 |
|
() |
a; b |
коллинеарны |
|||
|
(в частности, |
8a 2 V |
выполняется a a = 0 ) |
||||||
Пусть векторы i; j; k 2 V образуют ортонормированный положительно ориентированный базис, тогда
4) i j = k ; |
j k = i ; |
k i = j ; |
j i = k ; |
k j = i ; i k = j ; |
|
i i = 0 ; |
j j = 0 ; |
k k = 0 : |
5) a1 + a2 b = a1 b + a2 b,
a b1 + b2 = a b1 + a b2.
Аналитическая геометрия (1-ый сем.) |
Лекция 9 |
29 октября 2011 г. |
28 / 35 |
Определение
Смешанным произведением векторов a; b; c
в трёхмерном евклидовом ориентированном пространстве называется число (a; b; c) = h[a b]; ci.
Теорема
Пусть векторы a; b; c некомпланарны и V объём параллелепипеда, натянутого на приведённые к общему началу векторы a; b; c. Тогда
(a; b; c) = ( |
V |
если |
a; b; c |
положительно ориентированы |
|
если |
a; b; c |
отрицатательно ориентированы |
|||
V |
Если векторы a; b; c компланарны, то (a; b; c) = 0 .
Аналитическая геометрия (1-ый сем.) |
Лекция 9 |
29 октября 2011 г. |
29 / 35 |
Следствие
Векторы a; b; c компланарны () (a; b; c) = 0.
Следствие
(a; b; c) = (b; c; a) = (c; a; b) =
= (b; a; c) = (a; c; b) = (c; b; a).
Следствие
(a; b; c) = h[a b]; ci = ha; [b c]i.
Следствие
Смешанное произведение (a; b; c) линейно по каждому аргументу.
Аналитическая геометрия (1-ый сем.) |
Лекция 9 |
29 октября 2011 г. |
30 / 35 |