§39. Числовые оценки параметров ,,,,и

Начнём с концентрации. Рассчитаем концентрацию электронов в элементе ;

Здесь .Посчитаем концентрацию электронов для такой среды:

- число Авогадро, а- объём одного моля

где - атомный вес,- плотность железа.

Тогда

Рассчитаем :

Тогда радиус сферы Ферми:

- волновое число Ферми (так тоже называют).

Теперь оценим импульс Ферми.

,

Оценим скорость Ферми.

- скорость фермиевских электронов.

- т.е. релятивистские эффекты можно не учитывать

Посчитаем энергию Ферми:

Часто температуру Ферми измеряют в энергетической шкале, а бывает удобнее в градусах:

- в энергетической шкале

- в градусах

- постоянная Больцмана

С температурой связывают вырождение электронного газа. При комнатной температуре газ вырожденный.

Часто для описания вырожденного газа используют соотношения как для случая .

§40+. Релятивистский вырожденный газ

Здесь надо учитывать поправки на специальную теорию относительности (СТО).

В СТО получали энергию частицы через соотношение:

(когда скорости были малы , то)

Теперь выразим через:

Тогда имеем:

, где

Чтобы подсчитать релятивистский газ при используют ту же саму функцию Ферми-Дирака:

Для нерелятивистского случая писали:

В этом выражении мы сократили в числителе и знаменателе.

Вся разница с релятивистским случаем такова, что под интегралом стоит уже не та функция, что в нерелятивистском случае:

Нерелятивистский случай, это когда .

Мы сейчас рассмотри ультрарелятивистский случай, когда . В этом случае имеем:

Здесь решение будет простым:

(в нерелятивистском случае было )

Но определяется концентрацией, тогда и уравнение состояния в релятивистском случае изменится.

, где- концентрация.

Зная энергию системы , можно найти давление. Это возможно для данного специфического случая, а вообще давление считается через свободную энергию.

Здесь получается:

это уравнение состояния в релятивистском случае.

(В нерелятивистском случае было )

Решение задач по курсу “Статистическая физика”

Задача 1.Математический маятник совершает гармонические колебания по закону

Найти вероятность того, что при случайном измерении отклонениямаятника это значение будет лежать в интервале.

Решение.Запишем закон колебания в виде:, где. Тогда нам надо найти вероятность.

Из рисунка видно, что

Обозначим

Как и ожидалось, площадь под кривой равна 1.

Ответ. , где

Дополнение. В общем случае график зависимости может не выражаться через линейные функции. Например:

Тогда необходимо подсчитать время, в течении которого параметр начодится в заданном интервале значений:

Гамма-функция Эйлера

Свойства:

Задача 2.Вероятность того, чтоилежат в интервалах:идается выражением:

Считая, что областями измерения переменных иявляетсяи, найти константу нормировки.

Задача 3.Определить вероятность того, что значение величиныбудет лежать в интервале.

Решение. Условие нормировки:

Переходим к полярным координатам: якобиан перехода:

Первому рисунку отвечает функция распределения ;

второму - ; третьему -

Аналогично:

Ответ:

Задача 4. Найти дисперсию энергии в случае канонического распределения Гиббса.

Решение.

Аналогично:

.

Однако:

(при)

Ответ: ;При.

Задача 5.Найти дисперсию числа частиц в случае большого канонического распределения Гиббса.

Решение.

Видно, что

;

Ответ: ;.

Задача 6.Используя распределение Гиббса:получить различные формы распределения Максвелла:

1. вероятность того, что скорость любой частицы заданной системы лежит в интервалах ,,;

2. вероятность того, что абсолютная величина скорости лежит в интервале ;

3. вероятность того, что кинетическая энергия любой частицы лежит в интервале ;

Решение: 1),

Так как ,,статистически независимы, то:

Из условия нормировки:

Аналогично: ;

;

Для нахождения перейдем к сферическим координатам:

Найдем из условия нормировки:

Сделаем замену переменных: . Тогда;

,

где

Таким образом,

2)

, где

, где

4)

Ответ:,где

,где

Задача 7. Используя распределение Максвелла, найти:

а) ;

б);

в)(наиболее вероятное значение величины скорости);

Решение:

Сделаем замену переменных: ;

Если - четное:

Если -нечетное:

б),

Сделаем замену переменных: ;

Тогда:

в) Ищем экстремум функции :

Ответ:Если-четное:

Если -нечетное:

;;;

Задача 8. Используя распределение Максвелла, найти дисперсию скоростии среднее квадратичное отклонение.

Решение:

Задача 9. Найтии наиболее вероятное значение кинетической энергии частицы.

Решение:Условимся решать задачу в СГС (к=1).

, где

Обозначим: . Тогда, где

Найдем как экстремум функции:

Ответ: ;

Задача 10: Используя распределение Максвелла, найти дисперсию кинетической энергии, где.

Решение:

Задача 11. Найти вероятность того, что две частицы имеют абсолютную величину скорости относительного движенияв интервале. Найти.

Решение: Условимся решать задачу в СГС (к=1).

Вероятность того, что 1 частица имеет скорость , а вторая – скорость:

Переходя к сферическим координатам:

Из условия нормировки найдем :

Сделаем замену переменных: ,;

Перейдем к новым переменным: - относительная скорость;

- скорость центра масс;

- полная масса;

- приведенная масса;

Учтем, что получим:

;

Ответ:;

Задача 12.Используя распределение Гиббса, найти для идеального газа, помещенного во внешнее потенциальное силовое поле, вероятность того, что координаты любой частицы будут лежать в интервалах,,.

Решение.

Если (поле тяжести)

Число таких частиц в единице объема: .

Здесь , где интеграл находится в пределах объема.

Ответ.

Задача 13. Найти центр тяжести столба идеального газа в однородном поле тяжести, если ускорение поля тяжести, масса молекулы, температура.

Решение. Воспользуемся предыдущей задачей:

В СИ:

Ответ.