2.2. Графическое решение системы линейных неравенств

Для графического решения данной задачи необходимо уметь решать графически системы линейных неравенств с двумя переменными.

Сначала дадим геометрическое истолкование линейного неравенства.

• Решением линейного неравенства с двумя переменными называется множество пар значений переменных , которые удовлетворяют неравенству. Геометрически решением линейного неравенства являетсяполуплоскость, границей которой является прямая .

Порядок действий:

1. записать уравнение и построить на плоскости граничную прямую;

2. выбрать искомую полуплоскость, координаты точек в которой удовлетворяют заданному неравенству. Для этого подставляют в неравенство координаты точки с известными координатами ,не лежащей на граничной прямой. Если получится верное числовое неравенство, то искомая полуплоскость та, которая содержит точку (в противном случае берется другая полуплоскость). Плоскость выделяется штриховкой.

0

Отметим, что неравенство определяетправую координатную полуплоскость (от оси ), а неравенство-верхнюю координатную полуплоскость (от оси ).

Пример 2. Решить графически неравенство .

Запишем уравнение граничной прямой и построим ее по двум точкам, например,и. Прямая делит плоскость на две полуплоскости.

0 2

-4

Координаты точки удовлетворяют неравенству( – верно), значит, и координаты всех точек полуплоскости, содержащей точку , удовлетворяют неравенству. Решением неравенства будут координаты точек полуплоскости, расположенной справа от граничной прямой, включая точки на границе. Искомая полуплоскость на рисунке выделена.

• Решением системы линейных неравенств называется множество пар значений переменных , которые удовлетворяют одновременно всем неравенствам. Геометрически решением системы линейных неравенств являетсяобласть на плоскости, координаты точек которых лежат в пересечении полуплоскостей.

Решение системы неравенств называетсядопустимым, если его координаты неотрицательны ,. Множество допустимых решений системы неравенств образует область, которая расположена в первой четверти координатной плоскости.

Пример 3. Построить область решений системы неравенств

Решениями неравенств является:

1) - полуплоскость, расположенная левее и ниже относительно прямой ();

2) – полуплоскость, расположенная в правой-нижней полуплоскости относительно прямой ();

3) - полуплоскость, расположенная правее прямой ();

4) - полуплоскость выше оси абсцисс, то есть прямой ( ) .

3

1

B

0

Область допустимых решений данной системы линейных неравенств – это множество точек, расположенных внутри и на границе четырехугольника , являющегосяпересечением четырех полуплоскостей.