2. Уровни моделирования. Общая характеристика и особенности. Моделирование на микроуровне. Обобщенная модель и моделирование тепловых систем (краевая задача для уравнения теплопроводности)

(Метауровень моделирования — степень детализации описания крупномасштабных объектов исследования, характеризующаяся наименее подробным рассмотрением процессов, протекающих в самих объектах. Это позволяет в одном описании отразить взаимодействие многих элементов сложного объекта.

На метауровне моделируются, например, процесс развития Вселенной, работа локальных и глобальных вычислительных сетей, городских телефонных сетей, энергосистем, транспортных систем.

Моделирование на метауровне позволило наглядно подтвердить справедливость физических законов, сформулированных Исааком Ньютоном и Альбертом Эйнштейном. Исследователи из Дарэмского университета (Великобритания) с помощью компьютерной программы имитировали процесс саморазвития нашего мира, начиная с Большого взрыва. В качестве законов эволюции использовались современные научные представления теории относительности, гравитации и другие теории. В процессе моделирования первоначально однородная Вселенная начала развиваться и, в конце концов, пришла к тому виду, который мы наблюдаем сейчас.

Макроуровень моделирования — степень детализации описания объектов, характерной особенностью которой является рассмотрение физических процессов, протекающих в непрерывном времени и дискретном пространстве.

Например, макроуровень описания радиоэлектронной аппаратуры — схемотехнический уровень. На этом уровне рассматриваются радиоэлектронные схемы, состоящие из таких дискретных элементов, как транзисторы, диоды, резисторы, конденсаторы, триггеры, логические элементы и т. п.

Микроуровень моделирования — степень детализации описания объектов, характерной особенностью которой является рассмотрение физических процессов, протекающих в непрерывном пространстве (сплошных средах) и непрерывном времени.

Фазовыми переменными при моделировании на микроуровне являются поля напряжений и деформаций в деталях механических конструкций, электромагнитные поля в электропроводящих средах, поля температур нагретых деталей.

На этом уровне моделируется, например, работа излучающих телевизионных и радио антенн, устройств вихретоковой дефектоскопии, предназначенных для контроля качества промышленных металлических изделий, устройств электромагнитного ориентирования (силового воздействия на промышленные детали с помощью электромагнитного поля), изучаются защитные свойства электромагнитных экранов.)

Метауровень.

Позволяет рассматривать объекты очень высокой сложности. Этот уровень наиболее обобщенного, размытого описания.

Функционально объект рассматривается как последовательность состояний его в дискретные моменты времени.

Система на этом уровне рассматривается как набор отдельных функциональных блоков, иногда очень крупных.

Особенности: время и пространство дискретно. Для построения модели выходных параметров, определенных в терминах стохастического (вероятностного) подхода. Характеристики приближенные.

Математический аппарат этого уровня:

имитационное моделирование

модели массового обслуживания

методы математической логики

методы дискретной математики

Макроуровень.

На макроуровне моделирования в математических моделях одна из координат (обычно время) может быть непрерывной. А остальные координаты либо отсутствуют, либо дискретны.

Чаще всего объект рассматривается как набор дискретных элементов в непрерывном времени. Количество объектов относительно невелико (порядка 100-1000).

Математический аппарат этого уровня:

алгебраические соотношения и уравнения

Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ).

Макроуровень = алгебра + ОДУ

Макроуровень - основной уровень моделирования в САПР. Причины:

наиболее доступный и эффективный для численной реализации на ЭВМ

на этом уровне процесс составления модели может быть автоматизирован

Модели этого уровня используются на всех этапах проектирования (от ТЗ до поверочных рассчетов). Удобны для оптимизации.

Микроуровень.

Обеспечивает наиболее детальное и подробное описание объекта. На этом уровне все координаты, включая время, непрерывны. Поскольку параметры непрерывно меняются в пространстве и времени, эти модели еще называются моделями с распределенными параметрами. Распределенными моделями.

Математический аппарат этого уровня:

основной М.А. - дифференциальные уравнения в частных производных

Математические модели на микроуровне

Рассмотрим модели технических систем на микроуровне. В большинстве случаев это распределенные модели (объекты с распределенными параметрами) и они представляют собой системы дифференциальных уравнений в частных производных. При создании математических моделей целесообразно исходить из основных физических законов в их наиболее «чистом», фундаментальном виде. Такой подход обеспечивает наиболее адекватное описание объектов, протекания процессов и явлений окружающего нас мира.

Фундаментальными физическими законами в первую очередь являются законы сохранения массы, количества движения, энергии. Эти законы можно сформулировать в одном общем виде: изменение во времени некоторой субстанции в элементарном объеме равно сумме притока-стока этой субстанции через поверхность элементарного объема. Субстанцией служат масса, количество движения, энергия. Эта формулировка остается справедливой и для некоторых других субстанций, например, количества теплоты, количества зарядов, количества элементарных частиц и др. Если внутри элементарного объема происходит генерация или уничтожение рассматриваемой субстанции, то к сумме притока-стока нужно добавить соответствующий член, отражающий данное явление. В этом случае общий вид уравнений, составляющих основу большинства распределенных моделей, будет следующим:

где φ – некоторая фазовая переменная, выражающая субстанцию (плотность, энергию и т. п.);

– поток фазовой переменной;

G – скорость генерации субстанции;

t – время.

Поток фазовой переменной φ есть вектор =(Jx, Jy, Jz) Дивергенция (расходимость) этого вектора определяется общим соотношением

является скалярной величиной и характеризует сумму притока-стока через поверхность элементарного объема.

Рассмотрим основные уравнения некоторых физических процессов.