Билет 32

1. Понятие алгоритма. Интуитивное понятие алгоритма.

Слово алгоритм возникло от algorithm- латинской транслитерации имени великого математика IX века Мохаммеда ибн Муссы аль-Хорезми, который сформулировал правила выполнения четырех арифметических действий над многозначными числами.

Алгоритм - это организованная последовательность действий, понятных для некоторого исполнителя, ведущая к решению поставленной задачи.

Алгоритм - это конечная последовательность однозначных предписаний, исполнение которых  позволяет с помощью конечного числа шагов получить решение задачи, однозначно определяемое исходными данными.

Алгоритм – понятное и точное предписание исполнителю совершить последовательность действий, направленных на достижение цели.

Алгоритм – это набор однозначно определённых шагов, выполняемых для решения задачи определённого класса.

Интуитивное определение неформально, поскольку отсутствуют формальные определения используемых в нем базовых понятий: элементарного шага, задач, классов задач. Кроме того, даже интуитивное определение элементарного шага основано на понятии алгоритма.

В 30 годы ХХ века в противовес классическим представлениям Альхарезми,  возникла гипотеза об алгоритмически неразрешимости нескольких задач.

А) С точки зрения Геделя, алгоритм есть последовательность построения сложных математических функций из более простых, с использованием правил сформулированных на языках математической логики.

Можно ввести математическую абстракцию:

Пусть Х – совокупность входных данных, Y – совокупность выходных данных.

Y=f(X)

В) Черча. λ – исчисление или ввел понятие систем рекурсивно-вычислимых (РВ) функций. В этой системе было выделено 3 базовых функции и 3 оператора, посредством которых мы из базовых РВ функций строим более сложные РВ функции.

Алгоритм – способ определения РВ функции.

С) Алaна Тьюринга. Он предложил модель гипотетического вычислительного устройства (исполнителя). Алгоритм – программа для этого исполнителя.

D) Маркова. Основан на том, что какие бы ни были входные данные, они описываются определённым языком.

ВХОД – строка

ВЫХОД – строка

Алгоритм – набор правил подстановки одних символов  вместо других.

Был также обоснован тезис Черча – Тьюринга. Различные подходы к формализации понятия алгоритма эквивалентны между собой с точки зрения понятия алгоритмической неразрешимости. С этой точки зрения, любой компьютер с Фон-неймановской архитектурой или другой ныне известной архитектурой, позволяет реализовать только те алгоритмы, которые можно реализовать на машине Тьюринга.

Свойства алгоритма:

Массовость - алгоритм должен быть применим для класса подобных задач.

Дискретность - алгоритм состоит из ряда дискретных шагов.

Определенность - каждый следующий шаг алгоритма однозначно определяется предыдущими шагами.

Результативность - алгоритм должен приводить к решению поставленной задачи за конечное число шагов

Понятность – алгоритм рассчитан на исполнителя, и должен быть сформулирован на понятном ему языке (СКИ – система команд исполнителя).

Каждый исполнитель алгоритма имеет свою систему команд (набор действий) и свою среду (набор объектов, над которыми совершаются действия), в которой, и только в ней, он работает.

Виды алгоритма:

Линейный - алгоритм, в котором все предписания (шаги) выполняются так, как записаны, без изменения порядка следования, строго друг за другом.

Разветвляющийся - алгоритм, в котором выполнение того или иного действия (шага) зависит от выполнения или не выполнения какого-либо условия.

Циклический - алгоритм, в котором некоторая последовательность действий повторяется несколько раз.

Способы записи алгоритма:

Словесно-формульное описание (на естественном языке с использованием математических формул).

Графическое описание в виде блок-схемы (набор связанных между собой геометрических фигур).

алгоритмический язык – система обозначений и правил для единообразной и точной записи алгоритмов и исполнения их.

Разработка алгоритмов.

Существует два подхода к разработке алгоритмов: операциональный и структурный.

Операциональный:

·                   минимум памяти;

·                   минимум операций.

операции:

·              присваивание;

·              арифметические;

·              сравнение;

·              условный и безусловный переход;

·              вызов подпрограммы.

Каждый алгоритм можно представить в виде суперпозиции трех базовых алгоритмических структур: следование, ветвление, цикл. Такой подход позволяет осуществлять разработку алгоритмов, последовательно их детализируя. Сначала выделяется несколько крупных логических блоков (модулей), затем каждый из них последовательно детализируется до отдельных команд конкретного языка программирования. Кроме того, при таком подходе каждый модуль может реализовываться отдельным программистом, если предварительно разработан способ взаимосвязи между модулями.