Билет 27.

1. Рекурсивные функции. Лямбда- исчисление Черча.

Функция называется рекурсивной, если во время ее обработки возникает ее повторный вызов, либо непосредственно, либо косвенно, путем цепочки вызовов других функций.

Прямой (непосредственной) рекурсией является вызов функции внутри тела этой функции.

int a()

{.....a().....}

Косвенной рекурсией является рекурсия, осуществляющая рекурсивный вызов функции посредством цепочки вызова других функций. Все функции, входящие в цепочку, тоже считаются рекурсивными.

Например:

a(){.....b().....} b(){.....c().....} c(){.....a().....} .

Все функции a,b,c являются рекурсивными, так как при вызове одной из них, осуществляется вызов других и самой себя.

Другая известная модель вычислимости - рекурсивные функции Чёрча (лямбда-исчисление), которая является теоретическим фундаментом другой большой группы формальных языков, объединённых названием "функциональные". Согласно этой модели, алгоритм решения задачи можно представить в виде последовательности вложенных друг в друга функций. При этом пользуются математическим определением функции, определяющим функцию как некое правило, отображающее область аргументов функции в область её значений, причём значения определяются по значениям аргументов единственным образом.

Программа на языке, использующем концепцию лямбда-исчисления, выглядит как композиция конечного набора функций, каждая из которых, в свою очередь, может быть композицией ещё более элементарных функций, и т.д. При этом каждая функция может прямо или косвенно осуществлять рекурсию, т.е. вызов самой себя. Данная модель лишена недостатков машин Тьюринга, описанных выше, в силу своей структуры, изначально требующей определения функций, значения которых зависят исключительно от аргументов функции и не зависят от контекста вызова и выполнения.

Функциональное программирование представляет из себя одну из альтернатив императивному подходу. В императивном программировании алгоритмы - это описания последовательно исполняемых операций. Здесь существует понятие "текущего шага исполнения" (то есть, времени), и "текущего состояния", которое меняется с течением этого времени.

В функциональном программировании понятие времени отсутствует. Программы являются выражениями, исполнение программ заключается в вычислении этих выражений. Практически все математики, сами того не замечая, занимаются функциональным программированием, описывая, например, чему равно абсолютное значение произвольного вещественного числа.

Как правило, рассматривают так называемое "расширенное лямбда-исчисление". Его грамматику можно описать следующим образом:

Выражение ::= Простое выражение | Составное выражение

Простое выражение ::= Константа | Имя

Составное выражение ::= -абстракция | Применение | Квалифицирванное выражение | Ветвление

Лямбда-абстракция ::= lambda Имя -> Выражение end

Применение ::= ( Выражение Выражение )

Квалифицированное выражение ::= let ( Имя = Выражение ; )* in Выражение end

Ветвление ::= if Выражение then Выражение (elseif Выражение then Выражение)* else Выражение end

Константами в расширенном лямбда-исчислении могут быть числа, кортежи, списки, имена предопределенных функций, и так далее.

Результатом вычисление применения предопределенной функции к аргументам будет значение предопределенной функции в этой "точке".

Результатом применения лямбда-абстракции к аргументу будет подстановка аргумента в выражение - "тело" лямбда-абстракции. Сами лямбда-абстракции так же являются выражениями, и, следовательно, могут быть аргументами.

Чистое лямбда-исчисление Черча позволяет обходится исключительно именами, лямбда-абстракциями от одного аргумента и применениями выражений к выражениям. Оказывается, в этих терминах можно описать и "предопределенные" константы (числа и т.п.), структуры данных (списки, кортежи...), логические значения и ветвление. Более того, в чистом лямбда-исчислении можно обойтись без квалифицированных выражений, и, следовательно, выразить рекурсию, не используя для этого употребления имени функции в теле функции. Некоторые экспериментальные модели функционального программирования позволяют обходится без каких-либо имен вообще.

Функциональное программирование обладает следующими двумя примечательными свойствами:

1) Аппликативность: программа есть выражение, составленное из применения функций к аргументам. 2) Настраиваемость: так как не только программа, но и любой программный объект (в идеале) является выражением, можно легко порождать новые программные объекты по образцу, как значения соответствующих выражений (применение порождающей функции к параметрам образца).