Аналитическая геометрия - В.М. Гордиенко / Lecture 1-9
.pdf
Векторное произведение в ортонормированном базисе
Пусть i; j; k ортонормированный положительно ориентированный базис и
a = a1i + a2j + a3k ; b = b1i + b2j + b3k тогда ,
a b = a1i + a2j + a3k b1i + b2j + b3k =
= a1b2 i j + a1b3 i k + a2b1 j i +
+ a2b3 j k + a3b1 k i + a3b2 k j =
= a2b3 a3b2 i + a3b1 a1b3 j + a1b2 a2b1 k =
= b2 |
b3 i |
|
b1 |
b3 j + b1 |
b2 k = |
a1 |
a2 |
a3 . |
|||||||||
|
2 |
3 |
|
1 |
3 |
|
1 |
2 |
|
i |
j |
k |
|
||||
b b b |
|
||||||||||||||||
|
a |
a |
|
|
a |
a |
|
|
a |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
3 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Аналитическая геометрия (1-ый сем.) |
Лекция 9 |
29 октября 2011 г. |
11 / 35 |
Итак, если a = a1i + a2j + a3k , b = b1i + b2j + b3k ,
|
|
|
i |
|
j |
k |
|
= |
b2 |
b3 |
i |
b1 |
b3 j + |
b1 |
b2 |
k . |
|||||||
то a b = b1 |
|
b2 |
b3 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
2 |
3 |
|
|
a2 a3 |
|
|
a1 |
a3 |
|
|
a1 |
a2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
a |
|
a |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Или, если |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2b2 |
3 , то a b = 2a3 b1 |
a1 b33, |
|
|
|
|
|||||||||||||||
a = 2a23 |
, b = |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
a1 |
|
|
|
b1 |
|
|
|
|
|
|
a2 b3 |
a3 b2 |
|
|
|
|
|
|||||
|
4a35 |
|
|
4b35 |
|
0 |
|
|
a1 |
4a1 b2 a2 b15 |
|
|
|
|
|
||||||||
а также |
a b = |
2 a3 |
|
|
|
3 2b2 |
3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
a3 |
a2 |
b1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
4 a2 |
|
a1 |
|
|
0 |
5 4b35 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Напомним, что координаты векторов здесь вычислены |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
в ортонормированном |
базисе. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Аналитическая геометрия (1-ый сем.) |
|
|
|
Лекция 9 |
|
|
|
|
29 октября 2011 г. |
|
12 / 35 |
||||||||||||
Смешанное произведение в ортонормированном базисе
Пусть i; j; k ортонормированный положительно ориентированный базис и
a = a1i + a2j + a3k ; b = b1i + b2j + b3k , c = c1i + c2j + c3k тогда ,
(a; b; c) = h[a b]; ci =
= h a2b3 a3b2 i + a3b1 a1b3 j + a1b2 a2b1 k ; c1i + c2j + c3ki =
= a2b3 a3b2 c1 + a3b1 a1b3 c2 + a1b2 a2b1 c3 =
23
= det |
a2 |
b2 |
c2 . |
Итак, (a; b; c) = det |
2a2 |
b2 |
c2 |
3. |
|
a1 |
b1 |
c1 |
|
a1 |
b1 |
c1 |
|
|
4a3 |
b3 |
c35 |
|
4a3 |
b3 |
c35 |
|
Аналитическая геометрия (1-ый сем.) |
Лекция 9 |
29 октября 2011 г. |
13 / 35 |
Геометрическая интерпретация определителя матрицы
|
a1 |
b1 |
c1 |
3 |
Будем рассматривать столбцы матрицы |
2a2 |
b2 |
c2 |
|
|
4a3 |
b3 |
c3 |
5 |
как координаты векторов в ортонормированном базисе
a = |
2a23 |
; b = |
2b23 |
; c = |
2c23. |
x3 |
b |
x2 |
c |
||||||||
|
a1 |
|
b1 |
|
c1 |
|
|
|
|
4a35 |
|
4b35 |
|
4c35 |
|
|
a |
x1
Пусть V объём параллелепипеда, построенного на векторах a; b; c. Тогда
23
det |
a2 |
b2 |
c2 |
|
= ( V |
если |
a; b; c |
положит. ориентированы |
|
a1 |
b1 |
c1 |
5 |
|
|
a; b; c |
|
|
4a3 |
b3 |
c3 |
V |
если |
|
отрицат. ориентированы. |
Аналитическая геометрия (1-ый сем.) |
Лекция 9 |
29 октября 2011 г. |
14 / 35 |
Замечание
У нас имеется три типа произведения векторов: скалярное, векторное, смешанное.
Равенство нулю каждого из этих произведений является критерием некоторого геометрического факта.
ha; bi = 0 |
() |
векторы a и b перпендикулярны |
a b = 0 |
() |
векторы a и b коллинеарны |
(a; b; c) = 0 |
() |
векторы a; b; c компланарны |
Аналитическая геометрия (1-ый сем.) |
Лекция 9 |
29 октября 2011 г. |
15 / 35 |
Двойное векторное произведение
Замечание |
|
6= a b c |
Векторное произведение неассоциативно: a b c |
||
Пример, пусть i; j; k ортонормированный |
|
|
положительно ориентированный базис, тогда |
|
|
i i j = i k = j ; |
i i j = 0 . |
|
Аналитическая геометрия (1-ый сем.) |
Лекция 9 |
29 октября 2011 г. |
16 / 35 |
Утверждение
a b c = bha; ci cha; bi.
Формула известна под названием "бац минус цаб".
Правило для запоминания:
двойное векторное произведение равно среднему вектору, 
умноженному на скалярное произведение двух остальных, минус другой вектор внутреннего произведения, умноженный на скалярное произведение двух остальных.
Правило годится и в случае a b c :
a b c = bha; ci ahb; ci.
Аналитическая геометрия (1-ый сем.) |
Лекция 9 |
29 октября 2011 г. |
17 / 35 |
J Справедливо матричное равенство: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
2 a3 |
|
0 a13 2 b3 |
0 b13 |
= |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
0 |
|
a3 |
a2 |
|
0 |
b3 |
b2 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 a2 |
|
a1 |
0 |
5 4 b2 |
b1 |
0 |
|
|
20 1 03, |
|
|
||||||
= |
2b23 |
[a1 a2 |
a3] a1b1 |
+ a2b2 + a3b3 |
|
|
|
||||||||||
|
b1 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
0 |
|
|
||
|
b3 |
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
1 |
|
|
|||||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
5 |
|
|
|
поэтому |
|
2 a3 |
0 a1 |
3 2 b3 |
|
0 b13 2c23 |
= |
||||||||||
a (b c) = |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
a3 |
a2 |
|
0 |
|
|
b3 |
|
b2 |
|
c1 |
|
|
2b23 |
|
4 a2 |
a1 |
0 |
5 4 b2 |
|
b1 |
|
0 |
5 4c35 |
|
|||||
= |
[a1 a2 |
a3 |
] 2c23 a1b1 + a2b2 + a3b3 |
|
2c23 |
= |
|
||||||||||
|
b1 |
5 |
|
|
c1 |
|
|
|
|
|
|
|
c1 |
|
|
||
|
b3 |
|
|
c3 |
|
|
|
|
|
c3 |
|
|
|||||
|
4 |
|
|
4 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
5 |
|
|
|
= bha; ci cha; bi . I
Доказательство в "лоб"
a b c = |
2a3 |
b2c3 |
|
|
|
a2 |
b1c2 |
a1 b3c1 |
|||
|
|
6 |
|
|
|
4 |
|
bha; ci cha; bi =
b2c1
b3c2
b1c3
a3 b3c1
a1 b1c2
a2 b2c3
3
b1c3
b2c1 7 5
b3c2
2
b1 a1c1 + a2c2
=6b2 a1c1 + a2c2
4
b3 a1c1 + a2c2
+ a3c3
+ a3c3
+ a3c3
c1 a1b1
c2 a1b1
c3 a1b1
+a2b2
+a2b2
+a2b2
3
+ a3b3
+ a3b3 7 5
+ a3b3
Аналитическая геометрия (1-ый сем.) |
Лекция 9 |
29 октября 2011 г. |
19 / 35 |
Утверждение |
hhb; cii |
hhb; dii |
|
ha b; c di = det |
= det |
||
|
a; c |
a; d |
|
"#
ba c d .
J Напомним что, (a; b; e) = h[a b]; ei = ha; [b e]i,
поэтому ha b ; c di = ha ; b [c d]i =
= ha; chb; di dhb; ci i = ha; cihb; di ha; dihb; ci =
= det |
hhb; cii |
hhb; dii . |
I |
|
a; c |
a; d |
|
Аналитическая геометрия (1-ый сем.) |
Лекция 9 |
29 октября 2011 г. |
20 / 35 |