§35. Плотность одночастичных состояний в - пространстве

Мы получали:

При переходе в квазиклассику, число состояний записывается:

Так как при расчёте газов всё рассматривается для невзаимодействующих частиц, то энергия не зависит от координат, значит имеем:

Здесь удобно ввести волновой вектор соотношением:

, тогда

И мы для числа состояний получаем выражение:

Т.е. возникает число состояний приходящихся на элементарный объём в фурье пространстве:

где - это число состояний на единицу объёма данного пространства.

Для электронов и если положить, то

где - учёт спина,.

§36. Расчёт импульса Ферми для электронного газа при

Будем пользоваться формулой:

Запишем функцию Ферми для электронного газа:

- он здесь как функция энергии

И рассматривается случай, когда очень близко к 0,:

,у нас

При малых показатель экспоненты отрицательный слева оти положительный справа от.

, при

Тогда

Поэтому:

Видим, что имеет вид ступеньки: слева все уровни заселены, а справа все уровни свободны.

Химический потенциал определяется числом частиц в системе.

Можно писать

где - число частиц, а- функция Ферми-Дирака, приона имеет вид ступеньки.

Запишем явный вид :

это выражение получается из выражения кинетической энергии электрона с импульсом :

,

Тогда всё сводится к интегрированию в -пространстве или в Фурье-пространстве. Размерность.

Пределы интегрирования в -пространстве:

Это шар с радиусом, который определяется . Радиус этого шара часто называют, т.е.-фермиевским.

определяется из, т.е. из числа частиц (электронов) в системе.

Полагаем объём и найдём полное число частиц в системе:

здесь из под интеграла убрали , т.к. в этом пределе интегрирования, а вне этого пределаи интеграл тоже равен нулю.

И тогда получаем:

Импульс Ферми:

Найдём :

т.е. химический потенциал или уровень Ферми определяется концентрацией частиц.

§37. Расчёт энергии электронного газа при

- это полная энергия электронного газа.

где - средняя энергия, приходящаяся на один электрон.

Энергия имеет вид:

Тогда:

Найдём среднее :

Учтём, что при область интегрирования является сферой, тогда:

- это элементарный объём в-пространстве, т.е. скаляр, а не вектор.

здесь мы уже сократили интегралы по углам, т.к. в числителе и в знаменателе они одинаковые: .

Но определяет энергию Ферми:

Значит:

Таким образом, полная энергия электронного газа при :

§38. Уравнение состояния идеального электронного газа при . Критерий идеальности электронного газа

Чтобы записать уравнение состояния электронного газа при , вспомним соотношение междуидля идеального газа:

Теперь в качестве подставим сюда:

(29)

Но ведь и мы получили, что всё зависит от концентрации. Соотношение (29) называется уравнением состояния идеального газа при.

Теперь рассмотрим критерий идеальности. Для больцмановского идеального газа писали критерий идеальности:

Для больцмановского газа

Для ферми газа

Мы оценивали энергию взаимодействия для электронного газа:

И видна принципиальная разница критериев идеальности для больцмановского газа и для ферми газа:

и видим такое различие:

для больцмановского газа

для ферми газа

Т.е. для ферми газа условие идеальности противоположно условию идеальности для больцмановского газа. Но в условии для ферми газа нет температуры – это не удивительно, т.к. у нас ферми газ при .