Глава 3. Уравнения газовой динамики элементарной струйки

3.1. Уравнение неразрывности

В уравнении неразрывности элементарной струйки газа выражается закон сохранения массы жидкости. Понятие элементарной струйки предполагает малость её поперечных размеров, так что в каждом сечении все основные параметры потока, а именно скорость, давление, температура, плотность можно считать постоянными. Рассмотрим установившееся (стационарное) движение элементарной струйки жидкости, показанной на рис.3.1.

Рис.3.1. Струйка тока

В установившемся течении жидкости параметры потока в любой точке пространства считаются неизменными во времени. Боковая поверхность элементарной струйки (струйка тока) является непроницаемой для жидкости, а образующие поверхности являются линиями тока. Приток жидкости в выделенном объёме осуществляется через сечение 1 – 1 и за одну секунду составляет величину, описываемую следующим уравнением (секундный расход жидкости):

G₁ = , кг/с,

Где w₁, F₁, – скорость потока (м/с), площадь поперечного сечения (м²), плотность жидкости (кг/м³), соответственно.

Расход жидкости через сечение 2 – 2 равен:

G₂ = , кг/с,

При установившемся течении расход жидкости через любое сечение непроницаемой трубки тока является величиной постоянной, и только в случае неустановившегося (нестационарного) течения масса жидкости в объёме 1 - 1 - 2 – 2 изменялась бы во времени.

В результате рассмотренного выше условие сохранения массы для элементарной струйки, или уравнение неразрывности может быть записано в следующем виде:

G₁ = G₂ или

= const(3.1)

Такой же вид уравнения неразрывности был получен нами в главе второй как частный случай дифференциального уравнения неразрывности (2.20г). Для несжимаемой жидкости ρ₁ = ρ₂ = const, и уравнение неразрывности принимает более простой вид:

w₁ F₁ = w₂ F₂ = const (3.2)

Из уравнения (3.1) следует, что чем больше скорость потока жидкости, тем меньше поперечное сечение струйки тока, или трубы.

3.2. Уравнение количества движения (первое уравнение Эйлера)

В соответствии со Вторым законом Ньютона элементарное количества движения равно элементарному изменению импульса сил, действующих на жидкий элемент

d(mw) = Pd, (3.3)

где P – сумма проекций всех сил, приложенных к жидкому элементу массой m на какую-либо ось ординат; d – время действия силы P; w – проекция скорости на ту же ось.

Применительно к потокам жидкостей и газов Леонардом Эйлером в 1754 году были получены уравнения количества движения и моментов количества движения, известные как первое и второе уравнения Эйлера. Последнее уравнение будет рассмотрено нами в следующем разделе.

Выделим в элементарной струйке объём жидкости массой m, заключённый между сечениями 1-1 и 2-2, нормальными к оси струйки. За время масса жидкости в объёме 1-2 переместится в положение 1' - 2'. В соответствии с уравнением (3.3) запишем следующие интегралы в проекциях на осьx:

Рис. 3.2. Элементарная струйка

- = (+) – (+) =

=

Cокращая интеграл , который входит как в начальные, так и в конечные значения суммарного количества движения, получаем:

= (3.4)

Поскольку в стационарном движении расходы жидкости в сечениях струйки равны и рассчитываются по уравнению неразрывности, то элементарная масса может быть выражена через секундный массовый расход:

dm = Gd

Подставляя это уравнение в (3.4), интегрируя и сокращая на уравнение количества движения в проекциях на осьx. Одновременно запишем уравнения количества движения в проекциях на оси y и z:

P_x = G(w_x2 – w_x1);

P_y = G·(w_y2 – w_y1) (3.5)

P_z = G·(w_z2 – w_z1);

Мы получили уравнения количества движения для элементарной струйки тока, которые выражают, что сумма проекций всех сил, приложенных к элементу жидкости на любом её участке, равна приращению секундного количества движения на этом участке, или произведению массы на приращение проекций скорости. Величина Gw называется секундным количеством движения. Если равнодействующая всех сил равна нулю, то количество движения на данном участке не меняется, поэтому уравнение количества движения часто называется уравнением сохранения количества движения.

Важным преимуществом интегральных уравнений количества движения является то, что рассматриваются параметры жидкости только в двух сечениях, ограничивающих рассматриваемый участок, без анализа процессов, происходящих между сечениями, внутри участка.

Рассмотрим уравнение количества движения применительно к одномерному движению в трубе.

Пусть проекция силы, с которой происходит воздействие на газ, равна:

P_x = (p₁ – p₂)∙F – P_тр – P_тех,

где P_тр и P_тех – сила трения и сила механического воздействия.

По уравнению количества движения сила воздействия на газ должна быть равна изменению количества движения:

(p₁ – p₂)∙F – P_тр – P_тех = G(w₂ – w₁) = ρ₁w₁F(w₂ – w₁);

Если P_тр = P_тех = 0, то p₁ – p₂ = ρ₁w₁(w₂ – w₁).

В дифференциальной форме последнее уравнение будет иметь вид:

dp = - ρwdw (3.6)

Знак минус означает, что процесс происходит с уменьшением давления, то есть давление «срабатывается».