23

Модуль 2. Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных

Содержание

Тема 1. Функции двух переменных, частные производные,

дифференциалы, градиент

1. Определение функций двух переменных.

2. Способы задания функций двух переменных.

3. Частные производные.

4. Частные производные высших порядков.

5. *Дифференциал функции двух переменных и его применение.

6. *Дифференциал второго порядка

7. Градиент функции

Тема 2. Экстремум функции двух переменных

1. Локальный экстремум

2. Условный экстремум функции двух переменных

Тема 3. Наибольшее и наименьшее значения функции двух

переменных

1. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции двух переменных в замкнутой ограниченной области

2. * Нахождение наибольшего (наименьшего) значений линейной функции в области, заданной линейными ограничениями

Тема 1. Функции двух переменных.

частные производные, дифференциалы, градиент

Содержание

1. Определение функций двух переменных.

2. Способы задания функций двух переменных.

3. Частные производные.

4. Частные производные высших порядков.

5. Дифференциал функции двух переменных и его применение.

6. Дифференциал второго порядка

7. Градиент функции

1. Определение функций двух переменных

• Функцией двух переменных называется правило (закон, соответствие), по которому каждой упорядоченной паре чиселиз некоторого множества на плоскостипоставлено в соответствие единственное числоиз множества. Множествоназываетсяобластью определения, а множество - множеством значений функции .

• Для функции двух переменных областью определения является некоторое множество точек на плоскости (область), а областью значений - промежуток на оси.

Пример 1. Найти область определения функции .

Запишем неравенство . Отсюда. Множество точекна плоскости, координаты которых удовлетворяют полученному неравенству, образуеткруг с центром в начале координат и радиусом . Это и есть область определения функции.

z

y

х

В прямоугольной системе координат каждой упорядоченной паре чиселсоответствует единственная точкакоординатной плоскости, и наоборот. Поэтому функцию двух переменныхудобно рассматривать какфункцию точки и записывать в виде.

2. Способы задания функций двух переменных

Основными способами задания функций являются аналитический, табличный, графический.

Существует и другие способы задания функций - алгоритмический, с помощью программы на ЭВМ.

• Аналитический способ задания функции.

1. одной формулой, разрешенной относительно зависимой переменной (например, ), или

2. разными формулами на определенных числовых промежутках

Функция двух переменных называется неявной, если она задана уравнением, не разрешенной относительно зависимой переменной. Например, .

• Табличный способ задания функции - с помощью таблицы, в которой указаны значения аргументов и соответствующие им значения зависимой переменной.

Таблица функции двух переменных

			…
			…
			…
…	…	…	…	…
			…

• Графический способ задания функции.

• Графиком функции двух переменных являетсяповерхность в трехмерном пространстве ХУZ, состоящая из точек , где парыпринадлежат области определения функции.

Графиком линейной функции является плоскость в пространстве.

Пример 2. Построить график функции .

Для функции график представляет собой плоскость, проходящую через точки,,.

4

4 y

2

x

Одним из способов представления функции двух переменных являются линии уровня.

• Линией уровня функции называется линия на плоскости, состоящая из точек области определения, в которых значение функции постоянно, или.

Для линейной функции двух переменных линии уровня задаются уравнениеми представляют собой совокупностьпараллельных прямых на плоскости ХОУ.

Пример 3. Линиями уровня функцииявляются параллельные прямые, уравнение которых.

Y

4

0 1 2 Х